基于實際波動率的我國股市波動率實證研究

吳有英，馬玉林

(1.山東財政學院會計學院;2.山東財政學院科研處，山東濟南 251000)

一、前言

股票收益的波動率，對于組合選擇、風險管理以及期權(quán)定價都相當重要。我們引用克萊夫·格蘭［1］(2003)的一句話“過去十幾年，特別是在時間序列方面，主要是波動率占據(jù)了研究的主要內(nèi)容和重心”，由引可見，波動率在金融領(lǐng)域的地位非同一般。而對于波動率的研究，又主要集中在對它的度量和預(yù)測?；仡欉^去，度量波動率最初的方法始自于馬克維茨的MPT理論，該理論的普及使得標準差方法極度盛行，從而使得它在經(jīng)典金融學理論中得到了廣泛的應(yīng)用，如后來的CAPM模型、APT理論以及B－S模型等。在隨后的研究中，經(jīng)濟學家們觀察到股票收益的波動呈現(xiàn)出叢聚性(clustering)和時變性(time varying)，收益率正態(tài)分布的假定受到了廣泛的質(zhì)疑。直到1982年，Engle［2］在研究英國通貨膨脹率時提出了ARCH模型，它成功地模擬了波動率的叢聚性和時變性，從而獲得了空前的成功，以至于21年后，Engle因ARCH模型獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。波動率的大規(guī)模研究應(yīng)該始自于Bollerselve［3］(1986)， GARCH模型的提出一方面更好地解釋了波動率的持續(xù)性，彌補了ARCH模型的不足，另一方面為后續(xù)模型的提出提供了一個良好的基礎(chǔ)。毫無疑問，GARCH模型意義深遠，以至于直到今天，GARCH(1，1)模型仍是GARCH類模型中應(yīng)用最為廣泛的一個。在隨后的發(fā)展中，又有許多新的方法出現(xiàn)，如Taylor(1986)提出了隨機波動(Stochastic Volatility)模型，以及度量波動率的一些非參數(shù)方法，如收益絕對值、收益極差等。

眾多波動率度量方法的盛行必然會帶來一個問題，哪種度量方法度量得最精確?這就涉及到對各種波動率度量方法和度量效果的一個評價，但評價標準是什么，也即真實的波動率是什么?事實上，真實的波動率本身又是無法觀察到的，這就使該問題的解決陷入一個尷尬的境地。

Merton［4］(1980)指出:在樣本頻率充分大的條件下，通過加總高頻平方變量的值，一個獨立同分布隨機變量的方差(在一個固定期限內(nèi))，可以被估計得充分精確。Merton(1980)、French，Schwert，Stambaugh［5］(1987)等用日收益數(shù)據(jù)來估計股票月波動率，實際波動率(Realized Volatility)被正式提出。經(jīng)過十多年的發(fā)展，實際波動率理論也漸趨完善。它的出現(xiàn)，使得真實波動率成為可觀測的變量，從而使得上述問題的解決有了方向。它完全地打破了傳統(tǒng)的波動率研究思路，徹底地顛覆了傳統(tǒng)的波動率度量方法，成為引領(lǐng)波動率研究的一個嶄新的亮點和新的方向。

在眾多的研究中，最具代表性的當屬Andersen等人的一系列研究，如Andersen，Bollerslev［6］(1998)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Labys［7－10］(1999，2000，2001，2003，后簡稱ABDL)，Andersen，Bollerslev，Diebold，Ebens［11］(2001，后簡稱ABDE)，Andersen，Bollerslev，Diebold［12］(2002)。其它的研究如:Schwert(1998)，Ebens［13］(2000)，Oomen［14］(2001)，Bandi［15］(2003)等等。

實際波動率在國內(nèi)還屬于新興事物，對它的認識才剛剛開始，對它的研究可謂鳳毛麟角。黃后川［16］(2003)利用A、B股指數(shù)對實際波動率進行了較為系統(tǒng)的研究。施紅俊等［17］(2003)對實際波動率理論和實證進行過一個綜述。

本文的目的在于揭開實際波動率的面紗，對上述實際波動率及其相關(guān)變量的性質(zhì)進行實證研究，讓人們對它有一個更加清晰的認識，從而可以利用它為投資服務(wù)。

二、理論背景、算法及已有結(jié)論

實際波動率的理論背景主要是基于收益分解和二次變動理論。

假定N×1對數(shù)價格向量Pt，遵循如下多變量連續(xù)時間隨機波動擴散模型:

Wt表示N維布朗運動過程，Ωt為N×N維正定擴散矩陣，且嚴格平穩(wěn)。條件于樣本路徑特征μt和Ωt下，在［t，t+h］上連續(xù)復(fù)合收益為:

它服從Gaussian分布:

借助于二次變動理論，可以得知，在△→0時，有:

則實際協(xié)方差矩陣可以表示為:

對于第j只股票，其實際方差可用矩陣對角線上的元素表示為:={Covt}j，j

對數(shù)標準差表示為:lvj，t=log(Vj，t);我們把第i只股票和第j只股票的相關(guān)系數(shù)表示為:Corri，j，t={Covt}i，j/Vi，t·Vj，t

