上證指數(shù)波動(dòng)率和收益率長(zhǎng)期依賴關(guān)系的實(shí)證研究

王國(guó)治

(華南理工大學(xué) 金融工程研究中心，廣東 廣州 510006)

關(guān)于市場(chǎng)長(zhǎng)期相關(guān)的問題，人們已針對(duì)不同的資產(chǎn)進(jìn)行了研究，包括：股票指數(shù)、利率[1-2]、政府債券、匯率[3]。這些研究中運(yùn)用了多種方法，大多數(shù)文獻(xiàn)在解釋長(zhǎng)期相關(guān)是根據(jù)長(zhǎng)期相關(guān)的特征參數(shù)即Hurst指數(shù)H和臨界值0.5進(jìn)行比較。但是，作為最普遍應(yīng)用的Hurst指數(shù)H估計(jì)技術(shù)的重要部分，由于存在短期記憶效應(yīng)所導(dǎo)致的偏差，如：在基礎(chǔ)過程中的ARIMA和 (G)ARCH模型中的偏差現(xiàn)象，因此將這種解釋長(zhǎng)期相關(guān)的方法未經(jīng)充分討論就運(yùn)用到長(zhǎng)期相關(guān)的研究中是很成問題的。而且，短期相關(guān)和長(zhǎng)期相關(guān)在投資組合選擇、期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理這些重要的金融研究領(lǐng)域中有著不同的含義，所以對(duì)這兩種類型的相關(guān)進(jìn)行區(qū)分具有非常重要的意義。為處理這個(gè)問題，文章通過運(yùn)用經(jīng)典的和修正過的重標(biāo)極差方法[4-5]結(jié)合具有預(yù)白和后黑的moving block bootsrap方法(以后簡(jiǎn)稱MBB)對(duì)非長(zhǎng)期相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)建置信區(qū)間[6]，集中檢驗(yàn)滬市A股上證指數(shù)的收益率和波動(dòng)率的長(zhǎng)期相關(guān)。數(shù)據(jù)集包括了1999-2009上證指數(shù)的數(shù)據(jù)。

一、長(zhǎng)期相關(guān)

二、經(jīng)典和修正的重標(biāo)極差方法

重標(biāo)極差分析(R/S)是最早的Hurst指數(shù)估計(jì)方法并由H.E.Hurst在1951年提出并由Mandelbrot和Wallis進(jìn)行了修正。在這個(gè)分析過程中，將時(shí)長(zhǎng)為T的連續(xù)收益率時(shí)間序列劃分為N個(gè)相鄰的時(shí)長(zhǎng)為v的子時(shí)間間隔，即Nv=T。每個(gè)子時(shí)間間隔其統(tǒng)計(jì)特征的重標(biāo)極差可以通過Ri/Si給出。這里Ri是相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征的一個(gè)范圍，Si是相應(yīng)的收益率標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)每個(gè)時(shí)間子間隔都進(jìn)行這樣的處理[11]。重標(biāo)極差可以寫為

(R/S)v≈cvH

(1)

這里v是可以變動(dòng)的而c是常量。上式在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)里顯示出乘冪尺度[12]。為了揭示尺度變換，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)并運(yùn)用普通ols估計(jì)出H。用探測(cè)周期的V統(tǒng)計(jì)量對(duì)Hurst指數(shù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，V統(tǒng)計(jì)量可以定義為

(2)

對(duì)于一個(gè)獨(dú)立過程其收斂的分布定義為[4，5，11]

(3)

對(duì)于非長(zhǎng)期相關(guān)過程，V若隨著標(biāo)度v的增加而遞增或遞減，那么V就分別是恒定的持續(xù)性或反持續(xù)性。這就是經(jīng)典的R/S分析，因?yàn)榫哂卸唐谟洃浶?yīng)，Lo[5]提出了修正的重標(biāo)極差分析M-R/S。它和經(jīng)典方法的區(qū)別主要在于運(yùn)用了修正過的標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差是通過從所選的從第一個(gè)子時(shí)間間隔到滯后的時(shí)間間隔ξ的原始時(shí)間序列中，運(yùn)用原始時(shí)間序列的自相關(guān)協(xié)方差得出的，如下式

(4)

這樣，R/S分析只是M-R/S分析當(dāng)ξ=0的特殊情形。對(duì)于修正的重標(biāo)極差估計(jì)來說，正確選擇滯后非常關(guān)鍵[13-14]。Lo[5]根據(jù)原始序列ρ(1)的一階自回歸系數(shù)給出了最優(yōu)滯后值。由下式給出(下式中的[.]是向下取整算符)

(5)

這可得到關(guān)于設(shè)定標(biāo)度v的修正的重標(biāo)極差估計(jì)量，并構(gòu)建V統(tǒng)計(jì)量，從分布FV由非長(zhǎng)期相關(guān)的虛擬假設(shè)得出臨界值，將V統(tǒng)計(jì)量和臨界值進(jìn)行比較。

三、研究方法

Bootstrap方法用來處理小樣本的統(tǒng)計(jì)特性。其基本含義就是將原始序列進(jìn)行重整并對(duì)一個(gè)具體參數(shù)或統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行重復(fù)估計(jì)。通過序列重整，雖然原始序列的分布特性保持不變，但可能存在的相關(guān)關(guān)系會(huì)遭到扭曲[15]。由bootsrap方法估計(jì)出的置信區(qū)間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。因?yàn)楹?jiǎn)單的bootstrap對(duì)時(shí)間序列的整理將短期相關(guān)和長(zhǎng)期相關(guān)都消除了。因此，這種方法無法達(dá)成我們研究長(zhǎng)期相關(guān)的目的。Srinivas和Srinivasan[6]給出了一個(gè)修正的bootstrap方法，即MBB，該方法保留了短期相關(guān)的特性但缺少長(zhǎng)期相關(guān)。

