關(guān)于單形寬度的Sallee猜想的加強(qiáng)

潘娟娟 楊世國(guó)， 劉家保

(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230039;2.安徽新華學(xué)院數(shù)理部，安徽合肥 230038;3.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥230061)

0 引 言

設(shè)K為n維歐氏空間En中的有界凸體，對(duì)En中的每個(gè)單位向量μ、凸體K的一對(duì)與μ垂直的支撐超平面之間的距離記為τ(K，μ)，令

稱(chēng)ω(K)為凸體K的寬度[1]。

關(guān)于En中有界凸體寬度的研究是凸幾何學(xué)中一個(gè)非常重要的課題。

Sallee于1974年對(duì)En中n維單形 Δn的寬度提出了內(nèi)接已知超球面的所有單形中，正則單形具有最大的寬度[2]。

文獻(xiàn)[1]證明了Sallee這一猜想，建立了n維單形Δn的ω(Δn)與外接球半徑R之間成立的不等式，即

(1)式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) Δn為正則單形，其中

本文約定[m]表示實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)部分。

文獻(xiàn)[3]得到比Sallee-A lexander定理更強(qiáng)的結(jié)果，即在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與體積V之間成立不等式，即

(2)式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) Δn為正則單形，其中

本文研究了單形寬度的類(lèi)似問(wèn)題，得到不等式(3)、(4)，加強(qiáng)了不等式(1)、(2)。

1 主要結(jié)果

設(shè)n維歐氏空間En中n維單形Δn的頂點(diǎn)集S={A1，A2，…，An+1}，體積為V，各側(cè)面面積為Fi(i=1，2，…，n+1)，外接球半徑為R，棱長(zhǎng)為ρij=|Ai Aj|(1≤i＜j≤n+1)，τ(Δn，μ)表示單形Δn在方向μ的寬度，對(duì)n維單形Δn，記

定理1 在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與體積V之間有不等式，即

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

定理2 在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與外接球半徑R之間有不等式，即

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

由于cscθ≥1，R/nr≥1，ξn≥1，因此不等式(3)加強(qiáng)了不等式(2)，不等式(4)加強(qiáng)了不等式(1)。

2 引理和定理的證明

2.1 引理及證明

為了證明定理1、定理2，本文引用以下幾個(gè)引理。

引理1 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形[4]。

引理2 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形[5]。

引理3 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形[6]。

由引理2、引理3可知不等式(8)成立。

引理4 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

引理5 設(shè)m個(gè)正數(shù)xi(i=1，2，…，m)的算術(shù)平均值為 Am(xi)，幾何平均值為Gm(xi)，X=max{xi}，x=min{xi}，則

當(dāng)x1=x2=…=xm時(shí)等號(hào)成立[7，8]。

引理6 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

證明 應(yīng)用文獻(xiàn)[9]中不等式，即

變換形式即得:

對(duì)不等式(11)右端應(yīng)用引理5便得不等式(10)，易知不等式(10)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

引理7 對(duì)En中n維單形Δn，有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

證明 利用單形體積公式及冪平均不等式，有

整理便得不等式(12)，易知等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Δn為正則單形。

引理8 對(duì)點(diǎn)集S的每一個(gè)非空真子集A，En中必存在一定向超平面H，使SA?H，且A中的各點(diǎn)到H的帶號(hào)距離都相等，若以v表示H的單位法向量，這個(gè)帶號(hào)距離的絕對(duì)值為τ(Δn，v)[3]。

令I(lǐng)={1，2，…，n+1}，θm表示I的一切m元子集所成的集合，即

其中，|σ|表示集合σ的元素個(gè)數(shù)。于是單形 Δn的頂點(diǎn)集S的每個(gè)子集Sσ可以和I的一個(gè)子集σ對(duì)應(yīng)，即

且當(dāng)1≤|σ|≤n時(shí)，由引理8可知，存在定向超平面Hσ，使Sσ中一切點(diǎn)到Hσ的帶號(hào)距離都相等，這個(gè)帶號(hào)距離僅與Hσ有關(guān)。若以Vσ表示Hσ的單位法向量，當(dāng) Δn取定時(shí)，τ(Δn，Vσ)僅與σ有關(guān)，故可記:

在上述記號(hào)之下，由文獻(xiàn)[3]有引理9和引理10。

引理9 對(duì)En中n維單形Δn，有

2.2 定理1的證明

證明 對(duì)一切σ∈θm，計(jì)算 τ-2α的算術(shù)平均AM(τ-2

α)，由引理9有:

由引理8可知:

故

由(21)式與(18)式，可得:

將不等式(5)、(8)、(10)左端應(yīng)用算術(shù)-幾何不等式，便得:

將不等式(23)代入不等式(22)化簡(jiǎn)便得不等式(3)，定理1得證。另將不等式(12)代入不等式(3)，化簡(jiǎn)便得證定理2。

[1] A lexander R.The w idth and diam eter of a simplex[J]. Geometriae Dedicata，1977，(6):87-94.

[2] Guy R K.The geometry of metric and linear space[M]. New York:Springer-Velag，1975:233-244.

[3] 楊 路，張景中.度量方程應(yīng)用于 Sallee猜想[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1983，26(4):488-493.

[4] 沈文選.單形論導(dǎo)引[M].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué)出版社，2000:375-384.

[5] 冷崗松.En中Euler不等式的一個(gè)加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995，(2):94-96.

[6] 蘇化明.一個(gè)涉及單形體積棱長(zhǎng)及側(cè)面面積的不等式[J].數(shù)學(xué)雜志，1993，13(4):453-455.

[7] 楊世國(guó).涉及兩個(gè)n維單形的不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2006，33(3):247-249.

[8] 齊繼兵，楊世國(guó).關(guān)于垂足單形體積不等式的推廣[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(6):794-797.

[9] 張景中，楊 路.關(guān)于質(zhì)點(diǎn)組的一類(lèi)幾何不等式[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1981，11(2):1-8.