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    基于空間向量與立體幾何創(chuàng)新思維研究

    2011-05-14 20:07:28彭麗娟
    卷宗 2011年10期
    關(guān)鍵詞:立體幾何新思維

    摘要:空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘,法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式,對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題,有其獨(dú)到之處;對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。

    關(guān)鍵詞:空間向量;立體幾何;度量問(wèn)題;新思維

    把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的空間向量知識(shí)用于解立體幾何題,具有思路簡(jiǎn)潔、目標(biāo)明確、化難為易的功效。空間向量的坐標(biāo)化,空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘,法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式,對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題,有其獨(dú)到之處;對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。

    下面我們運(yùn)用職業(yè)高中數(shù)學(xué)教材(邱維聲教授主編、高教出版社出版)中的空間向量知識(shí),試解2002年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何題,并在附錄中給傳統(tǒng)幾何解法,供大家分析研究。

    §1基本公式和基本解法

    1. 對(duì)于非零向量a、b

    a⊥b?圳a?b=0

    cos〈a,b〉=

    a=

    2. 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,若向量a、b的坐標(biāo)分別是(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)則

    a?b=a1b1+b3 a2 = a12+a22+a32

    cos〈a,b〉=

    a,b所在平面的法向量n的坐標(biāo)是:

    (a2 a3b2 b3,- a1 a3b1 b3,a1 a2b1 b2)=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

    n的指向由右手螺旋法則確定。

    點(diǎn)p到平面?琢的距離d=

    其中p0∈平面?琢,n是平面?琢的法向量。

    二面角的度數(shù)等于該二面角兩半平面法向量所成角或其補(bǔ)角的度數(shù)。

    兩條異面直線l1 、l2的距離

    d= m1∈l1,,m2∈l2 ;n 是直線l1 、l2的方向向量確定的法向量。

    §2向量解法

    例題1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為 ,則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是( )

    解: 由題意知E1E⊥ED, E1E⊥EF, ∠DEF=120°; C1C=E1E=, C1C∥E1E,CB=EF=1, CB∥EF,則 BC1=FE1 ,BC1∥FE1 (如圖1);

    于是有

    =

    ?= ?=0

    ==, ?=1

    設(shè)對(duì)角線E1D與BC1所成的角是α,那么

    cos 〈,〉= =

    =

    =

    =

    =

    ∴α=60°應(yīng)當(dāng)選擇答案 B 。

    例題2如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng),點(diǎn)N在BF上移動(dòng),若CM=BN=a (0﹤a﹤ )。

    (Ⅰ) 求MN的長(zhǎng);

    (Ⅱ) 當(dāng)a為何值時(shí),MN的長(zhǎng)最??;

    (Ⅲ) 當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí),求面MNA與面MNB所成的二面角 的大小。

    解:(Ⅰ)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作線段MH⊥AB于H,由題意得 MH⊥平面ABEF, 即MH⊥HB, MH⊥BN;又由于兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1,CA=BN=a 可以算得AC= ,HB= ;MH= 。于是

    ? =? =0

    那么由于? = (++)2

    =()2+ ()2 +()2 +2?

    =+ +a2+2? a cos135°

    = a2- a +1

    =a-+

    ∴MN =

    (Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論知:當(dāng) a= 時(shí) MN = 即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí),MN的長(zhǎng)度最小,最小值為。

    (Ⅲ)如圖3,在空間中取一個(gè)基:、、,顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

    有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是:

    =(0,1,1) =(1,1,0)

    =(0,-1,1)=(1,-1,0)

    則,面MNA的一個(gè)法向量

    n1= (1×0-1×1, 1×1–0×0, 0×1–1×1)=(-1,1,-1);

    面MNB的一個(gè)法向量 n2 =(-1×0+1×1,1×1–0×0,-1×0+0×0)=(1,1,1);

    設(shè)所求的二面角為α,則α=〈n1 ,n2〉(n1 ,n2的方向由右手法則確定,且同為順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

    ∴ cosα=

    =

    =

    = -

    ∴α=arc cos - .

    例題3四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方型,PB⊥面ABCD

    (Ⅰ)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個(gè)四棱錐的體積;

    (Ⅱ)證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

    解:(Ⅰ)四棱錐的體積由幾何法求得為 a2,過(guò)程略。

    (Ⅱ)如圖4, 在空間中取與、、同方向,長(zhǎng)度為1的一組向量e1、e2、e3為一個(gè)基,顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

    令正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, 四棱錐的高為a,有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是:

    == (1,0,0)

    =+ = (0,-1,a)

    則,面PAD的一個(gè)法向量 n1=(0,-a, -1)

    == (0,1,0)

    =+ = (-1,0,a)

    則,面PCD的一個(gè)法向量 n2= (a, 0, 1);

    那么所求二面角的余弦值:

    cos〈n1,n2〉=

    =

    = - < 0

    所以,無(wú)論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 丘維聲向量與中學(xué)數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)通報(bào)2002. 5

    [2] 楊志龍從2001年高考試題談向量引入中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)通報(bào) 2002. 7

    [3] 空間解析幾何引論主編:南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組人民教育出版社出版

    [4] 高等幾何 主編:梅向明等 高等教育出版社出版

    [5] 職業(yè)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 主編:高存明 人民教育出版社出版

    [6] 職業(yè)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 主編:丘維聲 高等教育出版社出版

    [7] 普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 編著人民教育出版社出版

    作者簡(jiǎn)介:

    彭麗娟(1983-),女,研究生,碩士,中級(jí),研究方向:數(shù)學(xué)教育類。

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