差分振子相圖的自動識別與應用

胥永剛， 馬海龍， 馮明時， 崔玲麗

（北京工業(yè)大學 機電學院 北京市先進制造技術(shù)重點實驗室，北京 100124）

差分振子用于微弱信號檢測，可以實現(xiàn)機電設備故障的早期檢測。與混沌振子、隨機共振等非線性方法相比，差分振子不需要解微分方程，運算速度快，適用于實時監(jiān)測，是一種可視化的微弱信號的檢測方法。差分振子對微弱信號的檢測是將待檢測信號輸入差分振子后，通過振子相圖的變化來判斷信號中是否含有待檢測的頻率。這一判斷到目前為止都是通過人的感官來判別，不利于自動化檢測的實現(xiàn)，且在噪聲較大的情況下，有可能出現(xiàn)誤判。常用的圖像的識別方法如Hu 氏不變矩［1］、仿射矩［2］、Zernike 矩［3－6］等方法，已經(jīng)被應用于軸心軌跡、混沌振子相圖和圖形的識別中，并取得了很好的效果。但是將以上方法用于差分振子的相圖軌跡識別中，實驗結(jié)果表明：這些方法不能夠有效地識別不同狀態(tài)下的相圖。不同的差分振子相同出現(xiàn)了相近的矩值，而且矩的值也不呈現(xiàn)規(guī)律性。根據(jù)差分振子相圖的特點，給出了一種新的方法對差分振子的相圖變化進行識別。

1 差分振子的基本原理

差分振子是以差分方程為基礎(chǔ)構(gòu)造檢測器，其數(shù)學模型如下：

令：α=－（a+b）β=ad－bc

利用消元法，消去變量yk，得到一元差分方程如下：

當α、β滿足以下條件：

系統(tǒng)的固有頻率ω0可以通過下式進行估計：

以差分方程為基礎(chǔ)的差分振子檢測器構(gòu)造如下：

其中：p是放大倍數(shù)，fe是系統(tǒng)激勵頻率，T（k）是檢測信號，fd是檢測頻率，fs是采樣頻率。

適當?shù)卣{(diào)節(jié)檢測器的各個參數(shù)就能達到對信號頻率的識別，即：若差分振子圖像收斂于極點，則信號中不含有待檢測頻率；若差分振子圖像收斂于極環(huán)，則信號中含有待檢測頻率［7，8］。下面通過對一個仿真信號進行檢測來說明差分振子的有效性，構(gòu)造一個仿真信號如下：

其中：noise是隨機噪聲，采樣頻率：fs=1 000 Hz，采樣點數(shù)：N=8 192；利用差分振子分別檢測50 Hz和55 Hz的頻率成分。因信號中含有50 Hz這一頻率，所以檢測50 Hz（即fd=50）頻率成分時，差分振子相圖應收斂于極環(huán)狀態(tài)，而檢測55 Hz（fd=55）頻率成分時，因信號中不含有這一頻率，所以差分振子相圖收斂于極點。差分振子的其它參數(shù)設置如下：α=0.95，β=0.99，激勵頻率fe=0.329 2，放大倍數(shù)p=1。檢測結(jié)果如圖1所示。

圖1 差分振子檢測信號的振子相圖Fig.1 Differential resonator phase diagran of detected signal

2 差分振子相圖的識別

對差分振子的相圖進行識別就是要對差分振子的相圖狀態(tài)進行識別，即對信號中是否存在待檢測頻率進行自動判斷。若信號中含有待檢測頻率，則對該頻率成分幅值的大小進行定性的判斷。對差分振子的相圖狀態(tài)進行研究，找出檢測頻率幅值大小與差分振子相圖的關(guān)系。

2.1 檢測頻率的幅值對差分振子相圖的影響

差分振子的參數(shù)對差分振子的相圖影響很大，即使同一信號，輸入差分振子后，在不同的參數(shù)下表現(xiàn)出的極環(huán)的狀態(tài)是不相同的。因此不同參數(shù)下的差分振子相圖是無法比較待檢測信號頻率幅值的相對大小，其比較也是無任何意義的。在相同的參數(shù)條件下，差分振子相圖的變化能夠反映出待檢測頻率幅值的變化，通過差分振子相圖的變化判別待檢測頻率幅值的相對大小。下面通過仿真信號來說明待檢測頻率幅值與差分振子相圖的關(guān)系。構(gòu)造仿真信號如下：

