例說微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

于希梅 毛安君

(淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院 江蘇 淮安 223003)

微積分的應(yīng)用，是近代科學(xué)得以起步發(fā)展的必要條件，也是大學(xué)物理區(qū)別于高中物理的一個(gè)基本特點(diǎn)．在大學(xué)物理教學(xué)中，合理明了地引入微積分，說明它對(duì)物理學(xué)的意義，以及點(diǎn)撥在應(yīng)用微積分解決問題時(shí)的疑難，對(duì)于學(xué)生學(xué)好物理學(xué)以至各門自然學(xué)科都有重要意義．本文就此作些探討．

1 曹沖稱象與物理學(xué)中的微積分

曹沖稱象的故事：曹操想知道象的重量(即質(zhì)量).但當(dāng)時(shí)沒有那么大量程的稱重儀器.眾人各抒己見.一大臣講將大象殺死，切割成小塊稱重.曹沖則以水的浮力為紐帶，將象的重量轉(zhuǎn)化為一塊塊石頭的重量．從數(shù)學(xué)方法上講，大臣與曹沖的邏輯思路無本質(zhì)差別，但后者更巧妙且人性化．對(duì)曹沖來講，稱量象的重量是一個(gè)困難的問題，不妨稱作“一般問題”；處理的方式是，通過分割將其轉(zhuǎn)化成稱量一塊塊石頭的重量，然后將其相加；稱量石頭的重量很簡(jiǎn)單，可稱作“基本問題”．就是說，曹沖將“一般問題”的答案轉(zhuǎn)化成了“基本問題”的答案的疊加，而這也正是微積分解決問題的思路．以靜電學(xué)中求一般帶電體的場(chǎng)強(qiáng)為例進(jìn)行比較說明．

【例1】如圖1，求帶電線段AB在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度．

求帶電線段在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是個(gè)復(fù)雜的“一般問題”，沒有普遍直接的規(guī)律解答，因此將帶電線段分解成電荷元．電荷元相當(dāng)于沒有大小和形狀的點(diǎn)電荷，產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)時(shí)具有簡(jiǎn)潔普遍的規(guī)律，求點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)即“基本問題”．整個(gè)帶電線段的場(chǎng)強(qiáng)等于各電荷元的場(chǎng)強(qiáng)之和．雖然微積分方法分割時(shí)到了微元的程度，得到了最終的“基本問題”，從而更具有普適性；但處理問題的思路同曹沖稱象一樣，也是將“一般問題”的答案轉(zhuǎn)化成了“基本問題”的答案的疊加．進(jìn)一步講，公理化科學(xué)體系的建立都是類似的思路，所有問題都分解成“基本問題”，公理就是“基本問題”的答案．可見曹沖稱象的做法體現(xiàn)的不僅是微積分的思路，更是科學(xué)體系中的一種基本思想．

圖1

在整個(gè)過程中有兩個(gè)關(guān)鍵問題．(1)是否滿足疊加原理．若兩塊石頭各自稱出的重量之和，不等于它們共同稱量時(shí)的重量，則此方法失效．疊加原理在自然界中并不總是滿足，一個(gè)簡(jiǎn)單的反例是水和酒精的體積混合．在考察一種物理現(xiàn)象時(shí)，探討其是否滿足疊加原理是個(gè)基本問題，在牛頓力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)中都有體現(xiàn)[1]．(2)基本問題的答案．各基本定律給出的往往就是基本問題的答案，如牛頓定律、萬有引力定律、庫侖定律、畢奧-薩伐爾定律等．

求場(chǎng)強(qiáng)的問題.傳統(tǒng)的講法往往先給出點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，再引入疊加原理，進(jìn)而得到點(diǎn)電荷系和任意帶電體的場(chǎng)強(qiáng)公式；而以曹沖稱象的故事為引導(dǎo)來講解，趣味性強(qiáng).后者在分析解決問題的過程中引用微積分的思想及涉及到的關(guān)鍵點(diǎn)，思路明了，要點(diǎn)明確，邏輯性強(qiáng)，能夠幫助學(xué)生舉一反三，理解微積分在整個(gè)物理學(xué)中的重要價(jià)值．

2 涉及矢量的微積分運(yùn)算

微積分和矢量代數(shù)是大學(xué)物理的基本數(shù)學(xué)工具．矢量一般需要投影到坐標(biāo)軸上進(jìn)行積分運(yùn)算．

2.1 矢量積分運(yùn)算的基本方法

矢量積分形如

矢量積分運(yùn)算一般是把矢量寫成坐標(biāo)軸投影的形式，即

A=Axi+Ayj+Akk

微分變量dl、上下限和積分式中的各矢量，都用相應(yīng)的投影形式表示，從而把矢量積分化為標(biāo)量積分.因投影值A(chǔ)i(i=1,2,3，代表三個(gè)坐標(biāo)方向，下同)等于矢量大小A乘以其對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)軸的方向余弦cosαi，因此Ai與坐標(biāo)軸方向有關(guān).若某坐標(biāo)軸反向，則新夾角αi′=αi-π或αi′=αi+π，新方向余弦cosαi′=-cosαi，新投影值總是原投影值的負(fù)值．

【例2】如圖2，以大小不變的力F拉大小不計(jì)的物體從A點(diǎn)到O點(diǎn)，求F所做的功．

圖2

(1)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸正向如圖2所示，則應(yīng)用做功的公式

(1)

(2)

(2) 坐標(biāo)軸反向?yàn)閤′軸，原點(diǎn)仍為O點(diǎn)，則

(3)

因?yàn)楣偞笥诹悖碬>0，則(3)式中，-dx′>0,即dx′<0.

對(duì)比(3)式與(2)式，因坐標(biāo)軸反向，各投影值均為原投影的負(fù)值，所以(2)式和(3)式積分相同.

2.2 矢量投影的一般方法

很多情況下，矢量起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，不能直接向坐標(biāo)軸投影，一般教材中往往根據(jù)幾何關(guān)系給出其方向余弦，邏輯不甚嚴(yán)密．此時(shí)應(yīng)根據(jù)矢量平移不變性，平移坐標(biāo)軸使原點(diǎn)與矢量起點(diǎn)重合，進(jìn)而得到其方向余弦．

仍以例1中的問題為例，根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可得電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE．由于dE方向與r相同，可利用r的方向余弦進(jìn)一步求dE在坐標(biāo)軸上的投影值．因r起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可將坐標(biāo)軸平移，使二者重合，如圖3所示．則

(4)

(5)

圖3

對(duì)于(5)式，由于坐標(biāo)軸的平移，因此有y′=-y或y=-y′．(4)式中推理與此類似．

3 結(jié)語

微積分是學(xué)習(xí)大學(xué)物理的基本工具，本文借助曹沖稱象的故事闡述了微積分的物理意義，以加深學(xué)生的理解，并說明了矢量微積分計(jì)算中的兩點(diǎn)細(xì)節(jié)問題，幫助學(xué)生進(jìn)行正確運(yùn)算．

參考文獻(xiàn)

1 費(fèi)恩曼，萊頓，桑茲,等，著.潘篤武，李洪芳譯．費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第2卷)．上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社，2005．42，171