基于空間向量與立體幾何創(chuàng)新思維研究

摘要：空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘，法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式，對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題，有其獨(dú)到之處；對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。

關(guān)鍵詞：空間向量；立體幾何；度量問(wèn)題；新思維

把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的空間向量知識(shí)用于解立體幾何題，具有思路簡(jiǎn)潔、目標(biāo)明確、化難為易的功效。空間向量的坐標(biāo)化，空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘，法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式，對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題，有其獨(dú)到之處；對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。

下面我們運(yùn)用職業(yè)高中數(shù)學(xué)教材（邱維聲教授主編、高教出版社出版）中的空間向量知識(shí)，試解2002年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何題，并在附錄中給傳統(tǒng)幾何解法，供大家分析研究。

§1基本公式和基本解法

1. 對(duì)于非零向量a、b

a⊥b?圳a?b＝0

cos〈a，b〉＝

a=

2． 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，若向量a、b的坐標(biāo)分別是（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）則

a?b＝a1b1＋b3 a2 = a12＋a22＋a32

cos〈a,b〉=

a，b所在平面的法向量n的坐標(biāo)是：

（a2 a3b2 b3,- a1 a3b1 b3,a1 a2b1 b2）＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）

n的指向由右手螺旋法則確定。

點(diǎn)p到平面?琢的距離d＝

其中p0∈平面?琢，n是平面?琢的法向量。

二面角的度數(shù)等于該二面角兩半平面法向量所成角或其補(bǔ)角的度數(shù)。

兩條異面直線l1 、l2的距離

d＝ m1∈l1,，m2∈l2 ；n 是直線l1 、l2的方向向量確定的法向量。

§2向量解法

例題1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為 ，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是（ ）

解: 由題意知E1E⊥ED, E1E⊥EF, ∠DEF=120°； C1C=E1E=， C1C∥E1E，CB=EF=1, CB∥EF,則 BC1=FE1 ，BC1∥FE1 (如圖1)；

于是有

=

?= ?=0

==, ?=1

設(shè)對(duì)角線E1D與BC1所成的角是α,那么

cos 〈，〉= =

=

=

=

=

∴α=60°應(yīng)當(dāng)選擇答案 B 。

例題2如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a （0﹤a﹤ ）。

（Ⅰ） 求MN的長(zhǎng)；

（Ⅱ） 當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??；

（Ⅲ） 當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角 的大小。

解：（Ⅰ）如圖2,過(guò)點(diǎn)M作線段MH⊥AB于H,由題意得 MH⊥平面ABEF, 即MH⊥HB, MH⊥BN；又由于兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1，CA=BN=a 可以算得AC= ，HB= ；MH= 。于是

? =? =0

那么由于? = (++)2

=()2+ ()2 +()2 +2?

=+ +a2+2? a cos135°

= a2- a +1

=a-+

∴MN =

（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論知：當(dāng) a= 時(shí) MN = 即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，最小值為。

（Ⅲ）如圖3，在空間中取一個(gè)基：、、，顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是：

=（0，1，1） =（1，1，0）

=（0，-1，1）=（1，-1，0）

則，面MNA的一個(gè)法向量

n1= (1×0－1×1, 1×1–0×0, 0×1–1×1)=(-1,1,-1)；

面MNB的一個(gè)法向量 n2 =（-1×0+1×1，1×1–0×0，-1×0+0×0）=（1，1，1）；

設(shè)所求的二面角為α，則α=〈n1 ,n2〉（n1 ,n2的方向由右手法則確定，且同為順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

∴ cosα=

=

=

= -

∴α=arc cos - .

例題3四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方型，PB⊥面ABCD

（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；

（Ⅱ）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

解：（Ⅰ）四棱錐的體積由幾何法求得為 a2，過(guò)程略。

（Ⅱ）如圖4, 在空間中取與、、同方向，長(zhǎng)度為1的一組向量e1、e2、e3為一個(gè)基，顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

令正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, 四棱錐的高為a,有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是：

== (1,0,0)

=+ = (0,-1,a)

則，面PAD的一個(gè)法向量 n1=（0，-a, -1）

== (0,1,0)

=+ = (-1,0,a)

則，面PCD的一個(gè)法向量 n2= (a, 0, 1);

那么所求二面角的余弦值：

cos〈n1,n2〉=

=

= - < 0

所以，無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。

參考文獻(xiàn)

[1] 丘維聲向量與中學(xué)數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)通報(bào)2002. 5

[2] 楊志龍從2001年高考試題談向量引入中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)通報(bào) 2002. 7

[3] 空間解析幾何引論主編：南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組人民教育出版社出版

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[6] 職業(yè)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 主編：丘維聲 高等教育出版社出版

[7] 普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 編著人民教育出版社出版

作者簡(jiǎn)介：

彭麗娟（1983-），女，研究生，碩士，中級(jí)，研究方向：數(shù)學(xué)教育類。