斜拉橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性分析

沈 丹， 張鳴祥， 王建國(guó)

(1.南京市市政設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，江蘇南京 210008;2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009)

隨著橋梁跨徑的日益增大，橋梁結(jié)構(gòu)對(duì)風(fēng)致響應(yīng)變得更加敏感，存在靜風(fēng)失穩(wěn)的可能性[1]。靜風(fēng)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在給定風(fēng)速作用下，主梁發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)，一方面改變了結(jié)構(gòu)剛度，另一方面改變了風(fēng)荷載的大小，并反過(guò)來(lái)增大了結(jié)構(gòu)的變形，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的現(xiàn)象。過(guò)去，人們普遍認(rèn)為大跨徑橋梁的顫振臨界風(fēng)速一般都低于靜力失穩(wěn)，近年來(lái)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和理論研究表明，大跨徑橋梁存在由靜風(fēng)引起的彎扭失穩(wěn)現(xiàn)象。

早期的靜風(fēng)穩(wěn)定性分析方法主要采用側(cè)傾分析法和結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)發(fā)散分析法，它們均未考慮結(jié)構(gòu)和靜風(fēng)荷載非線性因素的相互作用，難以獲得準(zhǔn)確的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界點(diǎn)，屬于線性分析，按線性理論計(jì)算得到的空氣靜力失穩(wěn)風(fēng)速會(huì)明顯偏高。為此，文獻(xiàn)[2]提出了用增量與迭代相結(jié)合的方法進(jìn)行大跨度橋梁第2類(lèi)靜風(fēng)穩(wěn)定分析;文獻(xiàn)[3-6]進(jìn)一步提出了增量與內(nèi)外兩重迭代方法;文獻(xiàn)[7]采用增量雙重迭代搜索法對(duì)香港汀九橋位代表的斜拉橋進(jìn)行了靜風(fēng)穩(wěn)定分析;文獻(xiàn)[8]提出了時(shí)域分析方法計(jì)算風(fēng)致響應(yīng)后的等效靜力風(fēng)荷載求解體系;文獻(xiàn)[9]為了考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性提出了新的空氣靜力分析方法;文獻(xiàn)[10]使用動(dòng)力學(xué)方法對(duì)大跨度橋梁靜風(fēng)穩(wěn)定性以及臨界風(fēng)速進(jìn)行探討。本文考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性，將非線性靜風(fēng)荷載表示為風(fēng)速和結(jié)構(gòu)變形的函數(shù)，采用增量與內(nèi)外兩重迭代相結(jié)合的方法，利用ANSYS中參數(shù)化語(yǔ)言(APDL)編寫(xiě)了計(jì)算程序，對(duì)拱塔斜拉橋進(jìn)行了非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性全過(guò)程分析。

1 斜拉橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性分析

按照文獻(xiàn)[11]，作用在主梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的靜風(fēng)荷載可分解為體軸坐標(biāo)系下的橫向風(fēng)荷載F h、豎向風(fēng)荷載F v和扭轉(zhuǎn)力矩M。隨著風(fēng)速的增加，主梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)，結(jié)構(gòu)的姿態(tài)發(fā)生改變，靜風(fēng)與主梁的相對(duì)攻角隨之改變，從而使作用其上的三分力系數(shù)發(fā)生改變，最終導(dǎo)致作用在主梁上的靜風(fēng)荷載發(fā)生改變。靜風(fēng)荷載可表示為風(fēng)速、三分力系數(shù)和有效攻角的函數(shù)[1]，即

其中，v為平均風(fēng)速;Ch(α)、Cv(α)、Cm(α)分別為主梁在有效攻角下沿結(jié)構(gòu)體軸坐標(biāo)系方向的阻力、升力、升力矩系數(shù);α為有效攻角，α=α0+θ，α0為風(fēng)的初始攻角，θ為結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)角;ρ為空氣密度;D、B分別為主梁的側(cè)向投影高度和寬度。從(1)式可以看出靜風(fēng)荷載是結(jié)構(gòu)變形的函數(shù)，計(jì)算中必須考慮這一非線性因素的影響。

根據(jù)空間桿系結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性理論和有限元法，大跨徑橋梁靜風(fēng)穩(wěn)定性問(wèn)題的有限元平衡方程[1]如下:

其中，u為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量;K(u)為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，剛度矩陣的系數(shù)與節(jié)點(diǎn)位移相關(guān); Fh(α)、Fv(α)、M(α)分別為結(jié)構(gòu)體軸方向上所受的阻力、升力和升力矩;f是靜風(fēng)荷載引起的等效節(jié)點(diǎn)荷載向量，與阻力、升力和升力矩有關(guān)。

