非線性/非高斯序貫貝葉斯濾波

劉鳳霞，宮先儀

(1.浙江大學(xué)信息與電子工程系，浙江杭州310027;2.杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江杭州310012)

0 引言

很多科學(xué)和工程問題涉及的為動態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)是隨時(shí)間變化的。對于動態(tài)系統(tǒng)做分析，需要利用狀態(tài)—空間模型對系統(tǒng)進(jìn)行表征［1］。在很多應(yīng)用中，為了精確地建模動態(tài)系統(tǒng)，需要采用非線性/非高斯?fàn)顟B(tài)—空間模型。序貫貝葉斯濾波為Bayesian濾波的遞歸實(shí)現(xiàn)，它對數(shù)據(jù)進(jìn)行序貫處理，而不是批處理，即隨著新數(shù)據(jù)的到來更新前面的濾波結(jié)果便可獲得當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)，不需要重新處理前面時(shí)刻的數(shù)據(jù)，為系統(tǒng)狀態(tài)的在線跟蹤提供了一個(gè)合理的框架。在線性高斯?fàn)顟B(tài)—空間模型下，最佳序貫貝葉斯濾波為卡爾曼濾波，在非線性/非高斯?fàn)顟B(tài)—空間模型下，最佳序貫貝葉斯濾波不存在通用的解析解，只能采用近似理論，基于卡爾曼濾波的方法和質(zhì)點(diǎn)濾波方法，是兩類比較常用的近似方法。擴(kuò)展卡爾曼濾波、Unscented卡爾曼濾波等基于卡爾曼濾波的方法用高斯分布來近似后驗(yàn)密度;序貫重要性采樣、序貫重要性重采樣等質(zhì)點(diǎn)濾波方法通過一系列的隨機(jī)采樣點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)值來表征后驗(yàn)密度?；诳柭鼮V波的方法和質(zhì)點(diǎn)濾波方法各有各的優(yōu)勢，是相互補(bǔ)充的。本文采用擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣對兩個(gè)非線性/非高斯系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，來說明擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣的特點(diǎn)和適用范圍。

1 序貫貝葉斯濾波

狀態(tài)方程(狀態(tài)過程演化):

測量方程(觀察過程演化):

序貫貝葉斯濾波是基于狀態(tài)—空間模型的，狀態(tài)—空間模型包括兩個(gè)方程:狀態(tài)方程和測量方程，狀態(tài)方程表征系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化關(guān)系，測量方程表征測量數(shù)據(jù)和系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系?；跔顟B(tài)方程和測量方程可以遞歸得到濾波后驗(yàn)密度。在線性高斯?fàn)顟B(tài)—空間模型下，卡爾曼濾波為最佳序貫貝葉斯濾波，由于它的高斯特性，遞歸過程只需傳遞均值和協(xié)方差，容易實(shí)現(xiàn)。但是線性高斯假設(shè)約束性太強(qiáng)，很多實(shí)際應(yīng)用中狀態(tài)—空間模型為非線性/非高斯的。在非線性/非高斯?fàn)顟B(tài)空間模型下，最佳序貫貝葉斯濾波不存在解析解，只能采用近似理論，基于卡爾曼濾波的方法和質(zhì)點(diǎn)濾波方法，是兩類主要的近似方法。

1.1 基于卡爾曼濾波的方法

基于卡爾曼濾波的方法，后驗(yàn)密度采用高斯近似，序貫濾波過程只需遞歸傳遞均值和協(xié)方差，計(jì)算量低，但是這種高斯化在后驗(yàn)密度非高斯化比較嚴(yán)重時(shí)不能很好地描述后驗(yàn)密度(如多模或重拖尾)。

擴(kuò)展卡爾曼將狀態(tài)方程和測量方程通過一階泰勒展開進(jìn)行局部線性化，假定先驗(yàn)分布、過程噪聲和測量噪聲為高斯分布，后驗(yàn)密度便近似為高斯分布。擴(kuò)展卡爾曼不具有最佳性，它的性能取決于線性化的精度。UKF利用UT變換來進(jìn)行均值和協(xié)方差的傳遞。在UT變換中，精心挑選的一些加權(quán)sigma點(diǎn)代表狀態(tài)變量經(jīng)過非線性變換得到下一時(shí)刻的sigma點(diǎn)，用sigma點(diǎn)來捕捉狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差［2］。

1.2 質(zhì)點(diǎn)濾波

質(zhì)點(diǎn)濾波方法通過一系列的隨機(jī)采樣點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)值離散加權(quán)表示后驗(yàn)密度，基于這些采樣點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)值進(jìn)行狀態(tài)的估計(jì)。隨著采樣數(shù)目的增多，后驗(yàn)密度的離散加權(quán)表征等效于真實(shí)的后驗(yàn)密度。

