基于高頻數(shù)據(jù)的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量的構(gòu)建

郭名媛

0 引言

Markowitz提出的現(xiàn)代證券組合投資理論運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法全面而細(xì)致地分析了何為最優(yōu)的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)和如何選擇最優(yōu)的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)。一般而言，投資風(fēng)險(xiǎn)越大，其期望收益也就越高。投資者在權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，以其對投資風(fēng)險(xiǎn)的偏好來進(jìn)行證券資產(chǎn)的選擇。資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)與Markowitz的現(xiàn)代證券組合投資理論有著極其密切的關(guān)系。對于投資者來說，有效投資組合中單個(gè)證券的總風(fēng)險(xiǎn)中只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)這部分對有效投資組合的風(fēng)險(xiǎn)做出貢獻(xiàn)，每個(gè)證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則在有效投資組合中消失。而資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的β數(shù)則用來衡量有效投資組合中單個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)。資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)是以市場收益作為影響因子的單因子模型，具有簡便、易于操作的特點(diǎn)。雖然CAPM也遭到了某些批評，然而對于CAPM的理論研究和實(shí)際應(yīng)用仍然十分的活躍，也證明了其有很大的實(shí)用價(jià)值。國內(nèi)對資本資產(chǎn)定價(jià)模型的研究主要始于20世紀(jì)90年代，雖然CAPM在中國股票市場的適用性是一個(gè)問題。但是，它所包含的基于Markowitz的資產(chǎn)組合理論，它對風(fēng)險(xiǎn)的分析，對市場組合及其替代物的論述以及它對風(fēng)險(xiǎn)與收益之間關(guān)系的描述，對中國的股票市場有很大的指導(dǎo)意義。充分利用CAPM較強(qiáng)的邏輯性、實(shí)用性，通過對股票市場的實(shí)證分析和理論研究，有利于發(fā)現(xiàn)問題，推動我國股市的發(fā)展。因此，正確確定CAPM中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β非常重要。

大多數(shù)國內(nèi)外的實(shí)證研究證明了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β是可變的，投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與經(jīng)濟(jì)所處的狀態(tài)相關(guān)，在股票市場的不同的時(shí)期，股票的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β會有所變化。De Santis,Gerard(1997)[1]證明系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨時(shí)間的改變而改變。Bekaert,Harvey(1995)[2]在檢驗(yàn)世界金融市場之間的協(xié)同性的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨著國內(nèi)和世界的信息變量的改變而改變。Fabozzi，F(xiàn)rank(1977)[3]研究了在不同市場態(tài)勢下證券β值的差異及穩(wěn)定性，并指出當(dāng)市場狀況從牛市轉(zhuǎn)向熊市時(shí)，β值較不穩(wěn)定。然而國內(nèi)外的實(shí)證研究主要是采用低頻數(shù)據(jù)進(jìn)行的[1～12]。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和通訊技術(shù)的進(jìn)步，采集和存儲高頻金融數(shù)據(jù)已經(jīng)成為了可能。這使得采用高頻數(shù)據(jù)來度量系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β成為了可能。這種方法相對于采用低頻數(shù)據(jù)更能夠充分利用股票數(shù)據(jù)的日內(nèi)信息。

本文擬采用高頻金融數(shù)據(jù)，通過賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場收益的方差和股票收益與市場收益的協(xié)方差，構(gòu)建賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量，對系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β進(jìn)行研究。

1 已實(shí)現(xiàn)極差方差和已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

1.1 已實(shí)現(xiàn)極差方差

Christensen和Podolskij[13]提出了基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)極差方差估計(jì)量。采用已實(shí)現(xiàn)極差方差來估計(jì)金融資產(chǎn)收益的方差，其優(yōu)點(diǎn)在于這種方法能夠充分利用高頻數(shù)據(jù)的日內(nèi)信息，計(jì)算簡便。