國外的文獻在大量實證研究的基礎(chǔ)上，得出的一些基本的結(jié)論有:

①ri，t/Vi，t的分布接近于正態(tài);即:日收益序列經(jīng)日實際波動率標準化后的序列近于正態(tài)分布。

③Covi，j，t顯著右偏，但Corri，j，t卻接近于正態(tài)分布;即:第i只股票與第j只股票的實際協(xié)方差所構(gòu)成的序列的分布顯著右偏，但它們之間的實際相關(guān)系數(shù)所構(gòu)成的序列的分布卻近于正態(tài)。

④lVj，t和Corri，j，t具有長記憶性;即:對數(shù)實際波動率序列和實際相關(guān)系數(shù)序列具有長記憶性特征。

⑤LogVi，t和logVj，t具有顯著的相關(guān)性。即:任兩只股票的對數(shù)波動率之間具有顯著的相關(guān)性。

三、實證及分析

(一)樣本說明

由于實際波動率要求樣本有盡可能好的流動性，故本文以上證180樣本股為總樣本，根據(jù)實證的需要，從中隨機抽取30只，股票代碼及名稱見表1。實際波動率要求樣本有盡可能高的頻率，本文采用日內(nèi)分鐘交易數(shù)據(jù)，時間跨度為2008年1月7日至2009年12月31日。數(shù)據(jù)來源于潤金數(shù)據(jù)庫。以下實證結(jié)果在SAS8.2上實現(xiàn)。

表1 樣本股基本信息

表2 收益率和標準化收益序列的描述性統(tǒng)計值(30只樣本)

(二)實證結(jié)果及分析

1.收益和標準化收益

表2展示了30只樣本的收益率序列及標準化收益序列分布的描述性統(tǒng)計特征。

從表2可以看出，收益序列表現(xiàn)出明顯的尖峰狀態(tài)，30個樣本中最小的峰度值為4.99，平均峰度值為7.64;并且表現(xiàn)出明顯的右偏趨勢，偏度的中位數(shù)為0.47，均值為0.53。而對于標準化收益序列，其峰度和偏度的分布則完全不同。其峰度值分布在3左右，30個樣本中最小的峰度值為2.36，最大的為4.75，中位數(shù)為2.72，較之收益序列的峰度下降了很多;它的偏度的均值為 －0.059，比較接近于0。從最右列的正態(tài)性檢驗的P值可以看出，30只樣本中有75%以上的樣本在1%顯著水平下不拒絕正態(tài)分布(在5%水平下，有22個不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有26個不拒絕)，這與GARCH模型中的標準化殘差的尖峰分布形成了鮮明的對比，Bollerslev，Engle，Nelson(1994)對此進行了一般的討論。圖 1為600085(從30只樣本中隨機抽取)的標準化收益序列的核密度圖。

圖1 標準化收益序列的核密度圖

圖2 實際相關(guān)系數(shù)序列的核密度圖

2.方差和對數(shù)實際波動率

下面給出了實際方差、實際波動率及對數(shù)實際波動率分布的描述性統(tǒng)計量。

可以看出，實際方差的分布呈顯著的右偏，實際波動率的右偏趨勢有所減弱，偏度的中位數(shù)從7.24減到了2.69，說明實際波動率有接近于對稱分布的趨勢;再看對數(shù)實際波動率的偏度，雖然還是呈右偏的趨勢，但其程度卻大大減小，其偏度的中位數(shù)為0.52。峰度的變化趨勢則更為明顯，從實際方差到對數(shù)實際波動率，峰度的中位數(shù)從73.95減到了3.67。對30個樣本的對數(shù)實際波動率序列進行正態(tài)性檢驗，在5%水平下，有7只不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有9只不拒絕。由此可以發(fā)現(xiàn)，雖然不能說對數(shù)實際波動率呈現(xiàn)出了正態(tài)分布，但它確實在向正態(tài)分布靠近。圖3、圖4為樣本600085實際波動率及對數(shù)實際波動率的核密度圖。

上面的實證結(jié)果與ABDE(2001)的實證結(jié)論是一致的。關(guān)于對數(shù)實際波動率的分布近于正態(tài)的結(jié)論可以在 Taylor(1986)，F(xiàn)rench，Schwert，Stambaugh(1987)的研究中找到原形，他們用日收益數(shù)來計算月實際波動率，發(fā)現(xiàn)月實際波動率的對數(shù)呈現(xiàn)出近于正態(tài)的分布。

以上的研究是基于單變量的收益和波動率的研究，然而在資產(chǎn)定價、組合選擇以及風險管理中無一不涉及到多變量的情形。因此下面進一步研究變量之間的實際協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的分布特征。

表3 實際方差和實際波動率分布的描述性統(tǒng)計統(tǒng)計量

表4 對數(shù)實際波動率分布的描述性統(tǒng)計量

3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

實際協(xié)方差是計算30個樣本中每一個樣本序列與其它29個樣本序列的實際協(xié)方差，計算的樣本頻率為5分鐘，共得435個序列。由于30個樣本不可能在所取的時間段上均有交易，因此，在計算的過程中筆者剔除了那些非共有的交易時段。