其中：待檢測信號頻率30 Hz，noise是隨機噪聲。采樣點數(shù)N=8 192，采樣頻率fs=1 000，a是信號中30 Hz頻率成分的幅值。改變a的值，觀察差分振子的相圖變化情況。差分振子的參數(shù)如下：α=0.95，β=0.99，放大倍數(shù)p=2.5，激勵頻率fe=0.329 2，檢測頻率fd=30。不同幅值下的差分振子相圖如圖2所示。

圖2 不同幅值下的差分振子圖像Fig.2 Differential resonator phase figure with different amplitudes

從圖2中可以看出，a=0.5時差分振子相圖所占的區(qū)域為100×100，a=0.75時，差分振子相圖所占區(qū)域為150×150，a=1時差分振子相圖所占區(qū)域為200×200?？梢婋S著a的增加，差分振子相圖的極環(huán)所占區(qū)域也近似地按照相應的比例增大。在差分振子參數(shù)相同的條件下，差分振子極環(huán)的大小反映了待檢測頻率幅值的大小，極環(huán)越大，相應的待檢測頻率的幅值越大；差分振子收斂的極環(huán)間的倍數(shù)關(guān)系與待檢測頻率幅值間的倍數(shù)關(guān)系近似相等。

2.2 差分振子相圖的識別

在實際應用過程中，可識別的差分振子的相圖主要有如圖3所示三種形態(tài)。

圖3中（a）表征信號中不存在待檢測頻率，（c）表征的是信號中存在待檢測頻率。而（b）則是介于（a）和（c）中間的一種形態(tài)。由2.1節(jié)中可知，（b）表征存在待檢測頻率，但是待檢測頻率的幅值相對較小?？梢钥闯?，差分振子相圖收斂于極點與收斂于極環(huán)的最大區(qū)別就是，振子的輸出是否在相圖的坐標原點大量地聚集。

針對差分振子相圖的特點給出以下判別準則：

（1）將差分振子的相圖歸一化即振子相圖的橫縱坐標均在［－1 1］內(nèi)。

圖3 差分振子相圖的三種形態(tài)Fig.3 Three states of differential resonator phase diagram

下面應用以上的判別準則對圖3中的差分振子相圖進行判別。經(jīng)計算圖3（a）中：n1/N=0.255 4顯然大于0.1收斂于極點。圖3（b）中n1/N=0.002 9小于0.02，收斂于極環(huán)。圖3（c）中n1/N=0收斂于極環(huán)?？梢娡ㄟ^以上準則就可以判斷差分振子相圖的狀態(tài)。

研究和實驗表明，n1/N或n2/N的值越小，說明在中心區(qū)域點的密度越小，即收斂于極環(huán)的程度越大，相對應的待檢測頻率的幅值也就越大。因此圖3中（c）的待檢測頻率幅值要大于（b）中待檢測頻率的幅值，與前述結(jié)論一致。對于同樣收斂于極環(huán)的兩個信號的差分振子相圖來說，n1/N（或n2/N）小者其對應的待檢測頻率的幅值要大一些。

若差分振子的參數(shù)調(diào)節(jié)不適當，差分振子相圖會出現(xiàn)各種“畸形”，如圖4所示。這些畸形的相圖使得差分振子的相圖的狀態(tài)難以判斷，如圖4，這些差分振子相圖是無法識別其是收斂于極點還是收斂于極環(huán)。

圖4 差分振子“畸形”相圖Fig.4 Deformity of differential resonator phase diagram

由于“畸形”相圖的存在導致對于振子相圖的無法識別或者是識別錯誤，因此對于差分振子參數(shù)的調(diào)節(jié)是決定差分振子相圖識別成敗的關(guān)鍵所在。對于差分振子相圖的識別是建立在相圖的非“畸形”的基礎(chǔ)之上的，否則其識別是無意義的。

3 實驗驗證

實驗系統(tǒng)由軸承故障模擬實驗臺、筆記本電腦和HG3604故障診斷儀組成。軸承故障模擬實驗臺如圖5所示，由兩個6 307深溝球滾動軸承支撐，通過撓性聯(lián)軸器與電機相連。在靠近電機側(cè)安裝正常軸承（即圖5中③），遠離電機側(cè)安裝故障軸承（即圖5中⑤），用于模擬各種軸承故障。實驗中，利用HG3604故障診斷儀在故障軸承所在軸承座處測取振動加速度信號。

