模擬分析光的衍射與干涉

張中月 吳加貴 夏光瓊

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

1 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以多媒體為核心的現(xiàn)代教育技術(shù)為教育現(xiàn)代化開拓了一個廣闊的前景和空間．以多媒體、網(wǎng)絡(luò)化、智能化為主要特征的現(xiàn)代信息技術(shù)正在對傳統(tǒng)的課程理念、課程內(nèi)容、課程實(shí)施以及課程資源產(chǎn)生深刻的影響和變革．特別是計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)為教學(xué)提供了一條非常簡捷、直觀的途徑，其不僅可以幫助學(xué)生加深對物理原理的理解，而且有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．另外，計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬對培養(yǎng)學(xué)生的思維水平和創(chuàng)新能力也有著重要的幫助．近年來，物理教學(xué)中的計(jì)算機(jī)模擬越來越受到重視．

傳統(tǒng)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)對儀器的穩(wěn)定性要求很高，許多復(fù)雜光路的搭建和調(diào)試非常耗時，因此將這類實(shí)驗(yàn)直接引入課堂存在很大困難．衍射和干涉是物理光學(xué)中的核心知識點(diǎn)，它們都反映了光的波動本質(zhì)，但是彼此之間又存在明顯區(qū)別．經(jīng)驗(yàn)表明，一般學(xué)生在開始學(xué)習(xí)干涉部分時，相關(guān)概念較為清楚．可是在進(jìn)入衍射一章后，由于這部分先講惠更斯-菲涅耳原理，然后講各種幾何形狀孔的衍射．部分學(xué)生就錯誤地認(rèn)為衍射是基于惠更斯-菲涅耳原理的，而干涉不是基于惠更斯-菲涅耳原理的，從而將衍射和干涉割裂開了.雖然在衍射一章的最后，對衍射和干涉的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行了分析，但是學(xué)生仍然存在理解不清楚、認(rèn)識不到位的情況．

本文將從最基本的惠更斯-菲涅耳原理及基爾霍夫衍射積分出發(fā)，通過討論單縫衍射及雙縫干涉,將衍射和干涉加以比較和分析,以幫助學(xué)生更清楚地理解衍射和干涉的物理實(shí)質(zhì)．

2 理論基礎(chǔ)

惠更斯-菲涅耳原理指出,波前上所有次波源發(fā)出的次波在空間一點(diǎn)的相干疊加，即為該波前傳播到該點(diǎn)時所引起的合振動，也是該波前的次波在該點(diǎn)引起的總的振動.

假設(shè)取一個封閉的空間曲面∑，即一個封閉的波前.由于從光源發(fā)出的所有方向的波都將通過此波前，而且只通過此波前一次，所以光源在任一點(diǎn)所引起的復(fù)振幅與該波前所發(fā)出的全部次波在該點(diǎn)所引起的復(fù)振幅等價(jià)．由于波前是一連續(xù)分布的曲面，因此所有次波源發(fā)出的次波在該點(diǎn)的復(fù)振幅是如下菲涅耳曲面積分

(1)

基爾霍夫在1882年經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證發(fā)現(xiàn)，菲涅耳根據(jù)直觀所建立的積分公式基本上是正確的．但是，當(dāng)波前積分拓展為任意形狀的封閉曲面時，積分公式中的比例常量K和傾斜因子F(θ0,θ)的表達(dá)式應(yīng)該為

(2)

(3)

相對于光波長，衍射屏的不透光部分可以認(rèn)為是無窮大的，其積分為零．則在應(yīng)用基爾霍夫積分公式的時候，只要考慮對衍射屏上的光孔的積分就可以了，即將曲面積分的范圍局限于光孔即可．這種做法，成為基爾霍夫邊界條件．方程(1)中的積分公式可以化為

(4)

根據(jù)衍射障礙物 (衍射屏) 到光源和接收屏的距離,可以將衍射分類為菲涅耳衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射.兩距離為有限遠(yuǎn)的，或者至少一個為有限遠(yuǎn)的，為菲涅耳衍射; 兩距離均為無限遠(yuǎn)的，為夫瑯禾費(fèi)衍射．本文以平行光照射衍射屏為例，通過Matlab軟件數(shù)值模擬接收屏上的光強(qiáng)度分布 (屬于菲涅耳衍射)，讓學(xué)生更加形象地理解干涉和衍射的內(nèi)在區(qū)別和聯(lián)系.

3 模擬結(jié)果與討論

3.1 單縫的菲涅耳衍射

如圖1所示，對于單縫的菲涅耳衍射，平行光照射到衍射屏上．設(shè)入射光波長λ為632.8 nm，衍射屏與接收屏之間的距離D=2 000 mm，單縫處于x=0的堅(jiān)直平面內(nèi)，縫的長度固定為16 mm．在數(shù)值模擬時，選取的單縫分割單元為0.01 mm．為保證模擬的精確可信，單元應(yīng)充分小.并假設(shè)入射光在單位面積(1 m2)上所貢獻(xiàn)的振幅為1，則每個分割單元對振幅的貢獻(xiàn)為10-10.