序貫重要性采樣算法，隨著測量數(shù)據(jù)的獲得，遞歸傳播采樣點(diǎn)和權(quán)值，得到每時(shí)刻后驗(yàn)密度的離散加權(quán)表示。它是質(zhì)點(diǎn)濾波的基本形式，其余形式的質(zhì)點(diǎn)濾波可認(rèn)為是它的特例。序貫重要性采樣質(zhì)點(diǎn)濾波存在褪化問題，褪化問題是指經(jīng)過許多輪的迭代后，幾乎所有采樣點(diǎn)的權(quán)值都接近于0，只有少數(shù)幾個(gè)采樣點(diǎn)的權(quán)值具有較大的值。解決這個(gè)問題有兩種方法:一種是選擇好的重要性密度，另一種是當(dāng)褪化問題嚴(yán)重到一定程度時(shí)進(jìn)行重采樣［3］。重采樣的基本思想為舍掉權(quán)值小的采樣點(diǎn)，對權(quán)值大的采樣點(diǎn)進(jìn)行復(fù)制。在序貫重要性采樣算法的更新步驟后加入重采樣過程即為序貫重要性重采樣算法。

2 仿真

舉兩個(gè)仿真的例子，來比較擴(kuò)展卡爾曼算法和序貫重要性重采樣算法的性能。第一個(gè)例子是單變量一階Markov過程，第二個(gè)例子是一個(gè)實(shí)際的問題——純方位目標(biāo)跟蹤。

2.1 一階Markov過程

xk為系統(tǒng)狀態(tài)，zk為測量數(shù)據(jù)。實(shí)現(xiàn)步數(shù)為30次，質(zhì)點(diǎn)數(shù)目為300個(gè)，Monte Carlo仿真次數(shù)為200次。序貫重要性重采樣算法對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)時(shí)采用MMSE準(zhǔn)則。真實(shí)的狀態(tài)值和擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣估計(jì)值如圖1所示。系統(tǒng)狀態(tài)擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣估計(jì)均方根誤差(RMS)如圖2所示。由仿真可以看出擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣的性能相近。

2.2 純方位跟蹤

純方位跟蹤討論的是對目標(biāo)的方位和距離的跟蹤。因目標(biāo)的運(yùn)動具有一定的規(guī)律性，將這個(gè)規(guī)律性知識給利用上，利用方位信息便可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的純方位跟蹤。這里假設(shè)目標(biāo)為恒速運(yùn)動模型，狀態(tài)方程對目標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行了表征。x、y為目標(biāo)的笛卡爾坐標(biāo)，vx、vy為目標(biāo)的速度。ak代表x和y方向的加速度，用來表征可能的速度變化。測量方程表征了測量方位和狀態(tài)向量的關(guān)系，觀測點(diǎn)固定于原點(diǎn)處，測量數(shù)據(jù)為目標(biāo)的方位。

圖1 狀態(tài)真值和估計(jì)值

圖2 狀態(tài)的均方根誤差

目標(biāo)位置擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣估計(jì)均方根誤差(RMS)如圖3、4所示。目標(biāo)速度擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣估計(jì)的均方根誤差(RMS)如圖5、6所示。由仿真結(jié)果可以看出序貫重要性重采樣性能明顯優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼。

圖3 x坐標(biāo)的均方根誤差

圖4 y坐標(biāo)的均方根誤差

圖5 vx的均方根誤差

圖6 vy的均方根誤差

第一個(gè)仿真例子非線性/非高斯不嚴(yán)重，高斯分布可以較好的近似真實(shí)的后驗(yàn)分布，所以擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣性能相近，但是由于擴(kuò)展卡爾曼計(jì)算量低，所以選擇擴(kuò)展卡爾曼比較合適，第二個(gè)例子非線性/非高斯情況比較嚴(yán)重，高斯分布不能很好的近似真實(shí)的后驗(yàn)分布，序貫重要性重采樣性能明顯優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼，采用序貫重要性重采樣算法比較合適。

3 結(jié)束語

本文對非線性/非高斯序貫貝葉斯濾波理論進(jìn)行了總結(jié)，主要討論了基于卡爾曼濾波的方法和質(zhì)點(diǎn)濾波方法?；诳柭鼮V波的方法，后驗(yàn)密度采用高斯近似，計(jì)算量低，但是這種高斯化在后驗(yàn)密度非高斯化比較嚴(yán)重時(shí)不能很好地描述后驗(yàn)密度。質(zhì)點(diǎn)濾波是一種寬容性的方法，一切情況的非線性/非高斯情況都可以處理，但是計(jì)算量比較大。它們各有各的優(yōu)勢，是相互補(bǔ)充的。

本文采用擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣對兩個(gè)非線性/非高斯系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，仿真表明系統(tǒng)非線性/非高斯不嚴(yán)重時(shí)采用擴(kuò)展卡爾曼和序貫重要性重采樣性能相近，但是擴(kuò)展卡爾曼計(jì)算量低，采用擴(kuò)展卡爾曼算法比較合適;非線性/非高斯較嚴(yán)重時(shí)采用序貫重要性重采樣性能明顯優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼，采用序貫重要性重采樣比較合適。

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