“單擺測重力加速度”的實(shí)驗(yàn)研究與誤差分析

王金德

（ 滄州師范學(xué)院 物理與電子信息系，河北 滄州 061001 ）

“單擺測重力加速度”的實(shí)驗(yàn)研究與誤差分析

王金德

（ 滄州師范學(xué)院 物理與電子信息系，河北 滄州 061001 ）

以“單擺測重力加速度”的力學(xué)實(shí)驗(yàn)為例，從誤差理論出發(fā)，討論怎樣減小測量誤差以及對(duì)單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。

單擺實(shí)驗(yàn)； 重力加速度； 誤差分析； 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

科學(xué)地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案、合理地選擇實(shí)驗(yàn)儀器、運(yùn)用誤差理論尋求減小誤差的方法，做出令人滿意的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，是物理教師應(yīng)具備的基本實(shí)驗(yàn)素質(zhì)，能有效地指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，培養(yǎng)科學(xué)探究精神?？茖W(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，要求物理教師在一定實(shí)驗(yàn)條件下，從實(shí)驗(yàn)的誤差分析入手，尋找誤差的主要來源，運(yùn)用誤差理論，提出減小誤差的問題，提高實(shí)驗(yàn)精度的手段、方法和措施。遵循的原則是：“力求用最小的代價(jià)，來獲取最佳的效果，不能一味地追求儀器越高級(jí)越精密越好，環(huán)境越穩(wěn)定越好，測量次數(shù)越多越好，方法越完善越好”。本文以“單擺測量重力加速度”為例，說明如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和減小誤差。

1.通過系統(tǒng)誤差分析設(shè)計(jì)較為理想的單擺

把一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一根不可伸長的幾何線段懸于一點(diǎn)，即構(gòu)成理想的單擺，其運(yùn)動(dòng)方程是：

在擺角很小的情況下其做簡諧振動(dòng)，近似解為：

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)點(diǎn)用一擺球，懸線用一根“細(xì)”“剛”線，盡管在制作中，使擺球盡量小、盡量接近質(zhì)點(diǎn)，懸線盡量細(xì)輕，其質(zhì)量近于忽略，受力變化引起的擺長變化也忽略，但上述原因畢竟不能實(shí)現(xiàn)理想的數(shù)學(xué)擺模型。加之空氣浮力和空氣阻尼等諸多因素，都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來系統(tǒng)誤差。

1.1. 擺球半徑和懸線質(zhì)量的影響

設(shè)L為懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離，r為擺球半徑，m為擺球質(zhì)量，為懸線質(zhì)量，在要求較高的單擺實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)做復(fù)擺修正，其運(yùn)動(dòng)方程則變?yōu)椋?/p>

在擺角很小的情況下的近似解為：由（1）式，懸線質(zhì)量的影響使重力加速度測量值偏小。對(duì)擺球半徑的影響，可令μ=0進(jìn)行修正

重力加速度的測量值偏大。

1.2. 擺角影響

擺角很小的條件亦難以滿足，若取二級(jí)近似，有

可得θ＜5.1°，一般可取θ＜5°。

1.3. 實(shí)驗(yàn)操作對(duì)測量準(zhǔn)確性的影響

實(shí)驗(yàn)時(shí)許多學(xué)生不是由最高點(diǎn)釋放，而是要“送上一程”，給小球一個(gè)速度，若其速度方向和重力方向不共面，則單擺會(huì)變橢圓錐擺，其影響可聯(lián)系圓錐擺的周期公式：

兩者進(jìn)行比較，帶來系統(tǒng)誤差使得重力加速度的測量值偏大。實(shí)驗(yàn)采用累積計(jì)時(shí)辦法，因同一實(shí)驗(yàn)者的固定習(xí)慣，對(duì)計(jì)時(shí)亦帶來系統(tǒng)誤差，針對(duì)這種情況，可采用類似“導(dǎo)號(hào)”的辦法，在不改變擺長情況下，讓不同習(xí)慣的實(shí)驗(yàn)者進(jìn)行測量，求出周期的平均值，可減小該原因帶來的系統(tǒng)誤差。

擺球擺動(dòng)中擺球在不同位置，其速度大小是不同的，過平衡位置時(shí)速度最大。對(duì)同一實(shí)驗(yàn)者，如果空間定位的誤差不變，擺球速度越大，計(jì)時(shí)誤差越小，周期測量也就越準(zhǔn)確所以實(shí)驗(yàn)應(yīng)從平衡位置開始計(jì)時(shí)。實(shí)驗(yàn)中，不少實(shí)驗(yàn)者視線與擺平面不垂直，這對(duì)測量結(jié)果亦會(huì)帶來系統(tǒng)誤差，但只要保持視線方向不改變，在不計(jì)入半個(gè)周期的情況下，本誤差會(huì)自動(dòng)消除。所以要求在實(shí)驗(yàn)計(jì)時(shí)時(shí)，保持相對(duì)穩(wěn)定的視線方向。若停表不準(zhǔn)，會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來系統(tǒng)誤差。這需在實(shí)驗(yàn)前對(duì)停表進(jìn)行校準(zhǔn)，方法是選擇一個(gè)數(shù)字毫秒表作為標(biāo)準(zhǔn)表，如停表在走過tn秒的時(shí)間時(shí)，毫秒表走過了ts秒，則校準(zhǔn)系數(shù)為C=ts/tn，將實(shí)驗(yàn)測出周期T'乘以校準(zhǔn)系數(shù)C即T=CT'才是真正測出的周期。