由表5可以看出，實際協(xié)方差呈顯著的右偏尖峰狀態(tài)，相關(guān)系數(shù)則呈輕微的右偏趨勢。其偏度的中位數(shù)為0.019，峰度的中位數(shù)為3.15。對它進行正態(tài)性檢驗，在5%顯著水平下，有382個序列不拒絕正態(tài)分布，在1%水平下，有416個不拒絕。表明相關(guān)系數(shù)序列比較接近于正態(tài)分布。圖2為樣本600085與樣本600000的實際相關(guān)系數(shù)的核密度圖。

4.相關(guān)性研究

下面對實際波動率、對數(shù)實際波動率及相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性進行研究。為了更深入地研究實際波動率序列的相關(guān)性特點，首先對序列進行L－B Portmanteau檢驗，表6為30個樣本進行各項檢驗后的百分位數(shù)值，從第三欄可以看出，其直到24階的自相關(guān)函數(shù)值均高度顯著，表明序列存在顯著的自相關(guān)現(xiàn)象。仍以600085為例，圖5為它的實際波動率序列圖，從圖中可以看出，波動率呈現(xiàn)出明顯的叢聚性和相關(guān)性，這與ARCH類模型所刻畫的波動率現(xiàn)象是一致的。但其自相關(guān)函數(shù)衰減較快(圖6，至10階左右后變得不顯著);接著對序列進行單位根檢驗，表6的第五欄反應(yīng)了ADF檢驗相應(yīng)的P值，可以看出檢驗結(jié)果均高度顯著，均拒絕單位根假定，說明序列均為平穩(wěn)序列。最后對它們進行R/S分析，表6最末一欄為樣本各序列R/S分析的結(jié)果，d的中位數(shù)為0.34，表明了原序列均存在顯著的長記憶特征。

表5 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的描述性統(tǒng)計特征

表6 實際波動率相關(guān)性檢驗統(tǒng)計量

表7為對數(shù)實際波動率各項檢驗的百分位數(shù)值，從中可以看出，所有樣本自相關(guān)函數(shù)的24階Q統(tǒng)計量均高度顯著。對樣本進行ADF檢驗，其檢驗值也高度顯著，表明對數(shù)實際波動率樣本序列均為平穩(wěn)序列。表7最右列給出了對30個樣本序列進行R/S分析的d值?？梢钥闯?，所有的樣本均具有顯著的長記憶特征。

表7 對數(shù)實際波動率相關(guān)性檢驗統(tǒng)計量

樣本600085的對數(shù)實際波動率值見圖7，它同樣表現(xiàn)出了波動率的叢聚性和相關(guān)性。它的樣本自相關(guān)圖見圖8。雖然它并沒有表現(xiàn)出緩慢的雙曲衰減模式，但直至10階左右時，它進入95%置信區(qū)間內(nèi)。

表8概括了30個樣本的435個相關(guān)系數(shù)序列的自相關(guān)檢驗值、單位根檢驗值以及長記憶檢驗值。從中可以看出，90%以上的相關(guān)系數(shù)的Q統(tǒng)計量高度顯著，ADF檢驗值全部顯著，R/S分析的結(jié)果也表明相關(guān)系數(shù)具有顯著的長記憶特征。

表8 相關(guān)系數(shù)相關(guān)性檢驗統(tǒng)計量

從以上實證研究可以得出:實際波動率序列、對數(shù)實際波動率序列、相關(guān)系數(shù)序列的自相關(guān)函數(shù)均具有較為緩慢的衰減模式;且均為平穩(wěn)序列;均具有顯著的長記憶特征。下面對不同股票的對數(shù)實際波動率的相關(guān)性進行研究，表9為實證結(jié)果。

表9 對數(shù)實際波動率的相關(guān)系數(shù)的描述性統(tǒng)計特征

從上表可以看出，相關(guān)系數(shù)的中位數(shù)為0.43，表明各樣本的波動率序列具有同向運動(comovement)的趨勢，并且這種趨勢較為強烈。ABDE(2001)也得出了類似的結(jié)論，并用波動率的因子結(jié)構(gòu)作了解釋。

四、結(jié)論

通過以上實證研究，本文可以得出以下結(jié)論:

1.經(jīng)實際波動率標準化的收益率序列接近于正態(tài)分布;2.對數(shù)實際波動率序列的分布接近于正態(tài);3.實際相關(guān)系數(shù)序列接近于正態(tài)分布;4.實際波動率序列、對數(shù)實際波動率及相關(guān)系數(shù)序列均具有顯著的長記憶特征;5.不同股票的對數(shù)波動率序列之間具有顯著的相關(guān)性。

可以發(fā)現(xiàn)，這與第二節(jié)提到的國外文獻研究的結(jié)論是一致的。由此我們可以得出，實際波動率是一種理論，它并不局限于某個特定市場，我們研究它、認識它、了解它，從而可以利用它，為我們進行組合選擇、風險管理服務(wù)。隨著人們對實際波動率理論認識的深入，該理論的巨大應(yīng)用價值一定會更加凸顯。

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