圖1 單縫的菲涅耳衍射結(jié)構(gòu)示意圖

圖2為單縫寬度b為0.5 mm時，接收屏上的模擬衍射圖樣．光經(jīng)過縫后，偏離了直線傳播，進(jìn)入了圖1的幾何陰影區(qū)域.光的強(qiáng)度也不均勻分布，中央條紋相對很亮，次級條紋的光強(qiáng)度遠(yuǎn)小于中央亮條紋，與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象很好地符合．相比于抽象的公式，該結(jié)果明顯增加可視性．重要的是，可以讓學(xué)生從中切身體驗(yàn)到由抽象的公式直接獲得與實(shí)際現(xiàn)象非常接近的結(jié)果，這將極大地增強(qiáng)學(xué)生對理論的信服和理解．

圖2 縫寬b為0.5 mm時，單縫的菲涅耳衍射光強(qiáng)分布 (2lg|E|)

圖3給出了單縫寬度b對中央條紋寬度的影響．當(dāng)縫寬度b從0.25 mm增到1.5 mm時，中央亮條紋寬度從9.73 mm減小到1.68 mm．圖中實(shí)線曲線是應(yīng)用反比例函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果．可見，通過基爾霍夫衍射積分公式，也可以得出單縫衍射中央條紋的寬度與縫寬度成反比的規(guī)律．如果用中央條紋寬度與單縫縫寬的比值來表示衍射的強(qiáng)弱，則當(dāng)縫寬b從0.25 mm增加到1.5 mm時，該比值從38.92減至1.12，衍射明顯減弱．即縫寬越小，衍射現(xiàn)象越顯著; 縫寬越大，衍射現(xiàn)象越不明顯．這些結(jié)果充分體現(xiàn)了限制和衍射之間的矛盾關(guān)系．

圖3 單縫衍射的中心條紋寬度與單縫寬度b的關(guān)系

3.2 雙縫的菲涅耳衍射及干涉

圖4為雙縫的衍射圖樣．其中每條縫的寬度b=0.1 mm，雙縫間隔d=1 mm．衍射屏與接收屏之間的距離為2 000 mm．?dāng)?shù)值模擬中，每條縫的分割單元間隔也是0.01 mm.接收屏上出現(xiàn)了間距相等 (條紋寬度約為1.28 mm) 的明暗相間的豎直條紋(圖4)，與教材中的雙縫干涉現(xiàn)象很好地吻合.

圖4 雙縫(d=1 mm,b=0.1 mm)的菲涅耳衍射光強(qiáng)分布 (2lg|E|)

圖5給出了雙縫間距d與條紋寬度的關(guān)系．

當(dāng)雙縫間距d從1 mm增加到6 mm時，條紋間距從1.28 mm減小到0.25 mm．圖中實(shí)線是反比例函數(shù)的擬合結(jié)果，這一結(jié)果很好地印證了教材中所討論的雙縫干涉特征：條紋間距反比于雙縫之間的距離．總之，基于惠更斯-菲涅耳原理，并應(yīng)用基爾霍夫衍射積分公式，對于雙縫干涉也能很好地再現(xiàn)，這充分說明，從物理本質(zhì)上看，干涉和衍射都是波的相干疊加，都遵循振動矢量疊加的原理．

圖5 條紋間距與雙縫之間距離d的關(guān)系

通過固定雙縫之間距離d=1 mm，改變每條縫的寬度b，還可以分析縫寬對雙縫衍射 (干涉) 圖樣的影響．圖6給出了b=0.1 mm和b=0.25 mm時的衍射強(qiáng)度分布．從圖中可以看出，明暗條紋間距相同,與縫的寬度無關(guān)；這與教材中的雙縫干涉現(xiàn)象吻合．當(dāng)b=0.1 mm時,各級干涉條紋強(qiáng)度變化緩慢,并且單縫衍射曲線很好地包絡(luò)住雙縫衍射光強(qiáng)度分布曲線,單縫衍射因子對光強(qiáng)度分布起到了很好的調(diào)制作用．但是，當(dāng)b=0.25 mm時，各級干涉條紋強(qiáng)度變化較快，單縫衍射曲線不能包絡(luò)住雙縫衍射強(qiáng)度分布．由此可見，發(fā)生明顯雙縫干涉現(xiàn)象的條件是每條縫的寬度要小，單縫衍射圖樣的中央亮條紋要寬，甚至衍射圖樣中只有中央亮條紋，各級干涉亮條紋的強(qiáng)度變化不明顯；而一般的雙縫衍射是雙縫衍射和縫間干涉的共同結(jié)果，干涉和衍射也總是相伴存在的．

圖6 雙縫衍射與單縫衍射光強(qiáng)分布

4 結(jié)論

本文基于惠更斯-菲涅耳原理及基爾霍夫衍射積分公式，采用Matlab數(shù)值模擬了光的單縫及雙縫的菲涅耳衍射(雙縫干涉)．通過改變單縫寬度、雙縫間距及每條縫的寬度，將光的衍射與干涉在基本的光波相干疊加層面上聯(lián)系了起來，避免了學(xué)生將干涉和衍射割裂開來的理解，對學(xué)生加強(qiáng)理解光的衍射和干涉有重要的幫助.本文也為學(xué)生處理類似問題提供了示范，有益于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)．另外,本文還可以做為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的有效補(bǔ)充,改善教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié).

參考文獻(xiàn)

1 姚啟鈞.光學(xué)教程(第四版).北京:高等教育出版社,2008.69

2 崔宏濱,李永平,段開敏.光學(xué).北京:科學(xué)出版社，2008.78

3 楊克銳.關(guān)于光的衍射和干涉問題.物理通報(bào)，1990(8):10