環(huán)+上的一類(lèi)常循環(huán)碼

丁 健， 李紅菊， 劉家保

(安徽新華學(xué)院數(shù)理部，安徽合肥 230088)

0 引 言

近年來(lái)，編碼理論與密碼學(xué)方向的學(xué)者對(duì)剩余類(lèi)環(huán)Fq+uFq+…+uk-1Fq有濃厚的興趣(q為素?cái)?shù)p的方冪)。文獻(xiàn)[1]研究了F2+uF2上的循環(huán)碼，以及(n，2)=1時(shí)(1+u)常循環(huán)碼及其G ray像;文獻(xiàn)[2]利用環(huán)Fq+uFq上的線性碼進(jìn)行了格的構(gòu)造;文獻(xiàn)[3]給出了環(huán)Fq+uFq上關(guān)于厄米特內(nèi)積的線性碼的自對(duì)偶碼計(jì)數(shù)公式;文獻(xiàn)[4]利用環(huán)Fq+uFq上的碼，通過(guò)線性碼的G ray映射找到了一大批Fq上的最優(yōu)碼;文獻(xiàn)[5]探討了環(huán)Fp+uFp+…+uk-1Fp上的準(zhǔn)循環(huán)碼;文獻(xiàn)[6]研究了n=pe時(shí)，環(huán)Fq+uFq+…+ uk-1Fq上的(1+αu)常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[7]討論了Fpk+uFpk上的(1-u)常循環(huán)碼;文獻(xiàn)[8]研究了F2+uF2的伽諾瓦擴(kuò)環(huán)上長(zhǎng)為2s的所有常循環(huán)碼。本文研究了(n，p)=1時(shí)，F(xiàn)pk+uFpk上的一類(lèi)常循碼的置換等價(jià)性及其 Gray像的結(jié)構(gòu)。

1 基本概念

令p是素?cái)?shù)且k∈N，R代表環(huán)Fpk+uFpk，其中u2=0，F(xiàn)pk=GF(pk)，則R是以u(píng)R和Fpk為極大理想的有限鏈環(huán)。令C為R上長(zhǎng)為n的碼，P(C)為其多項(xiàng)式，則

令V為從Rn到Rn的映射，即

其中，λ為R上的單位。則有C是R上的λ常循環(huán)碼?V(C)=C。

命題1 R上長(zhǎng)為n的碼C是λ常循環(huán)碼?P(C)是R[x]/〈xn-λ〉的理想。

若ξ是Fpk上的一個(gè)本原元，則與ε∈Zpk相對(duì)應(yīng)地有:

R上的Gray映射為有限鏈環(huán)上Gray映射的特例[3]，即

其中，⊕為Fpk上的分量相加。

2 (1+αu)循環(huán)碼及其Gray像

假設(shè)(n，p)=1，則存在n′∈{0，1，…，p-1}滿足nn′≡1(mod p)，與文獻(xiàn)[9]類(lèi)似，本文令β= 1+n′αu，作如下映射:

可得到以下引理。

引理 1 本文構(gòu)造的 φ映射是從R[x]/〈xn-(1+αu)〉到R[x]/〈xn-1〉的環(huán)同構(gòu)映射。

證明 對(duì)于任意f(x)，g(x)∈R[x]，

存在h(x)∈R[x]使得

所以φ映射是從R[x]/〈xn-(1+αu)〉到R[x]/〈xn-1〉的一一映射。

由于φ(f(x)+g(x))=f(βx)+g(βx)= φ(f(x))+φ(g(x))，φ(f(x)g(x))= f(βx)g(βx)=φ(f(x))φ(g(x))，所以φ映射是從R[x]/〈xn-(1+αu)〉到R[x]/〈xn-1〉的環(huán)同構(gòu)映射。

由引理1易得定理1。

定理1 若(n，p)=1，那么Fpk+uFpk上長(zhǎng)為n的(1+αu)循環(huán)碼彼此置換等價(jià)，其中α∈Fpk。

引理2 若(n，p)=1，那么Fpk+uFpk上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼的G ray像彼此置換等價(jià)于Fpk上長(zhǎng)為pkn、指數(shù)為pk-1的準(zhǔn)循環(huán)碼[4]。

由定理1及引理2可得推論1。

推論1 若(n，p)=1，那么Fpk+uFpk上長(zhǎng)為n的(1+αu)循環(huán)碼的Gray像彼此置換等價(jià)于Fpk上長(zhǎng)為 pkn、指數(shù)為 pk-1的準(zhǔn)循環(huán)碼，其中α∈Fpk。

3 (ξi+αu)循環(huán)碼及其Gray像

ξ是Fpk上的一個(gè)本原元，假設(shè)(n，p)=1且(n，pk-1)=1，那么存在n′∈{0，1，…，p-1}使得nn′≡1(mod p)，且方程nx≡i(m od(pk-1))存在唯一的解x=j∈Zpk-1，使得(ξj)n=ξi，令β′= ξj+n′ξ(1-n)jαu，作如下映射:

與引理1的證明類(lèi)似，可得到引理3。

引理3 以上構(gòu)造的 ψ映射是從R[x]/〈xn-(ξi+αu)〉到R[x]/〈xn-1〉的環(huán)同構(gòu)映射。

由引理3可得定理2。

定理2 若(n，p)=1，且(n，pk-1)=1，那么Fpk+uFpk上長(zhǎng)為n的(ξi+αu)循環(huán)碼彼此置換等價(jià)，其中i∈Zpk，α∈Fpk。

由引理2可得推論2。

推論2 若(n，p)=1，且(n，pk-1)=1，那么Fpk+uFpk上長(zhǎng)為n的(ξi+αu)循環(huán)碼的Gray像彼此置換等價(jià)于Fpk上長(zhǎng)為pkn、指數(shù)為pk-1的準(zhǔn)循環(huán)碼，其中i∈Zpk，α∈Fpk。

4 實(shí)例分析

令F4={0，1，ω，1+ω=ω2}，在F4+uF4中考慮n=5的循環(huán)碼和常循環(huán)碼。此時(shí)p=2，k= 2。因?yàn)?2，5)=1，對(duì)于(1+αu)循環(huán)碼，α∈F4，可作映射:

此時(shí)[(1+αu)x]5-(1+αu)=(1+αu)(x5-1)，從而驗(yàn)證了定理1。

特別地，(5，22-1)=1，對(duì)于(ω+αu)循環(huán)碼，α∈F4，可作映射:

此時(shí)有:

對(duì)于(ω2+αu)循環(huán)碼，α∈F4，可作映射:

此時(shí)有:

從而驗(yàn)證了定理2。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了環(huán)Fp k+uFpk上長(zhǎng)n與p互素時(shí)(1+αu)常循環(huán)碼的置換等價(jià)性，研究了當(dāng)(n，p)=1且(n，pk-1)=1時(shí)，(ξi+αu)常循環(huán)碼的置換等價(jià)性，為進(jìn)一步研究環(huán)Fpk+uFpk上的常循環(huán)碼提供了便利。

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