Winkler地基上變厚度矩形板彎曲的微分求積解

楊 柳,彭建設(shè),謝 剛,羅光兵

(1.西華師范大學物理與電子信息學院,四川南充 637002;2.成都大學工業(yè)制造學院,四川成都 610106; 3.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室,四川成都 610031)

0 引 言

在自然科學的研究中,各學科領(lǐng)域?qū)τ趯嶋H問題的研究,最終都將涉及到對偏微分方程的求解,目前,數(shù)值解已成為求解這些偏微分方程的主要方法.例如,有限元法、有限差分法、無網(wǎng)格法、微分求積法等[1-7].上述方法各有優(yōu)缺點,并在不同的領(lǐng)域有成功的應(yīng)用.Winkler地基上板的彎曲問題是一種常見的工程問題,本文運用微分求積法研究了Winkler地基上變厚度矩形板的彎曲問題.

1 Winkler地基上變厚度板的控制方程

在Winkler地基上,如果薄板的厚度發(fā)生變化則其抗撓度剛度D將不是常數(shù),對該類型矩形薄板在載荷作用下其線性彎曲問題的控制方程為,

設(shè) a,b分別為x,y方向的長和寬,將位置坐標做如下無量綱化轉(zhuǎn)換,

于是,無量綱化后的控制方程可寫為,

2 微分求積法原理

微分求積法以全域內(nèi)節(jié)點函數(shù)值的加權(quán)和來逼近函數(shù)偏導數(shù)在某點的值,并在全域內(nèi)運用高階Lagrange多項式逼近域內(nèi)某一待求函數(shù).

設(shè) g(x)為一待求函數(shù),先沿 x軸設(shè)置N個節(jié)點,并以節(jié)點函數(shù)值,g(xi)(i=1,…,N),作為基本未知量,在全域內(nèi)采用高階Lagrange多項式插值逼近 g(x),

令g(x)的n階導數(shù)在節(jié)點處的值為節(jié)點函數(shù)值的加權(quán)和,

將式(4)～ (6)代入式(7),即可確定加權(quán)系數(shù)

最后,由控制微分方程解出待定參數(shù) g(xi),即求得 g(x)的數(shù)值解.

3 Winkler地基上變厚度板靜力彎曲

在薄板上沿x方向取Nx個節(jié)點,沿y方向取Ny個節(jié)點.根據(jù)微分求積法原理,撓度 w對坐標的高階偏導數(shù)在無量綱坐標為(ζi,ηj)的節(jié)點處的函數(shù)值可以用各節(jié)點的撓度值w(ζi,ηj)的加權(quán)和表示,對式(3)有微分求積方程,

其中,i=1,2,…,Nx;j=1,2,…,Ny.

由式(11)可見,全域內(nèi)有 Nx×Ny個待定參數(shù)w(ζi,ηj),將其表達式表達為矩陣形式為,

其中,δ為Nx×Ny行的待定參數(shù)列陣,C表示為Nx× Ny行Nx×Ny列的權(quán)系數(shù)矩陣,F為Nx×Ny行的廣義載荷列陣,C,F分別由式(12)的左邊和右邊形成.

考慮邊界條件,矩形薄板有4個邊界,共有8個邊界條件.例如,四邊簡支時,其8個邊界條件為,

即,

其中,i=1,2,…,Nx,j=1,2,…,Ny.

由此,可得4(Nx+Ny)個代表邊界條件的微分求積約束方程.將式(13)分別取代式(11)中的 i= 1,2,Nx-1,Nx和j=1,2,Ny-1,Ny時表示的節(jié)點方程,取代后的方程即成為融入邊界條件的可解線性方程組,從而得到式(12)中的待定參數(shù)列陣.如果在全域內(nèi)求解該線性方程組即得節(jié)點位移w(ζi, ηj)的列陣δ,全域的位移場可由Lagrange插值得到,

4 算 例

例1 Winkler地基上,一個四邊簡支的正方形板,在均布載荷 q作用下,求其中點處的撓度.

例2 Winkler地基上,一個四邊固支的正方形板,在均布載荷 q作用下,求其中點處的撓度.

例3 Winkler地基上,一個四邊簡支的正方形板,受分布載荷q=q0y/a作用,板厚為 h(x,y)= [1+λ(2y/a-1)]h0,h0為y=a/2處厚度,取λ= 0.2,μ=0.25,求其 y方向中線的撓度.

例1～例3的解如表1～表3所示.

表1 Winkler地基上四邊簡支方板在均布載荷作用下中點撓度

表2 Winkler地基上四邊固支方板在均布載荷作用下中點撓度

表3 Winkler地基上變厚度簡支方板的撓度

5 結(jié) 語

本文采用微分求積法求解Winkler地基上變厚度矩形板的彎曲問題,給出了可參考的數(shù)據(jù).從算例的計算結(jié)果可以看出,采用微分求積法對求解Winkler地基上矩形板彎曲,以及變厚度矩形板彎曲具有較高的精度.與多變量樣條元法[8]和網(wǎng)格差分法[9]相比,微分求積法原理簡單,適應(yīng)性廣,計算量小,程序易于在計算機上實現(xiàn),是解決該問題的一種較好的數(shù)值方法.

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