1.4. 其他因素的影響

實(shí)際擺動(dòng)中受到空氣浮力的作用，在擺球密度不是很大時(shí)，應(yīng)做浮力修正，實(shí)際測量加速度應(yīng)為重力和浮力的合力產(chǎn)生加速度，將它作為重力加速度，測量值偏小。

實(shí)驗(yàn)中還應(yīng)考慮空氣阻尼帶來影響?？梢苑治鏊沟弥芷谄?，重力加速度偏小。但因?yàn)閿[長較長，速度不大，阻力很小，所以影響很小。

2.從誤差分析，尋找測量誤差的主要來源

在進(jìn)行隨機(jī)誤差分析中，需將“—”號(hào)變成“+”號(hào)，同時(shí)將“d”變?yōu)椤唉ぁ保校簭纳鲜娇煽闯鲋亓铀俣葴y量的誤差來源于擺長的周期測量。

實(shí)驗(yàn)中若采用長度約為 1米的細(xì)線，擺球用直徑約為2cm的小球，用mm刻度尺測得擺線長度按1m計(jì)算，用卡尺測得擺球直徑按2cm計(jì)算，有擺長L=（101.00±0.05）cm，周期測量若選用實(shí)驗(yàn)室常用精密度為（1/10）s的停表進(jìn)行直接測量，測量結(jié)果按2.1s計(jì)算，有T=（2.1±0.1）s，由間接測量的誤差傳遞公式（4）：

從上述結(jié)果不難看出，實(shí)驗(yàn)誤差主要來源于周期T的測量。

3.實(shí)際設(shè)計(jì)方案的制定

厘米刻度尺和（1/10）s的停表均為實(shí)驗(yàn)室常用儀器，但帶來的誤差相關(guān)懸殊。從實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)角度上講，擺長和周期測量的誤差不能采用均分的辦法，更沒有必要過分追求刻度尺的精密度（用卡尺測擺球直徑，其目的是方便測量，而不提高精密度），實(shí)際設(shè)計(jì)的著重點(diǎn)放在減少周期測量的誤差上，而減少這個(gè)誤差又絕不能靠提高停表的精密度。這是因?yàn)橛?jì)時(shí)時(shí)，定位的計(jì)時(shí)誤差較大，即使“準(zhǔn)確度”最高的人，其定位的計(jì)時(shí)誤差也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于停表的精密度。怎么辦呢？有效的辦法是采用累積計(jì)時(shí)的方法。

還以上面數(shù)據(jù)為例，為使重力加速度測量誤差不超過2%，應(yīng)如何制定實(shí)際方案呢？由誤差公式：

（1）從單純的儀器選擇角度，選用實(shí)驗(yàn)室常用的停表，其精密度若為（1/10）s，進(jìn)行累積計(jì)時(shí)，如測出n=10次全振動(dòng)所用時(shí)間T=（21.0±0.1）s，周期T=t/ n=（21.0±0.1）s ，ΔT=0.1s/10=0.01s＜0.02s就可滿足要求。

可求得，n′≥26.25。所以在實(shí)驗(yàn)中，一般測量連續(xù)擺動(dòng)30個(gè)全振動(dòng)所用時(shí)間來計(jì)算周期T。

用單擺測重力加速度，在理論上分析上述原因?qū)?shí)驗(yàn)都帶來系統(tǒng)誤差的基礎(chǔ)上，將單擺模型理想化，不要求學(xué)生一定分析上述原因帶來的是何種影響的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探究。但為了減小這些影響，教師在制作單擺時(shí)，對(duì)擺線的要求是輕、細(xì)、軟，以使其質(zhì)量和伸縮忽略不計(jì)，且要求合適的長度（不小于1米）；擺球應(yīng)選用密度較大的材料（銅、鐵），制成半徑遠(yuǎn)小于擺長有中心孔的實(shí)心小球。安裝時(shí)應(yīng)使擺的懸點(diǎn)位置固定不變，擺動(dòng)時(shí)擺角應(yīng)小于5°，這些即可保證實(shí)驗(yàn)的單擺盡可能接近理想的單擺。

由于普通物理實(shí)驗(yàn)室單擺儀器設(shè)備較為簡單，我們要學(xué)會(huì)一套實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，用誤差理論引導(dǎo)學(xué)生做出令人滿意的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來，這是物理教師應(yīng)具備的一項(xiàng)基本教學(xué)素質(zhì)。

[1] 曾貽偉等.普通物理實(shí)驗(yàn)教程[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1989.

Experimental Study and Error Analysis in the experiment of “measuring acceleration of gravity by single pendulum”

WANG Jin-de
（ Department of Physics and Electronic Information, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China ）

Taking the mechanical experiment of “measuring acceleration of gravity by single pendulum” as an example, this paper discussed how to reduce the measurement error and optimal design of the experiment.

experiment of “single pendulumtourism”;acceleration of gravity;error analysis;experiment design

（責(zé)任編輯 李宗寶）

O3 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

A

1673-9639 （2011） 03-0126-03

2011-04-26

王金德（1965-），男，河北滄州人，河北滄州師范學(xué)院物理與電子信息系副教授，主要承擔(dān)物理教學(xué)論、多媒體教學(xué)技術(shù)課程的教學(xué)。