其中，T為研究跨度天數(shù)，N為在[t-1,t]時(shí)間段內(nèi)等時(shí)間間隔的采樣次數(shù)。Δ=1/N，Δ為將[t-1,t]時(shí)間段分為N個(gè)時(shí)間段的時(shí)間間隔。 pi,t,m為金融資產(chǎn)i在第t日的[n-1,n]時(shí)間段內(nèi)的價(jià)格。

定義1[13]已實(shí)現(xiàn)極差方差（Realized Range-based Variance，簡稱RRV）為:Christensen and Podolskij[13]證明了：

1.2 已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

定義2已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差（Realized Range-based Covariance）為金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積之和，即

2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

2.1 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差

唐勇，張世英[14]在已實(shí)現(xiàn)極差方差的基礎(chǔ)上，提出了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差。

定義3[14]賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差（Weighted Realized Range-based Volatility,WRRV）為金融資產(chǎn)i的日內(nèi)極差收益平方的加權(quán)之和，即

其中：τi,n為日內(nèi)收益平方的權(quán)重。

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差定義中，可以看到當(dāng)τi,n=1(n=1，…，N)時(shí)，WRRVi,t=RRVi,t。即已實(shí)現(xiàn)極差方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差的一個(gè)特例。

賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差中權(quán)重確定的計(jì)算公式為[14]：

賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差相對于已實(shí)現(xiàn)極差方差具有充分考慮了“日歷效應(yīng)”，并且比已實(shí)現(xiàn)極差方差的方差更小的優(yōu)點(diǎn)。唐勇，張世英在文獻(xiàn)[14]中對此做出了詳細(xì)闡述。

2.2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

本文在已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的基礎(chǔ)上，提出了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差。

定義4賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差（Weighted Realized Range-based Covariance,WRRCOV）為金融資產(chǎn)i和金融資產(chǎn) j的日內(nèi)極差收益乘積的加權(quán)之和，即

其中，τij,n為日內(nèi)極差收益乘積的權(quán)重；i,j=1,2,…。

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差定義中，可以看到當(dāng)τij,n=1(n=1，…，N）時(shí)，WRRCOVij,t=RRCOVij,t。換句話說，已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的一個(gè)特例。

2.3 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差中權(quán)重的確定

無偏性是對一個(gè)估計(jì)量最重要的要求之一，要想更好的估計(jì)金融資產(chǎn)收益之間的協(xié)方差，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差首先需要滿足無偏性。但是，僅僅滿足無偏性是不夠的。因?yàn)闊o偏性只能保證估計(jì)量的期望等于真值，它取的值很可能大部分與真值相差很大。因此為了保證賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的取值能集中在金融收益之間的協(xié)方差真值附近，還需要確定一個(gè)最優(yōu)的權(quán)重以使得賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差最小。

（1）賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的無偏性

設(shè)：

因

故

由估計(jì)量的無偏性可知，要求WRRCOVij,t滿足無偏性，則下式成立：

（2）賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的最小方差性

因

為了使WRRCOVij,t既滿足無偏性，又滿足最小方差性，則：

定義：

其中：θ為拉格朗日乘子。

令：

故

因此賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差中權(quán)重為：

2.4 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差相對于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的優(yōu)點(diǎn)

2.4.1 充分考慮了“日歷效應(yīng)”

“日歷效應(yīng)”是對高頻金融時(shí)間序列的研究中的重要發(fā)現(xiàn)。所謂“日歷效應(yīng)”是指金融資產(chǎn)收益在日內(nèi)表現(xiàn)出穩(wěn)定的、周期性的運(yùn)動模式，主要表現(xiàn)為“U”型模式。

已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積之和，給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了取值為1的相同的權(quán)重。但是，由于“日歷效應(yīng)”的存在，給不同的日內(nèi)極差收益乘積賦予相同的權(quán)重顯然不太合理。

而賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是金融資產(chǎn)日內(nèi)極差收益乘積的加權(quán)之和，它給不同的日內(nèi)極差收益乘積賦予了不同的權(quán)重。也就是說，根據(jù)不同的日內(nèi)極差收益乘積在日內(nèi)表現(xiàn)的出穩(wěn)定的、周期性的運(yùn)動模式，相應(yīng)地給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了不同的權(quán)重，考慮到了“日歷效應(yīng)”。正因?yàn)榭紤]了“日歷效應(yīng)”，給每一個(gè)日內(nèi)極差收益乘積都賦予了不同的權(quán)重，才使得賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是既滿足無偏性，又滿足最小方差性的協(xié)方差估計(jì)量。

2.4.2 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差小于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差

從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差定義中，可以看到當(dāng)τij,n=1(n=1，…，N）時(shí)，WRRCOVij,t=RRCOVij,t。也就是說已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的一個(gè)特例。

3 賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β

采用高頻數(shù)據(jù),用賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場組合收益的方差和某支股票收益與市場組合收益的協(xié)方差。由此便可以計(jì)算出賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β。

定義5市場組合收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差為

第i支股票收益與市場組合收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差

第i支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)

由2.1部分可知，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差充分考慮了日歷效應(yīng)，并且滿足估計(jì)量的最小方差性。由此可見，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β比采用已實(shí)現(xiàn)極差方差和已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)極差β更精確。

4 實(shí)證分析

本文的實(shí)證研究采用的高頻數(shù)據(jù)是2001-2-28～2002-4-15深證成指和晨鳴紙業(yè)、金路集團(tuán)、海虹控股、冀東水泥、鹽湖鉀肥的30分鐘間隔時(shí)段的收盤價(jià)，這期間共有269個(gè)交易日。

4.1 深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差的統(tǒng)計(jì)特征

根據(jù)式（4）和式（7），可以計(jì)算出深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差。表1給出了深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的統(tǒng)計(jì)特征。

從表1中可以看到，深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的均值相同，但是深證成指收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的方差要小于已實(shí)現(xiàn)極差方差的方差。

表1 深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差的統(tǒng)計(jì)特征

4.2 各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的特性統(tǒng)計(jì)

根據(jù)式（6）和式（9），可以計(jì)算出各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差。表2各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的統(tǒng)計(jì)特征。

表2 各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的統(tǒng)計(jì)特征

從表2中可以看到，各支股票收益與深證成指收益的已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的均值相同，但是各支股票收益與深證成指收益的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差小于等于已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差的方差。

4.3 各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)

表3給出了各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表1中可以看到，各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β都具有較高的偏度和峰度，其分布均不符合正態(tài)分布。

表3 各支股票的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β的特性統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)束語

本文采用高頻金融數(shù)據(jù)，通過賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差方差和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差協(xié)方差來度量市場收益的方差和股票收益與市場收益的協(xié)方差，構(gòu)建了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差β估計(jì)量，對系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β進(jìn)行了研究。實(shí)證研究證明，中國股票市場中的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β隨著時(shí)間的改變而改變具有較高的偏度和峰度，其分布均不符合正態(tài)分布。

[1] De Santis,Gerard.International Asset Pricing and Portfolio Diversifi?cation with Time-varying Risk[J].Journal of Finance,1997,(52).

[2] Bekaert G.,Harvey C.Time-varying World Market Integration[J].Jour?nal of Finance,1995,(50).

[3] Fabozzi,Frank,Francis,Clark.Stability Test for Alphas and Betas Over Bull and Bear Market Conditions[J].Journal of Finance,1977,(9).

[4] Christensen,K.,M.Podolskij.Asymptotic Theory for Range-based Es?timation of Integrated Variance of a Continuous Semi-martingale[R].Aarhus School of Business,2005.

[5] 唐勇,張世英.高頻數(shù)據(jù)的加權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差波動及其實(shí)證分析[J].系統(tǒng)工程,2006,24(8).