從(1)式和(2)式可以看出，結(jié)構(gòu)的剛度是結(jié)構(gòu)變形的函數(shù)，右端所表示的靜風(fēng)荷載也是結(jié)構(gòu)變形的函數(shù)。結(jié)構(gòu)平衡(2)式為非線性方程組。非線性方程的求解方法有增量法、迭代法和增量-迭代法。本文采用增量與內(nèi)外兩重迭代相結(jié)合的方法求解(2)式。將風(fēng)速按一定比例增加，內(nèi)層迭代主要是進(jìn)行結(jié)構(gòu)的非線性計(jì)算，而外層迭代則是為了尋找結(jié)構(gòu)在某一風(fēng)速下的平衡位置，相應(yīng)的非線性增量平衡方程為:

其中，K0為線彈性剛度矩陣;Kσj-1(u j-1)為第j-1步時(shí)，由第i級(jí)靜風(fēng)荷載引起的幾何剛度矩陣; Δu j為第i級(jí)靜風(fēng)荷載引起的第j步狀態(tài)時(shí)位移增量;fj為第i級(jí)靜風(fēng)荷載引起的第j步有效攻角αj的等效節(jié)點(diǎn)力向量;f j-1為第i級(jí)靜風(fēng)荷載引起的第j-1步有效攻角αj-1的等效節(jié)點(diǎn)力向量。在進(jìn)行空氣靜力穩(wěn)定性分析前，先確定斜拉橋的成橋狀態(tài)下恒載內(nèi)力，具體實(shí)施步驟如下:

(1)自重作用下線性求解。

(2)提取主梁?jiǎn)卧まD(zhuǎn)角，計(jì)算該狀態(tài)三分力系數(shù)，此時(shí)主梁有效攻角等于初始攻角α0。

(3)假定初始風(fēng)速v0和風(fēng)速步長(zhǎng)Δv，由(1)式可以計(jì)算出作用在結(jié)構(gòu)上的靜三分力。

(4)在當(dāng)前風(fēng)速下，采用牛頓-拉普生方法(New ton-Raphson)進(jìn)行結(jié)構(gòu)幾何非線性求解，得出結(jié)構(gòu)位移。

(5)提取主梁扭轉(zhuǎn)角進(jìn)而在該級(jí)風(fēng)速下進(jìn)行三分力系數(shù)修正，重新計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜風(fēng)荷載。

(6)檢查三分力系數(shù)的歐幾里得范數(shù)是否小于允許值，即

其中，N a為受靜風(fēng)荷載作用的節(jié)點(diǎn)總數(shù);Ck分別為阻力系數(shù)C h、升力系數(shù)C v和升力矩系數(shù)C m;εk為阻力系數(shù)Ch、升力系數(shù)Cv和升力矩系數(shù)Cm的允許誤差，可取0.005。

(7)如果小于允許值，說(shuō)明本級(jí)風(fēng)速計(jì)算結(jié)果收斂，輸出結(jié)果，按預(yù)定步長(zhǎng)增加風(fēng)速，進(jìn)行下一級(jí)風(fēng)速計(jì)算。如果大于允許值，重復(fù)步驟(4)～(6)，若迭代次數(shù)超過(guò)預(yù)定的次數(shù)，說(shuō)明本級(jí)風(fēng)速難以收斂，將風(fēng)速步長(zhǎng)減半，返回步驟(4)重新計(jì)算，直至相鄰2次風(fēng)速之差小于預(yù)定值為止。

2 算 例

2.1 基本數(shù)據(jù)

本文以某拱塔斜拉橋?yàn)槔?，?lái)考察斜拉橋的靜風(fēng)穩(wěn)定性。該橋是一座三塔四跨雙索面斜拉橋，全橋跨徑布置為120 m+260m+260 m+ 120 m=760m。主梁為混凝土Π形梁，主梁梁高為3.2m，翼緣和腹板尺寸如圖1所示，該橋中塔和邊塔為拱形預(yù)應(yīng)力混凝土塔，塔高分別為106m和88m。斜拉索采用平行鋼絞線拉索，主梁標(biāo)準(zhǔn)索距為7 m，塔上標(biāo)準(zhǔn)索距為2 m。鋼絞線強(qiáng)度為1 860 MPa，全橋共設(shè)50對(duì)斜拉索。

圖1 斜拉橋主梁標(biāo)準(zhǔn)斷面

2.2 橋梁結(jié)構(gòu)的有限元離散

為了保證對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的抽象和簡(jiǎn)化，保持結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量的等效性及其空間分布，保證支撐條件真實(shí)反映結(jié)構(gòu)的工作行為，用空間桿單元和梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬整個(gè)結(jié)構(gòu)，主梁主塔采用空間梁?jiǎn)卧狟eam188模擬，斜拉索用索單元 Link10模擬以考慮索的非線性影響，斜拉橋采用魚(yú)骨式模型，全橋共有700個(gè)單元，其中主梁?jiǎn)卧?10個(gè)，塔單元390個(gè)，索單元200個(gè)。結(jié)構(gòu)三維有限元離散模型如圖2所示。