圖5 軸承故障模擬實驗臺Fig.5 Simulation test bench of bearing fault

故障軸承的型號：6 307，軸承的大徑：D=80 mm，小徑d=35 mm，滾動體個數(shù)為8個，壓力角α=0，故障類型為：內(nèi)圈點蝕，故障大?。褐睆綖? mm，深0.1 mm的點蝕坑，實驗臺轉(zhuǎn)速R=1 496 r/min，對采集到的軸承內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)進行分析，采樣點數(shù)是N=8 192，采樣頻率fs=6 000×2.56 Hz，通過經(jīng)驗公式計算得到軸承內(nèi)圈故障特征頻率即待檢測頻率fd=119.246 Hz，差分振子參數(shù)：α=0.993，β=0.998，激勵頻率fe=0.33，放大倍數(shù)p=5.5。

從頻譜圖中幾乎得不到任何有用信息，從振子相圖中可以看出振子收斂于極環(huán)。應用判別準則對差分振子相圖的狀態(tài)進行判別：n1/N=0.020 1，n2/N=0.020 1，可見n2/N＜0.1差分振子相圖收斂于極環(huán)。無論從差分振子相圖還是通過判別準則都說明了信號中待檢測頻率的存在。

圖6 實驗數(shù)據(jù)分析Fig.6 Experimental data analysis

4 工程應用

2008年12月9 日，某高線廠第25架軋機出現(xiàn)振動值超標報警。12月15日開箱檢查，發(fā)現(xiàn)軸承內(nèi)圈有嚴重剝落現(xiàn)象。利用在線監(jiān)測系統(tǒng)采集到的數(shù)據(jù)，對這起故障進行分析。這里僅取11月19日至11月21日間的數(shù)據(jù)進行分析，也就是在線監(jiān)測系統(tǒng)發(fā)出報警前20天左右。其中，采樣頻率fs=4 000，采樣點數(shù)N=2 048。圖7和圖8給出了這3天的振動信號的時域波形及其頻譜圖。

在時域圖中沒有明顯的大的沖擊，整體的振動幅值不大。在頻譜中無法識別出故障特征頻率及其倍頻等有用信息。因此我們無法通過時域波形圖和頻譜獲得任何軸承的故障信息。利用差分振子看是否能發(fā)現(xiàn)設備故障缺陷以及缺陷的擴展趨勢并就差分振子的相圖狀態(tài)進行識別。軸承內(nèi)圈損傷的特征頻率為43.281 Hz，采樣點數(shù)N=2 048，采樣頻率fs=4 000。差分振子參數(shù)設置如下：檢測頻率fd=43.281，α=0.995，β=0.999，激勵頻率fe=0.332 7，放大倍數(shù)p=3.5，將數(shù)據(jù)輸入差分振子，觀察差分振子相圖的變化。

從圖9中可以看出，19日的差分振子相圖收斂于極點，而20日和21日則收斂于極環(huán)，而21日的差分振子收斂的極環(huán)要比20日大一些，則說明在21日故障特征頻率的幅值比20日要大一些，即故障特征更加明顯，故障朝著劣化方向發(fā)展。利用差分振子相圖狀態(tài)的判別準則得到的結(jié)果如下：圖9中（a）：n1/N=0.158 7大于0.1，因此相圖收斂于極點。（b）：n1/N=0.005 4遠遠地小于0.02，收斂于極環(huán)說明在20日時就已經(jīng)出現(xiàn)了故障特征頻率。（c）：n1/N=0，遠遠小于0.02，收斂于極環(huán)。

5 結(jié)論

根據(jù)差分振子相圖的特點，給出了差分振子相圖的大小與待檢測信號幅值間的關(guān)系，并在相同的參數(shù)條件下，對不同的差分振子相圖進行比較分析得出了待檢測頻率幅值的相對大小。對差分振子的相圖進行了識別，根據(jù)n1/N（或n2/N）的值來判別差分振子相圖的狀態(tài)。差分振子相圖極環(huán)的大小反映了待檢測信號幅值的大小，從而達到對待檢測信號幅值大小的一種定性的判斷。將以上方法用來分析工程數(shù)據(jù)成功地發(fā)現(xiàn)了設備故障的發(fā)生與發(fā)展情況，為設備的安全監(jiān)測提供了一種有效的方法。

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