自由度的認識與應用

程志明，韓兆洲

（暨南大學 經濟學院，廣州 510632）

在推斷統(tǒng)計學中，許多統(tǒng)計檢驗都會涉及到自由度的概念。然而大多數(shù)統(tǒng)計學教材介紹自由度時，往往一筆帶過，沒有給出明確的定義或足夠的解釋。正如一位學者所說的那樣：自由度，統(tǒng)計學中一個難以捉摸的概念。對于初學者來說，自由度就像是一個黑箱子，很難知道里面究竟是什么。本文將對自由度的定義作一個較全面的綜述，在此基礎上，給出自由度的科學定義。通過列舉自由度在統(tǒng)計學中的應用，旨在全面認識自由度。

1 自由度的綜述和科學定義

關于自由度的定義，大多數(shù)統(tǒng)計學教材中解釋很少，僅有的文獻對自由度的定義也顯得晦澀難懂。

（1）從獨立性方面出發(fā)的定義

James和Glenn(1976)定義自由度為：確定一個幾何體或系統(tǒng)所必需的獨立的坐標或參數(shù)的個數(shù)。這個定義是從幾何和物理的角度出發(fā)的。Mill、Harlow和Essex(1990)指出自由度在統(tǒng)計中有幾種不同的意思，自由度被Fisher引入統(tǒng)計學中，F(xiàn)isher將它看作類似于動態(tài)系統(tǒng)中的自由度的概念，在這種情況下一組樣本的自由度就是系統(tǒng)結構中可以任意指定數(shù)值的變量的個數(shù)。Gravetter和Wallnau(2008)認為：自由度是指樣本中有多少個數(shù)是獨立的，并可以自由變換的。謝啟南、韓兆洲（1991）認為自由度是指在一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個數(shù)。賈俊平(2007)指出，自由度可以解釋為獨立變量的個數(shù)，還可以解釋為二次型的秩。顯然，上述五種定義都強調了自由度的“獨立性”。

（2）從樣本量方面出發(fā)的定義

Mayhew(2004)則從樣本量和顯著性方面說明自由度，他認為在統(tǒng)計檢驗中自由度有時直接等于樣本容量，有時卻要根據(jù)樣本容量來計算；對不同的顯著性檢驗，自由度的計算是不一樣的，正確地計算自由度是進行顯著性檢驗的基礎。Everett(2002)解釋說，當樣本被用來估計總體參數(shù)或計算統(tǒng)計量時，實質上自由度是指樣本中獨立信息的數(shù)量。例如，給出一個2×2列聯(lián)表的行和與列和，這時四個頻數(shù)只有一個是可以自由變化的，所以該列聯(lián)表只有一個自由度。Glenn和Littler(1984)給出了更好的定義，因為他們同時考慮到了獨立性和樣本大小。他們定義：在統(tǒng)計量中，自由度就是所提供的數(shù)據(jù)中獨立的信息的數(shù)量，自由度等于總樣本容量減去相關總體參數(shù)或約束的個數(shù)。例如，獨立地從總體中抽取n個個體作為樣本，這些樣本的自由度為n；如果樣本均值x已知，樣本的自由度就為n-1了，因為一個觀察值可以由其他的觀察值來確定。如果總體均值μ已知，這時樣本的自由度仍是n,因為一個xi無法由其他觀察值確定。自由度是一個很重要的概念，它確定了樣本的有效容量。

（3）關于自由度的一般定義

Joseph(2008)認為：自由度是在不違背約束條件前提下可以隨意變化信息的數(shù)量。

（4）關于自由度取值的不同觀點

Kotz和Johnson(1982)認為，自由度一般是正整數(shù)，但有時它會被近似為一個小數(shù)，還有一個偏卡方分布的自由度為零。但是，Spiegel和Stephens(1999)將統(tǒng)計量的自由度V定義為樣本中獨立觀察值的個數(shù)N減去要用樣本來估計的總體參數(shù)的個數(shù)K，V=N-K，要求V一定是正整數(shù)，不能取非正整數(shù)。

（5）關于自由度計算方法

張宏廣和郝慧瑋(2006)總結了自由度計算的四個方法：①利用自由度的定義求自由度的個數(shù)；②自由度的個數(shù)等于樣本容量減去限制因子的個數(shù)；③看總體參數(shù)估計量中運用了幾個樣本統(tǒng)計量，其自由度就等于樣本容量減去幾；④自由度等于統(tǒng)計量二次型的秩。

上述從不同角度對自由度的概念與定義進行了闡述，我們認為，在推斷統(tǒng)計學中，自由度是建立在統(tǒng)計量之上的概念，它是統(tǒng)計量的數(shù)學特征。至此，我們可以給出推斷統(tǒng)計學中自由度的科學定義：自由度是指在一組樣本數(shù)據(jù)中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數(shù)值的個數(shù)。這樣，我們就較科學地將實際樣本容量和自由度區(qū)別開來。下面將進一步舉例說明自由度在不同方面的應用。

2 自由度的應用

(1)幾何中的自由度

我們從熟悉的幾何知識入手，可以對自由度的概念有一個直覺上的認識。平面上的點(x,y)，其中x和y的取值是可以隨意變化的，要在平面坐標上找到一個點，我們需要知道兩個信息：橫坐標x和縱坐標y的值。所以平面上的點的自由度為2。曲線y=3x+1上的點(x,y),此時x和y的取值是不能同時隨意變化的，只要給定了其中一個值，另一個值也就確定下來。也就是說，要確定曲線y=3x+1上的一個點，我們只要知道一個信息就已足夠：x的值或y的值。于是曲線y=3x+1上的點的自由度為1。類似地，平面x+2y+3z=9上點的自由度為2。

