把握概念本質(zhì) 建構(gòu)生態(tài)課堂——對初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

312400 嵊州愛德外國語學(xué)校 閭 煒

數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡明概括及反映，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓、靈魂.數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn).因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位和作用.對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，其“生態(tài)課堂”的建構(gòu)一定要以學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，去創(chuàng)設(shè)能讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程的教學(xué)情境.本文從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的角度出發(fā)，就概念教學(xué)中的課堂建構(gòu)作簡單討論.

1 把握概念的本質(zhì)

1.1 內(nèi)涵和外延

任何一個(gè)概念都有它明確的內(nèi)涵和外延.內(nèi)涵是指概念所反映的事物的本質(zhì)屬性，通常是通過下定義的方法來表示的，如“函數(shù)”的定義是“在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x，y.在某一法則的作用下，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其相對應(yīng)，這時(shí)，就稱y是x的函數(shù).”函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系.“函數(shù)”不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)對應(yīng)關(guān)系.

外延是指概念所涉及的范圍和條件.如“函數(shù)”的外延是“在某一變化過程中”，即函數(shù)概念所反映的基本思想是運(yùn)動(dòng)變化的思想.

1.2 客觀和抽象

概念是從客觀事物中概括和抽象出來的，它反映了客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系，因此，具有客觀性.一個(gè)概念能夠反映出大量形形色色的物質(zhì)的共同屬性，因而具有高度的概括性和抽象性，它超脫了具體的現(xiàn)象而說明了事物的本質(zhì).

1.3 發(fā)展和變化

概念是在科學(xué)實(shí)踐中逐步形成和發(fā)展起來的，一個(gè)概念的內(nèi)涵是否正確，外延是否恰當(dāng)都要用實(shí)踐來檢驗(yàn)，并隨著科學(xué)實(shí)踐的深入發(fā)展而不斷得到補(bǔ)充、修正和重構(gòu).

1.4 聯(lián)系和結(jié)構(gòu)

概念和概念之間雖然可以進(jìn)行精確的區(qū)分，但它們之間并不是孤立的，它們之間存在著直接的或間接的聯(lián)系，其主要形式是從屬和并列.如四邊形是個(gè)大概念，平行四邊形是個(gè)小概念，正方形是個(gè)更小的概念，但正方形的四邊相等、四角相等、對角形互相垂直平分且相等的共同屬性，就比四邊形的共同屬性四條邊、四個(gè)角要更多些.

圖1

2 概念教學(xué)中“生態(tài)課堂”的建構(gòu)的方法

2.1 重視導(dǎo)入，激發(fā)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中對教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)采用特定的方法，來達(dá)到激發(fā)學(xué)生主動(dòng)地聯(lián)想、想象、積極地思維，以獲得某種與新學(xué)內(nèi)容有關(guān)的形象或思維成果.在教學(xué)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際來創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的、能激發(fā)學(xué)生求知欲望的問題情境，使學(xué)生用自己的思維方式積極思考、主動(dòng)探索、創(chuàng)新數(shù)學(xué)知識.

2.1.1 利用學(xué)生在日常生活中熟悉的具體事例進(jìn)行引入

通過貼近學(xué)生的生活實(shí)例，來對相應(yīng)的概念作出解釋，使學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，有利于學(xué)生加深對概念的理解.

如：筆者在認(rèn)識函數(shù)(1)時(shí)的情境引入：

問題1國家發(fā)改委通知，自10月26日零時(shí)起，將汽油、柴油的價(jià)格上調(diào)，上調(diào)后的93#汽油零售價(jià)為6.53元/升，如果設(shè)加油量為x升，應(yīng)付的金額為y元，你能完成下表嗎?

加油量x(升) 1 5 10 15 20 … x …應(yīng)付金額y(元)

然后回答下列問題：(1)在上述變化過程中，有幾個(gè)變量?

(2)再給定一個(gè)x值，你還能求出相應(yīng)的y的值嗎?

(3)當(dāng)加油量確定時(shí)，應(yīng)付金額能確定嗎?

