單擺周期問題的歸納與深化

單擺在擺角很小時的振動是簡諧振動的典型實例,其周期公式為根據(jù)這一公式可知,決定單擺周期的因素有兩個,即擺長L和單擺所處情況下的加速度g。在中學(xué)課本中,關(guān)于g的概念并未給出一般性的定義,這就給同學(xué)們求解復(fù)雜情況(如在超重、失重、系統(tǒng)加速、復(fù)合場中等)下單擺的周期問題帶來一定困難。下面結(jié)合單擺振動的具體實例分析單擺周期的求法。

一、確定單擺的平衡位置

求單擺的周期,確定其平衡位置是關(guān)鍵的一步。單擺振動時,所在系統(tǒng)(單擺本身)運動情況的復(fù)雜性決定了單擺平衡位置的復(fù)雜性。

1.在靜止或勻速運動的體系(慣性系)中的單擺如圖1～5所示。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

如圖1～5中所示單擺在不振動時,擺球總是相對懸點靜止在O點,若讓其振動,擺球離開平衡位置,就要受到回復(fù)力作用(總是指向O點),可見O點就是其擺動的平衡位置。擺球靜止在O點時,所受的合外力為零,回復(fù)力也為零;擺球在振動過程中經(jīng)過O點時,其回復(fù)力仍為零,但因擺球沿圓弧運動,故它所受的外力不為零。因此,在慣性系中,單擺的平衡位置就是擺球不振動時相對于懸點靜止的位置,擺球在此位置時所受回復(fù)力一定為零。

圖6

2.在加速運動的體系(非慣性系)中。

如圖6所示,在水平向右加速運動的小車上,當(dāng)擺球不振動(相對車靜止)時,懸線必然要偏離豎直方向一個角度θ,而相對靜止在O點,此時擺球處于相對穩(wěn)定狀態(tài)。此時,若讓擺球偏離O點一個較小角度,擺球就要來回擺動(總想回到位置O),因此,這一相對懸點穩(wěn)定的位置O就是單擺的平衡位置,擺球在此位置時所受回復(fù)力為零。

圖7

如圖7所示,在沿光滑斜面加速下滑的小車上,單擺和小車一同加速下滑,在擺線和斜面垂直(擺球處于O點)時,擺球處于相對穩(wěn)定狀態(tài),這個位置O就是單擺的平衡位置,擺球在此位置時所受回復(fù)力為零,但合外力不為零。

根據(jù)以上分析可知,單擺的平衡位置就是單擺不振動時擺球相對懸點靜止的位置,擺球處于平衡位置的動力學(xué)特點是所受合外力不一定為零,但回復(fù)力一定為零。因此,不管是在慣性系中還是在非慣性系中,要找單擺的平衡位置,只要找出擺球不振動時相對懸點靜止的位置就可以了。

二、求單擺周期的方法

如圖7所示,單擺和小車在沿傾角為θ的光滑斜面下滑的過程中,如何求單擺擺動的周期呢? 部分同學(xué)在求解此題時容易誤認為擺長和重力加速度都未改變,所以周期不變。實際上g值雖然未變,卻存在效果上相當(dāng)于g值改變的因素。從圖中可以看出,單擺和小車在沿斜面下滑的加速運動中,單擺系統(tǒng)的加速度是由重力的分力F1=mgsinθ產(chǎn)生的,它起不到回復(fù)力的作用,所以也就影響不了單擺的振動周期。擺球能相對小車發(fā)生振動是由重力的另一個分量F2=mgcosθ引起的,即相當(dāng)于有mgcosθ的重力作用在擺球上,因此這時單擺的周期可見,求單擺的周期關(guān)鍵在于求作用在擺球上的相當(dāng)于重力的那個力F。

圖8

如圖8所示,升降機在加速上升時,相當(dāng)于重力的力F=mg+ma,單擺的周期;升