四、數(shù)據(jù)

通過對(duì)上證指數(shù)收益率和波動(dòng)率運(yùn)用經(jīng)典的和修正的重標(biāo)極差分析法。設(shè)Ps，t是上證指數(shù)在t的收盤價(jià)，t=0，…，Ns這里Ns是上證指數(shù)的時(shí)間序列長(zhǎng)度。上證指數(shù)在時(shí)間t的連續(xù)收益率可以表示為rs，t=log(Ps，t/Ps，t-1)其中t=1，…Ns。用收益率的絕對(duì)值來測(cè)度，對(duì)于上證指數(shù)在時(shí)間t的收益率測(cè)度表示為|rs，t︱，檢驗(yàn)區(qū)間從1999/5/4～2009/5/14。基本統(tǒng)計(jì)描述由表1給出。從回報(bào)率的偏度和峰度來看不遵循正態(tài)分布。圖1Q-Q概率圖顯示了這些特性。相對(duì)基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方法[12]，從基本的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果可以看到運(yùn)用boostrap方法構(gòu)建置信區(qū)間的重要性并避免很多方法對(duì)不同分布所具有的敏感性。

表1 上證指數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)描述

圖1 上證指數(shù)的柱狀圖和QQ圖

五、結(jié)果和討論

表2給出由式(5)給出的最優(yōu)滯后ξ*，對(duì)于收益率來說，最優(yōu)滯后為4。對(duì)于波動(dòng)率最優(yōu)滯后的估計(jì)值為10。從滯后的估計(jì)可看出一方面上證指數(shù)的收益率不存在長(zhǎng)期相關(guān)，另一方面波動(dòng)率存在長(zhǎng)期相關(guān)，這和一些關(guān)于新興市場(chǎng)不夠成熟效率不高導(dǎo)致存在持續(xù)性特征的研究相抵觸[16]，但絕大多數(shù)研究都沒有考慮要檢驗(yàn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征，而是僅將Hurst指數(shù)H或V統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的臨界值進(jìn)行比較。因此這些結(jié)果應(yīng)重新檢測(cè)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征和可能的短期相關(guān)。

表2 V統(tǒng)計(jì)量和boostrap方法的置信區(qū)間

圖2比較了分別由bootstrap和Lo[6]的方法得出的置信區(qū)間，其中Lo的方法只在滯后值選擇正確時(shí)才是正確的。

從圖2中可以看出，基于時(shí)間序列的收益率對(duì)所有檢測(cè)的滯后值ξ來說，由bootstrap所得的置信區(qū)間和由Lo方法所得置信區(qū)間很接近，因?yàn)榧词巩?dāng)ξ=0是這種情況也存在，所以短期相關(guān)或完全沒有或者非常弱，并且經(jīng)典R/S的估計(jì)是無偏的。對(duì)于波動(dòng)率，兩種方法所得置信區(qū)間直到滯后值在8和9之間才沒有出現(xiàn)明顯的沖突。對(duì)于較小滯后值，由于boostrap的臨界值遠(yuǎn)大于Lo方法所得，那么最優(yōu)滯后值就非(5)的結(jié)果而是當(dāng)兩種方法所得置信區(qū)間相等時(shí)為最優(yōu)滯后值。運(yùn)用R/S和M-R/S都得到拒絕收益率長(zhǎng)期相關(guān)和接受波動(dòng)率長(zhǎng)期相關(guān)的假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。這樣看來，對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)用MBB比用M-R/S可給出更重要信息。從所得結(jié)果可看到，如果正確的選擇AR(1)，上證指數(shù)波動(dòng)率不僅是短期相關(guān)而且也是長(zhǎng)期相關(guān)。因?yàn)槭找媛蕸]有發(fā)現(xiàn)有長(zhǎng)期相關(guān)，ARFIMA模型就不適用。不過，波動(dòng)率存在的短期和長(zhǎng)期相關(guān)意味著運(yùn)用諸如FIGARCH模型會(huì)比簡(jiǎn)單GARCH模型得到更好結(jié)果。波動(dòng)率持續(xù)性顯示外在沖擊幅度以雙曲衰減，比一般GARCH模型隱含的衰減幅度要慢。

圖2 收益率(左)和波動(dòng)率(右)的V統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值

六、結(jié)論

本文研究了1999 到2009上證指數(shù)收益率和波動(dòng)率長(zhǎng)期相關(guān)的存在問題。我們選擇經(jīng)典的和修正過的重標(biāo)極差方法根據(jù)V統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)長(zhǎng)期相關(guān)。為避免潛在的短期相關(guān)，分布敏感性，異方差和趨勢(shì)這些復(fù)雜情況，運(yùn)用具有預(yù)白和后黑的MBB方法構(gòu)建假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間。顯示上證指數(shù)的收益率不存在顯著的長(zhǎng)期相關(guān)而波動(dòng)率存在顯著的長(zhǎng)期相關(guān)，并同時(shí)存在顯著的短期相關(guān)。另外，我們討論了從修正重標(biāo)極差方法中找出最優(yōu)滯后值的可能性。對(duì)于收益率來說所得結(jié)果和已有的一些認(rèn)為中國(guó)股票市場(chǎng)具有持續(xù)性的研究相抵觸。[16]這些研究大多數(shù)沒有運(yùn)用置信區(qū)間或只基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的置信區(qū)間。因此，研究的結(jié)果需要從新檢驗(yàn)和從新進(jìn)行解釋。

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