(4)你能用含x的代數(shù)式表示y的值嗎?

問題210月26日滬杭高鐵正式投入運(yùn)營，上海至杭州全長202千米，列車從上海到杭州所需的時(shí)間為t小時(shí)，列車行駛的平均速度為v千米/小時(shí).

(1)在這個(gè)變化過程中，有幾個(gè)變量?

(2)怎么用含v的代數(shù)式表示t?

(3)當(dāng)v=303，350時(shí)，你能求出相應(yīng)的t的值嗎?(保留2個(gè)有效數(shù)字)

(4)再給定一個(gè)v值，你還能求出相應(yīng)的t的值嗎?

2.1.2 在舊概念的基礎(chǔ)上通過對比、類比引入新概念

又如：在反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的引入部分，此教學(xué)設(shè)計(jì)是類比了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先讓學(xué)生回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

2.2 剖析概念，揭示本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是用精練的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的，在教學(xué)中，抽象概括出概念后，還要注意深入剖析概念的定義，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的含義.

例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)：

(1)“在某個(gè)過程中，有兩個(gè)變量x和y”是說明：變量的存在性與函數(shù)是研究兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系.

(2)“對于在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值”是說明變量x是在一定范圍內(nèi)取值，即允許值范圍也就是函數(shù)的定義域.

(3)“y有唯一確定的值和它對應(yīng)”說明有唯一確定的對應(yīng)規(guī)律.

(4)“y是x的函數(shù)”揭示了誰是誰的函數(shù)，由以上剖析可知，函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的關(guān)系.筆者在上認(rèn)識函數(shù)時(shí)是這樣剖析函數(shù)概念的.

第一步：通過上面兩個(gè)引例，叫學(xué)生回答：這些變化過程中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)?(在變化過程中，一個(gè)量確定，另一個(gè)變量也隨之唯一確定).

母親也納悶兒，這糧食哪來的，問父親，父親也不講。母親生氣了，問，是偷來的嗎，這事可不能做，寧愿挨餓，也不能干那事啊！父親大怒，說母親侮辱他，告訴母親這是用汗水掙來的，干凈著呢，放心吃吧。

第二步：按學(xué)生回答和引例得出函數(shù)概念.教師板書并講解函數(shù)的概念要點(diǎn)：變化過程中;兩個(gè)變量(x，y);x每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值(x叫做自變量，y是x的函數(shù)).

第三步：概念辨析：判斷下列說法是否正確?為什么?(1)在圓的面積公式S=r2中，S與r之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.(2)已知每支鋼筆5元，要買x支鋼筆的總價(jià)為y元，那么y是x的函數(shù).

第四步：觀察生活中所遇到的或者熟悉的某些變化過程是否存在函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生嘗試用兩個(gè)變量來描述.

第五步：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師再補(bǔ)充

如：中國2010年上海世博會園區(qū)即時(shí)客流統(tǒng)計(jì)圖.

第六步：探究函數(shù)關(guān)系的表示方法：在前面學(xué)生已經(jīng)接觸到的幾個(gè)函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：

在問題1中，金額y與加油量x的關(guān)系y=6.53x.用等式來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫解析法.

如問題2門票張數(shù)a(張)與金額b(元)的關(guān)系

門票張數(shù)(張) 1 3 5 10 20 … t …金額b(元) 160 480 800 1600 3200 … 160t …

把自變量的值和函數(shù)對應(yīng)值列成一個(gè)表，這種方法叫列表法.

中國2010年上海世博會園區(qū)即時(shí)客流統(tǒng)計(jì)圖：用圖象來表示函數(shù)關(guān)系的方法，叫圖象法.

函數(shù)概念的得出由學(xué)生嘗試完成，經(jīng)過上一環(huán)節(jié)三個(gè)問題的分析，學(xué)生體驗(yàn)了函數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷程，基本上能夠把握住函數(shù)概念的關(guān)鍵點(diǎn).通過學(xué)生自己的歸納總結(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷批判和相互推翻的過程，最終由學(xué)生將關(guān)鍵點(diǎn)串聯(lián)，形成與教材接近的函數(shù)概念.這樣，學(xué)生對函數(shù)內(nèi)涵的印象會深刻.