圖2 拱塔斜拉橋三維有限元離散模型

2.3 計(jì)算結(jié)果

由于大氣邊界層的強(qiáng)風(fēng)主要是水平方向的，但可能有+3°～-3°攻角的微小變化，則靜三分力系數(shù)隨攻角有相應(yīng)的變化，因此偏安全地取攻角+3°～-3°范圍內(nèi)的最大值，計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)在靜風(fēng)荷載下的主梁和主塔的效應(yīng)。通過(guò)對(duì)主梁進(jìn)行節(jié)段模型試驗(yàn)測(cè)得主梁體坐標(biāo)系下的靜三分力系數(shù)，如圖3所示。

模擬成橋狀態(tài)風(fēng)速加載全過(guò)程，初始風(fēng)攻角取3°，以0m/s的初始風(fēng)速進(jìn)行逐級(jí)加載，采用靜力扭轉(zhuǎn)發(fā)散公式計(jì)算的臨界風(fēng)速為260 m/s;不同初始風(fēng)攻角下，計(jì)入幾何非線性的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1所列。

圖3 成橋狀態(tài)主梁三分力系數(shù)曲線

表1 不同初始風(fēng)攻角的計(jì)算結(jié)果

3°初始風(fēng)攻角時(shí)，主梁主要截面位置處豎向位移、橫向位移和扭轉(zhuǎn)角隨風(fēng)速的變化過(guò)程，如圖4所示。

圖4 主梁豎向位移、橫向位移及扭轉(zhuǎn)角隨風(fēng)速的變化

不同初始攻角下主梁跨中截面豎向位移隨風(fēng)速的變化過(guò)程，如圖5所示。

圖5 不同初始攻角跨中豎向位移隨風(fēng)速的變化

3 結(jié) 論

(1)不考慮非線性會(huì)使計(jì)算的結(jié)構(gòu)靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速偏大，偏于不安全。

(2)3°風(fēng)攻角時(shí)，在風(fēng)速不斷增加的過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的豎向、橫向和扭轉(zhuǎn)變形都呈現(xiàn)明顯的非線性增長(zhǎng)特征，表明此拱塔斜拉橋在靜風(fēng)作用下的變形是主梁豎彎、側(cè)彎和扭轉(zhuǎn)變形完全耦合的過(guò)程。

(3)主梁中跨跨中處的豎彎、側(cè)彎和扭轉(zhuǎn)變形均大于中跨1/4跨處，中跨1/4跨處較明顯大于邊跨跨中。這表明在靜風(fēng)荷載作用下，主梁的位移值沿梁長(zhǎng)方向明顯分布不均，跨中位置大于其它位置。

(4)在不同的初始攻角下，主梁的豎彎變形差異較大。0°～3°范圍內(nèi)，升力系數(shù)曲線、升力矩系數(shù)曲線斜率較大并且穿過(guò)零點(diǎn)。隨著初始風(fēng)攻角的增大，斜拉橋的靜風(fēng)穩(wěn)定性會(huì)略有下降。

[1] 鞏海帆.現(xiàn)代橋梁抗風(fēng)理論與實(shí)踐[M].北京:人民交通出版社，2005:412-444.

[2] 方明山，鞏海帆，肖汝誠(chéng).大跨徑纜索承重橋梁非線性空氣靜力穩(wěn)定理論[J].土木工程學(xué)報(bào)，2000，13(3):73-79.

[3] 程 進(jìn)，肖汝誠(chéng)，鞏海帆.大跨徑斜拉橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性全過(guò)程分析[J].中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2000，13(3):25-28.

[4] 程 進(jìn).纜索承重橋梁非線性空氣靜力穩(wěn)定性研究[D].上海:同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2000.

[5] Cheng Jin，Jiang Jianjing，Xiao Rucheng，et al.Advanced aerostatic stability analysisof cab le-stayed bridgesusing finite-elemen tmethod[J].Computers and Structu res，2002，80:1145-1158.

[6] 胡小倫.大跨度斜拉橋顫抖振響應(yīng)及靜風(fēng)穩(wěn)定性分析[D]，上海:同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2006.

[7] 韓大建，鄒小江.大跨度斜拉橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定分析[J].工程力學(xué)，2005，22(1):206-210.

[8] 江 勇，王肈民，王洪濤.大跨空間鋼結(jié)構(gòu)時(shí)域等效靜力風(fēng)荷載理論研究[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，31(2):202-206.

[9] Zhang Xinjun.Advan ced aerostatic analysis of long-span suspension bridges[J].Jou rnal of Zhejiang University:Science A，2006，7(3):424-429.

[10] Tsay J Y，Yang Y B.Aerodynamic instability of cablesuppo rted bridges considering the initial deformed shape due to dead loads[J].Int J of Structural Engineering，2009，1(1):71-92.

[11] 項(xiàng)海帆，林志興，鮑衛(wèi)剛.公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)指南[M].北京:人民交通出版社，1996:20-23.