利用磁矢勢求解渦旋電場*

丁紅偉 任常愚 李海寶

(黑龍江科技學(xué)院數(shù)力系 黑龍江 哈爾濱 150027)

1 引言

一般大學(xué)物理教材[1～3]對渦旋電場的計算問題所談甚少，只局限于截面是圓形的軸向時變磁場．這一方面給不少學(xué)生帶來錯誤的假象，認(rèn)為只有截面是圓形的軸向時變磁場周圍的渦旋電場的表達(dá)式才是顯性的，而其他時變磁場周圍的渦旋電場的表達(dá)式則是隱性的，不能直接給出；這是教材拓展不夠所造成的錯誤理解.

在麥克斯韋方程組的變形公式

式中EC為渦旋電場的電場強(qiáng)度，B為時變磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度.對于截面是圓形的軸向時變磁場周圍的渦旋電場，電場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系可表示為

(1)

此結(jié)果只對于上述特殊情況才是對的.可學(xué)生的定式認(rèn)為(1)式可以應(yīng)用于任何時變磁場所激發(fā)的渦旋電場，造成求解的錯誤，有時根本不能求解．為此，本文假設(shè)讀者已掌握了一些基本的矢量知識為前提來探討磁矢勢和渦旋電場的關(guān)系，進(jìn)一步求解渦旋電場，以期深化學(xué)生對磁矢勢和渦旋電場概念的理解．

2 理論依據(jù)

一般在似穩(wěn)場的情況，即場量變化足夠緩慢時，場源與場量之間的條件關(guān)系與穩(wěn)定場相似．在靜磁場條件下有[4～5]

(2)

(3)

即靜磁場是有旋無散場．根據(jù)矢量知識，對于矢量f，有

可以將B定義為另一個矢量的旋度．即

(4)

其中，矢量A就稱為磁場的矢勢．由矢勢A可完全確定磁場B．但是，由此場B卻不能唯一的確定矢勢A．為此，需要加上一點限制

(5)

稱這個限制條件為庫侖規(guī)范．

(6)

而在柱坐標(biāo)系中的形式為

(7)

在由均勻線性介質(zhì)構(gòu)成的無界空間中，把(2)、(4)式和B=μH結(jié)合起來得到和靜電場中的靜電勢φ(x)的泊松方程

形式類似的方程

所以此兩個方程的解的構(gòu)造上相同.由

可直接獲得磁矢勢

在線電流的情況下，上式通過jdV′～I(xiàn)dl′替換，變成

(8)

此式在實際求解磁矢勢A中常用．

麥克斯韋的感生電場假說指出，變化的磁場在其周圍空間激發(fā)感生電場與空間有無導(dǎo)體、導(dǎo)體回路無關(guān)．這種感生電場為渦旋電場EC，其主要性質(zhì)可概括為[6]

(9)

上式通過積分變換可得

進(jìn)一步知

把(4)式代入得

(10)

3 應(yīng)用磁矢勢求解渦旋電場舉例

如何求解載有變化電流的長直導(dǎo)線周圍的渦旋電場[7]？這是學(xué)生經(jīng)常會提出的問題，很顯然用現(xiàn)行教材中給出的方法不能勝任．這時考慮一下我們上面的理論分析，只要能求出長直導(dǎo)線周圍的磁矢勢A就可求出其周圍渦旋電場分布，而求磁矢勢A的方法在上面已經(jīng)明確．

由于其周圍磁場分布的特點我們采用柱坐標(biāo)系可揭示

根據(jù)(8)式知

由柱坐標(biāo)的分量表示式(7)可建立方程

得

式中C為待定常量.由(10)式即可求得

渦旋電場分布圖像如圖1所示．

圖1 載流直導(dǎo)線周圍的渦旋電場分布

我們再看，載有變化電流的圓環(huán)周圍渦旋電場的分布情況．結(jié)合特點，選擇球坐標(biāo)系，可以很容易得到磁矢勢A(x).由旋轉(zhuǎn)對稱性可知A與ψ無關(guān)．如圖2，選xOz平面上的一點p,在該點上有

其中

dly′=dl′cosψ=acosψdψ

在限定條件2Rasinθ?(a2+R2)下，可以把r級數(shù)展開，取至第二項得

最后根據(jù)(10)式可求得EC．

圖2 載流圓環(huán)

4 結(jié)論

由以上的理論分析和實際的例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，一般傳統(tǒng)教材對于渦旋電場問題的求解僅就特殊情況作了處理.而我們利用磁矢勢A求解渦旋電場過程的簡潔性、適用性的探討，足以澄清了學(xué)生的疑問，即只有截面是圓形的軸向時變磁場周圍的渦旋電場的表達(dá)式才是顯性的，而其他時變磁場周圍的渦旋電場的表達(dá)式則是隱性的，不能直接給出的盲點．但也應(yīng)該注意到它的應(yīng)用范圍應(yīng)該是似穩(wěn)場的條件下．建議教材編寫者在此方面做適當(dāng)?shù)耐卣梗?/p>

參考文獻(xiàn)

1 李曉萍，任常愚，尹向?qū)?大學(xué)物理學(xué)．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009

2 唐炳華，趙世杰．大學(xué)物理學(xué).北京：學(xué)苑出版社，1994.172～199

3 程守洙，江之水.普通物理學(xué).北京：高等教育出版社，1982.218

4 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué).北京:高等教育出版社,1985.486～488

5 費曼.費曼物理學(xué)講義.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981.167～174

6 郭碩鴻.電動力學(xué).北京:人民教育出版社，1979

7 蘇景順.關(guān)于長直導(dǎo)線通以變化電流產(chǎn)生的渦旋電場.大學(xué)物理，1995，14(1)：45～47