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      解非線性方程的一種新的全局快速算法

      2011-03-15 14:30:58馬昌鳳
      關(guān)鍵詞:收斂性牛頓全局

      倪 健, 馬昌鳳

      (1.南京榮飛科技有限公司,江蘇南京 210009;2.桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西桂林 541004;3.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州 350007)

      工程實(shí)際與科學(xué)計(jì)算中都遇到大量求解非線性方程f(x)=0的問(wèn)題。對(duì)于這類問(wèn)題,常常不能用解析方法求其精確解,而只能利用數(shù)值方法求其近似解。有關(guān)學(xué)者已提出求解非線性方程的許多數(shù)值方法[1-5],牛頓法是最流行的一種解法[6]。但對(duì)于某些非線性方程,用牛頓法進(jìn)行迭代求根需迭代多次。本文提出了解非線性方程的一種新方法,該方法通過(guò)對(duì)一些參數(shù)的選取,不僅比牛頓法收斂更快,而且具有全局收斂性。

      1 解非線性方程新算法的描述

      1.1 收斂性分析

      設(shè)非線性方程為f(x)=0,其中f(x)為連續(xù)

      其中,y=x-αf(x)/f′(x),0<α≤1。

      假設(shè)函數(shù) f:R→R存在零點(diǎn)x*,且初始點(diǎn)x0在U(x*)內(nèi)。欲使該迭代函數(shù)收斂,則需滿足|Ψ′(x)|<1,因此,本文首先計(jì)算Ψ′(x),即可微的非線性函數(shù)。

      考慮迭代函數(shù):

      易知f(x*)=0,則有以下極限存在:

      由此可得:

      綜上所述,可得:利用拉格朗日定理得:

      即Ψ(a)-Ψ(b)=Ψ′(ξ)(a-b),ξ∈(a,b)。所以|。

      1.2 收斂效率分析

      為簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè) f(x)>0,f′(z)>0,f″(z)>0,z∈U(x*)。要使該方法的收斂速度優(yōu)于牛頓法,則需在假設(shè)情況下,此方法一步收斂結(jié)果比牛頓法一步收斂結(jié)果更接近零點(diǎn),即

      x*≤Ψ(x)≤x-f(x)/f′(x)。

      考慮:

      當(dāng)x→x*時(shí),對(duì)兩邊取極限,有??紤]:

      當(dāng)x→x*時(shí),對(duì)兩邊取極限,則有:

      綜上所述,(β-1+α)-1=α-1?β=1,代入(2)式有:

      由此可得迭代函數(shù):

      其中,y=x-αf(x)/f′(x),0<α≤1。所以此迭代函數(shù)較牛頓法有更快收斂速度。

      2 全局參數(shù)描述

      其中,y=x-αf(x)/f′(x),0<α≤1。

      假設(shè)f(x)>0,f′(z)>0,f″(z)>0,z∈U(x*),在類似的情況下,其它情況同理可得。

      為了使γ滿足x*≤Ψ(x)≤y,考慮

      上述迭代函數(shù)不滿足全局收斂。為了得到一個(gè)全局收斂的迭代函數(shù),本文考慮以下迭代格式:

      考慮:

      當(dāng)x→x*時(shí),對(duì)右邊取極限,則有:

      當(dāng)γ=-1時(shí),所考慮的迭代函數(shù)即為(1)式所示函數(shù)。

      如果x0?U(x*),可以考慮

      若f′(y)≈[f(y)-f(x)]/(y-x),則有:

      實(shí)際上,常用

      總結(jié)上述結(jié)果得到滿足全局收斂的迭代格式為:

      當(dāng)|f(xk)|≤η,γ=-1。

      3 算 法

      (4)計(jì)算 xk+1=xk+(yk-xk)f(xk)]/ [f(xk)+γf(yk)]。

      (5)如果k>n,停止;如果|f(xk)|<ε,停止。

      (6)k→k+1,返回步驟(2)。

      根據(jù)上述論證,可得本文算法步驟如下:

      (1)選取初始值x0∈R,α∈(0,1],ε>0,η>0,n∈N,令k=0。

      (2)計(jì)算yk=xk-αf(xk)/f′(xk)。

      (3)如果|f(xk)|>η,則

      4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

      為了驗(yàn)證本文算法的有效性,本文選取比較典型的代數(shù)方程和超越方程,在Matlab環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值模擬。

      先將本文算法與牛頓法作比較,驗(yàn)證本文算法較牛頓法有更快收斂速度。實(shí)驗(yàn)方程如下:

      例1 f(x)=(x-6)5-10(x-6)4+38(x-

      6)3-68(x-6)2-57(x-6)-8=0;

      例2 f(x)=1-exp(x2-3x-4);

      例3 f(x)=x2-sin x;

      例4 f(x)=exp(-x2)-ln(x+1)。

      為了便于處理,設(shè)定參數(shù)分別為:容許誤差ε=1.0E-11,n=1 000,η=0.1,α=1。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1所列。

      表1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

      數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,本文算法的收斂速度明顯快于牛頓法,平均減少1/2的迭代次數(shù),且本文算法的全局收斂效果良好。

      以上述例1和例3為算例,初始值x0分別取-10、-2.9,結(jié)果見(jiàn)表2所列。

      表2 不同算例的收斂效率

      數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)α=1時(shí),本文算法的迭代效果最佳。

      5 結(jié)束語(yǔ)

      本文介紹的新算法具有收斂速度快、計(jì)算精度高、計(jì)算精度可控、收斂性不依賴初始值的選擇等特點(diǎn),因此,本文算法不僅是有效的,而且是高效的。

      [1] He JH.Improvement of New ton iteration method[J].Int J Non linear Sci Numer Simulation,2000,1(2):239-240.

      [2] U jevic'N.A m ethod for solving nonlinear equations[J].Appl M ath Comput,2006,174(2):1416-1426.

      [3] 李聲鋒.求解方程的一類迭代方法及應(yīng)用[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,2007.

      [4] 林 洋,楊利華,詹棠森.預(yù)測(cè)校正磨光算法及應(yīng)用[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33(8):1274-1276.

      [5] 王能超.算法演化論[M].北京:高等教育出版社,2008: 35-59.

      [6] Yamamoto T.Historicaldevelopment in convergence analysis for New ton's and New ton-like methods[J].JCom put ApplM ath,2000,124:1-23.

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