2.3 抓住重點(diǎn)，深化內(nèi)涵

揭示概念的內(nèi)涵不僅由概念的定義完成，還常常由定義所推演的一些定理、公式得到進(jìn)一步理解.如以三角函數(shù)的定義為基礎(chǔ)，推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值，以及解直角三角形，可使學(xué)生清楚地看到概念是學(xué)習(xí)其它知識的依據(jù).反過來又會使三角函數(shù)的內(nèi)涵得到深入揭示，加深對概念的理解，增強(qiáng)運(yùn)用概念進(jìn)行推理判斷的思維能力.筆者在教學(xué)生解直角三角形時(shí)是這樣深化三角函數(shù)內(nèi)涵的.

選題如圖，京杭運(yùn)河修建過程中，某村考慮到安全性，決定將運(yùn)河邊一河埠頭的臺階進(jìn)行改造.在如圖的臺階橫斷面中，將坡面AB的坡角由45°減至30°.已知原坡面的長為6cm.(BD所在地面為水平面)

(1)改造后的臺階坡面會縮短多少?

解決這類問題的關(guān)鍵是要回歸三角函數(shù)定義，找準(zhǔn)找對解題所需要的直角三角形.先讓學(xué)生找出這題目中的直角三角形.然后根據(jù)已知條件AB=6cm和三角函數(shù)定義在直角三角形ABC中求出AC和BC的長，再利用三角函數(shù)定義和BC的長求出BD和CD的長，那么這個(gè)題目的答案就找到了.

2.4 歸納總結(jié)，區(qū)分異同

“有比較才有鑒別”，數(shù)學(xué)的各種知識要讓學(xué)生在比較中去思考、去認(rèn)識.數(shù)學(xué)的一些概念和規(guī)律，理論性較強(qiáng)而且比較抽象，如果把它與學(xué)生熟悉的(已知的)相關(guān)實(shí)體(事物)進(jìn)行比較，從中理解概念、掌握規(guī)律，學(xué)生就會對它產(chǎn)生極大興趣，就會主動(dòng)思考.如關(guān)于“軸對稱圖形”和“軸對稱”這兩個(gè)概念學(xué)生較難理解，但通過讓學(xué)生觀察常見的汽車標(biāo)志，如奔馳、大眾、桑塔那;商標(biāo)如工行、農(nóng)行等，看到它們共同的性質(zhì)：沿某條直線翻折，左右兩邊能夠完全重合，這樣就容易理解軸對稱概念.

2.5 梳理概念，融匯貫通

數(shù)學(xué)中的概念，有些是互相聯(lián)系的，互相影響的，教學(xué)完一個(gè)單元或一章后，要善于引導(dǎo)學(xué)生把有關(guān)概念串起來，充分揭示它們之間的內(nèi)部規(guī)律和聯(lián)系，從而使學(xué)生對所學(xué)概念有個(gè)全面、系統(tǒng)的理解，例如：初中函數(shù)從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，再到二次函數(shù)，最后是三角函數(shù).學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)都是從特殊到一般，從圖象到性質(zhì)，再從性質(zhì)到應(yīng)用.

2.6 運(yùn)用概念，形成系統(tǒng)

概念的形成是一個(gè)由個(gè)別到一般的過程，而概念的運(yùn)用則是一個(gè)由一般到個(gè)別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個(gè)階段.通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念運(yùn)用過程中也有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等等，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力.

運(yùn)用概念的方法可以是①復(fù)述概念或根據(jù)概念填空.②運(yùn)用概念進(jìn)行判斷.③運(yùn)用概念進(jìn)行推理.

教學(xué)時(shí)，應(yīng)闡明概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確概念的從屬關(guān)系，科學(xué)地、系統(tǒng)地分析概念的相互關(guān)系，如四邊形認(rèn)知圖式的構(gòu)建，把四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形等)的知識有機(jī)地融合在一起.