(2)樣本方差的自由度

許多教科書在列出樣本方差的計算公式時都沒有說明分子n-1(n為樣本容量)就是自由度，也很少解釋清楚為什么是除以n-1而不是n。

假設一個容量為10的樣本，如果沒有其他關于該樣本的信息或約束的話，任意從總體中抽取的10個觀察值都可以形成這樣的樣本。也就是說，這10個觀察值可以任意地被從總體中抽取的其他觀察值所取代。當我們想要計算樣本方差時，必須先算出樣本均值，設=35。此時，這10個觀察值就不能任意地被總體中抽取的其他觀察值所取代了。因為n=350，10個觀察值的總和必須等于350。這樣一來，樣本中只有9個觀察值可以隨意改變，因為如果任意9個觀察值確定了，第10個觀察值也被這9個值確定了。因此在計算樣本方差時自由度等于9。有效樣本容量被減少為n-1，在此基礎上，我們可以很好地理解為什么作為均方差的樣本方差計算時，要用自由度來平均而非用n平均。這也說明了如果從樣本數(shù)據(jù)中估計了一個總體參數(shù)，自由度就會減少一個。

因為樣本方差的自由度為n-1,所以在比較兩個獨立總體的均值大小的t檢驗中，合并方差的自由度等于n1+n2-2= (n1-1)+(n2-1)；在比較兩個獨立總體的方差大小的F檢驗中，F(xiàn)統(tǒng)計量的自由度為(n1-1，n2-1)，其中n1，n2分別為兩個樣本的容量。

(3)方差分析和回歸中的自由度

因為殘差平方和SSE等于K個處理的組內離差平方和，所以殘差的均方差有(n1-1)+(n2-1)+…+（nk-1）=n-k個自由度，這里運用了自由度的可加性。值得注意的是，總自由度n-1=(k-1)+(n-k),它被分解成組間均方差的自由度與殘差均方差的自由度的和。

類似地，自由度也出現(xiàn)在多元回歸分析的相關內容中。假設k為解釋變量(包括常數(shù)項)的個數(shù)，調整R2=1-(SSE/nk)/(SST/n-1),SSE和SST分別用各自的有效樣就可以確定整張表的信息內容。也就是說列聯(lián)表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個自由度。可以想象，一張r行c列的列聯(lián)表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數(shù)，表中其他的頻數(shù)也會隨之確定下來，樣本容量來平均。

(4)獨立性檢驗中的自由度

在獨立性的卡方檢驗中，列聯(lián)表是必不可少的。我們運用列聯(lián)表來說明其中自由度的思想。見表1，一張2×3的列聯(lián)表，它的行和與列和已經給定了。如果不能給出更多的頻數(shù)，這張表是有空缺的。如果填入一個頻數(shù)，如(n2,m2)=45,另一個頻數(shù)(n1,m2)就可以被確定(n1,m2)=45。倘若再給出一個頻數(shù)，那么整個列聯(lián)表就填列完整了。如令(n1,m1)=15，則(n2,m1)= 5，(n2,m3)=20，(n1,m3)=20。對于2行3列的列聯(lián)表，只要給出2個獨立的必要的信息，我們就可以確定整張表的信息內容。也就是說列聯(lián)表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個自由度?？梢韵胂?，一張r行c列的列聯(lián)表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數(shù)，表中其他的頻數(shù)也會隨之確定下來，所以列聯(lián)表有(r-1)(c-1)個自由度。

表1：

(5)擬合優(yōu)度檢驗中的自由度

最后，我們來考慮一個卡方擬合優(yōu)度檢驗。假設從一個服從二項分布B(n,p)的總體中抽取50個獨立個體作為樣本，已知n=6,p=0.7,于是總體均值μ=np=4.2。因為n=6,所以樣本數(shù)據(jù)可以分為7類，xi=0,1,2,3,4,5,6。每一類子樣本的頻數(shù)代表著卡方檢驗中的一個信息。但是，因為這7個頻數(shù)的總和必須等于50，所以其中只有6個頻數(shù)可以自由變化，而第7個頻數(shù)取決與其他6個頻數(shù)的值。因此，卡方統(tǒng)計量的自由度為k-1=7-1=6。

現(xiàn)在假設事件成功概率p是未知的，總體均值μ也就不知道了。這種情況下我們就需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來估計μ，總體參數(shù)的估計會損耗一個自由度。假設樣本的均值計算得x=4.4。于是這7類的頻數(shù)不僅其總和要等于50即f1+f2+…+ f7=50，而且還要使得0f1+1f2+2f3+…+6f7=4.4*50=220。7個頻數(shù)必須滿足這兩個等式，因此自由度就減少為7-2=5。這個例子有助于我們理解一個原則：每從樣本中估計一個總體參數(shù)，自由度就會減少一個。

3 結論

本文給出了自由度的科學定義：自由度是指在一組樣本數(shù)據(jù)中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數(shù)值的個數(shù)。同時指出自由度就是有效樣本容量，強調實際樣本容量與有效樣本容量的區(qū)別。最后列舉出自由度在不同方面的應用。本文在認識自由度方面，希望對讀者有所裨益。

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