摘要:空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘,法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式,對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題,有其獨(dú)到之處;對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。
關(guān)鍵詞:空間向量;立體幾何;度量問(wèn)題;新思維
把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的空間向量知識(shí)用于解立體幾何題,具有思路簡(jiǎn)潔、目標(biāo)明確、化難為易的功效。空間向量的坐標(biāo)化,空間向量的內(nèi)積、加減運(yùn)祘,法向量的使用等方法形成一套異于傳統(tǒng)幾何的思考方式,對(duì)解決立體幾何中諸如異面直線所成角、二面角、距離等與度量有關(guān)的問(wèn)題,有其獨(dú)到之處;對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種應(yīng)當(dāng)具有的新思維方式。
下面我們運(yùn)用職業(yè)高中數(shù)學(xué)教材(邱維聲教授主編、高教出版社出版)中的空間向量知識(shí),試解2002年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何題,并在附錄中給傳統(tǒng)幾何解法,供大家分析研究。
§1基本公式和基本解法
1. 對(duì)于非零向量a、b
a⊥b?圳a?b=0
cos〈a,b〉=
a=
2. 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,若向量a、b的坐標(biāo)分別是(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)則
a?b=a1b1+b3 a2 = a12+a22+a32
cos〈a,b〉=
a,b所在平面的法向量n的坐標(biāo)是:
(a2 a3b2 b3,- a1 a3b1 b3,a1 a2b1 b2)=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
n的指向由右手螺旋法則確定。
點(diǎn)p到平面?琢的距離d=
其中p0∈平面?琢,n是平面?琢的法向量。
二面角的度數(shù)等于該二面角兩半平面法向量所成角或其補(bǔ)角的度數(shù)。
兩條異面直線l1 、l2的距離
d= m1∈l1,,m2∈l2 ;n 是直線l1 、l2的方向向量確定的法向量。
§2向量解法
例題1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1、側(cè)棱長(zhǎng)為 ,則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是( )
解: 由題意知E1E⊥ED, E1E⊥EF, ∠DEF=120°; C1C=E1E=, C1C∥E1E,CB=EF=1, CB∥EF,則 BC1=FE1 ,BC1∥FE1 (如圖1);
于是有
=
?= ?=0
==, ?=1
設(shè)對(duì)角線E1D與BC1所成的角是α,那么
cos 〈,〉= =
=
=
=
=
∴α=60°應(yīng)當(dāng)選擇答案 B 。
例題2如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng),點(diǎn)N在BF上移動(dòng),若CM=BN=a (0﹤a﹤ )。
(Ⅰ) 求MN的長(zhǎng);
(Ⅱ) 當(dāng)a為何值時(shí),MN的長(zhǎng)最??;
(Ⅲ) 當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí),求面MNA與面MNB所成的二面角 的大小。
解:(Ⅰ)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作線段MH⊥AB于H,由題意得 MH⊥平面ABEF, 即MH⊥HB, MH⊥BN;又由于兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1,CA=BN=a 可以算得AC= ,HB= ;MH= 。于是
? =? =0
那么由于? = (++)2
=()2+ ()2 +()2 +2?
=+ +a2+2? a cos135°
= a2- a +1
=a-+
∴MN =
(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論知:當(dāng) a= 時(shí) MN = 即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí),MN的長(zhǎng)度最小,最小值為。
(Ⅲ)如圖3,在空間中取一個(gè)基:、、,顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。
有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是:
=(0,1,1) =(1,1,0)
=(0,-1,1)=(1,-1,0)
則,面MNA的一個(gè)法向量
n1= (1×0-1×1, 1×1–0×0, 0×1–1×1)=(-1,1,-1);
面MNB的一個(gè)法向量 n2 =(-1×0+1×1,1×1–0×0,-1×0+0×0)=(1,1,1);
設(shè)所求的二面角為α,則α=〈n1 ,n2〉(n1 ,n2的方向由右手法則確定,且同為順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较颍?/p>
∴ cosα=
=
=
= -
∴α=arc cos - .
例題3四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方型,PB⊥面ABCD
(Ⅰ)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個(gè)四棱錐的體積;
(Ⅱ)證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
解:(Ⅰ)四棱錐的體積由幾何法求得為 a2,過(guò)程略。
(Ⅱ)如圖4, 在空間中取與、、同方向,長(zhǎng)度為1的一組向量e1、e2、e3為一個(gè)基,顯然這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。
令正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, 四棱錐的高為a,有關(guān)向量在這個(gè)基下坐標(biāo)分別是:
== (1,0,0)
=+ = (0,-1,a)
則,面PAD的一個(gè)法向量 n1=(0,-a, -1)
== (0,1,0)
=+ = (-1,0,a)
則,面PCD的一個(gè)法向量 n2= (a, 0, 1);
那么所求二面角的余弦值:
cos〈n1,n2〉=
=
= - < 0
所以,無(wú)論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。
參考文獻(xiàn)
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作者簡(jiǎn)介:
彭麗娟(1983-),女,研究生,碩士,中級(jí),研究方向:數(shù)學(xué)教育類。