基于密度算子的組合預(yù)測方法

摘 要：考慮到單項預(yù)測方法在不同時刻預(yù)測準(zhǔn)確性的差異，提出了一種基于密度算子的組合預(yù)測方法。該方法的核心思想是利用樣本區(qū)間內(nèi)單項預(yù)測方法的預(yù)測準(zhǔn)確性對預(yù)測值聚類；然后基于密度算子的思想對單項預(yù)測法集結(jié)，得到一種新的組合預(yù)測模型；在此基礎(chǔ)上，基于預(yù)測值和相應(yīng)觀察值誤差最小的思想確定單項預(yù)測法的加權(quán)系數(shù)。該模型充分利用了樣本區(qū)間內(nèi)單項預(yù)測法的預(yù)測準(zhǔn)確性，因而預(yù)測值具有較高的準(zhǔn)確性。最后，給出一個實例，并對其結(jié)果進(jìn)行比較分析，證明了該組合預(yù)測模型的有效性。

關(guān)鍵詞：組合預(yù)測；密度算子；預(yù)測準(zhǔn)確度；密度加權(quán)向量

中圖分類號：C934 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5192(2011)04-0060-05

Combination Forecasting Method Based on Density Operator

YI Ping-tao， GUO Ya-jun， LI Wei-wei

(School of Business Administration， Northeastern University， Shenyang 110004， China)

Abstract:Considering the difference of single forecasting method’s veracity at different times， this paper presents a new combination forecasting model based on density operator. The core ideal of this method is to cluster the forecasting values by the forecasting veracity， then build the combination forecasting model using the density operator. Based on this， the single forecasting method weight is determined through the minimal warp between the forecasting values and the real values. This combination forecasting model makes full use of single forecasting model’s veracity， so the forecasting value veracity has been increased. At last， an application example is given， and its result is analyzed to illustrate the validity of the new combination forecasting model.

Key words:combination forecasting; density operator; forecasting veracity; the density weighting vector

1 引言

小到人們?nèi)粘Ｉ?，大到國家發(fā)展規(guī)劃，都會遇到預(yù)測問題，比如農(nóng)場品市場行情預(yù)測、股市預(yù)測乃至國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢預(yù)測等。預(yù)測對象往往是相互聯(lián)系，相互制約的復(fù)雜系統(tǒng)，而使用單個預(yù)測模型只能從某個角度提供相應(yīng)的有效信息，信息源不夠廣泛，因而預(yù)測的準(zhǔn)確性難以保證。Bates和Granger［1］己于1969年首次提出組合預(yù)測的概念，即綜合考慮各單項預(yù)測方法所提供的信息，將不同的單項預(yù)測方法集結(jié)得到組合預(yù)測模型。由于它能有效地提高預(yù)測精度，因而引起了國內(nèi)外廣大學(xué)者的研究興趣［1~10］。

本文在分析現(xiàn)有組合預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，考慮到樣本區(qū)間內(nèi)單項預(yù)測方法在不同時刻預(yù)測準(zhǔn)確性的差異，基于密度算子的思想提出了一種新的組合預(yù)測模型。該模型首先利用單項預(yù)測方法預(yù)測準(zhǔn)確性的差異對其進(jìn)行聚類；然后基于密度算子［11］的思想對單項預(yù)測值進(jìn)行集結(jié)，得到組合預(yù)測值；在此基礎(chǔ)上，以組合預(yù)測值和實際觀察值的誤差最小為基準(zhǔn)確定單項預(yù)測法在組合預(yù)測模型中的加權(quán)系數(shù)。該預(yù)測模型充分利用了單項預(yù)測法的預(yù)測準(zhǔn)確性，從而進(jìn)一步提高了組合預(yù)測值的準(zhǔn)確性。

2 傳統(tǒng)的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測方法

設(shè)某社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)序列的觀察值為{xt;t=1，2，…，n}，有m種可行的單項預(yù)測方法對其進(jìn)行預(yù)測，xit(i=1，2，…，m;t=1，2，…，n)為第i種預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測值（或稱擬合值）。為方便起見，記N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}。

設(shè)w=(w1，w2，…，wm)T為m種單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的加權(quán)系數(shù)，應(yīng)該滿足歸一性和非負(fù)性，即∑mi=1wi=1，wi≥0，i∈M。

顯然，J為各種預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)向量w=(w1，w2，…，wm)T的函數(shù)，所以J也可記為J(w)。

對于組合預(yù)測方法，J(w)的大小表明了組合預(yù)測值和實際值之間的接近程度。J(w)越小，表示加權(quán)算術(shù)平均的組合預(yù)測值越接近于實際值。因此以誤差平方和最小為準(zhǔn)則的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型可表示為

模型（M1）的最優(yōu)解即為加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型中單項預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)。

3 密度算子簡介

文獻(xiàn)［11］首次提出了密度算子的概念，并將其應(yīng)用于多屬性決策中，取得了較好的效果。密度算子是基于屬性信息或群體評價信息分布的疏密程度提出的一種信息集結(jié)方法，其作為信息集結(jié)的中間過程，在實際應(yīng)用中需要與已有的信息集結(jié)算子（AA，WAA，OWA，Min，Max）合成使用。

密度算子的具體應(yīng)用過程可以簡述為以下步驟。

步驟1 評價信息的聚類。將已有的屬性信息或群體評價信息根據(jù)信息分布的疏密程度進(jìn)行聚類，可采用的聚類方法有有序增量分割法［11］、類平均法［12］等。

步驟2 密度加權(quán)向量的確定。評價者根據(jù)其對“組間同性”的偏好程度（即評價者偏好主體信息或群體共識，抑或是偏好極端信息或個別意見），采用一定的表達(dá)式來確定密度加權(quán)向量，可采用的方法主要有比例加速法［11］、規(guī)模增益法［12］、熵值規(guī)劃法［12］等。

步驟3 各組評價信息的內(nèi)部集結(jié)。按照步驟1對評價信息進(jìn)行分組后，需要對各組內(nèi)部的評價信息進(jìn)行集結(jié)，可采用已有的信息集結(jié)算法，如AA、WAA、OWA、Min、Max等算子。

步驟4 各組評價信息之間的集結(jié)。按照步驟3計算出各組的評價信息之后，結(jié)合步驟2求得的密度加權(quán)向量，可采用“線性”或“積性”［13］密度算子對各組之間的評價信息進(jìn)行集結(jié)。

4 基于密度算子的組合預(yù)測模型

4.1 單項預(yù)測方法的聚類

組合預(yù)測的目的是為了提高預(yù)測的準(zhǔn)確性，下面給出一種基于預(yù)測準(zhǔn)確性的單項預(yù)測值聚類方法。

定義4 稱

dit=｜xit-xt｜， i∈M，t∈N（4）

為t(t∈N)時刻第i(i∈M)種預(yù)測方法的預(yù)測值與相應(yīng)實際值的偏離度。其中dit>0且dit越大，說明第i(i∈N)種預(yù)測方法的預(yù)測值與相應(yīng)實際值的偏差越大，其預(yù)測的準(zhǔn)確性越低。

定義5 稱

μ(t)i=e(1-dit)/∑mi=1e(1-dit)， i∈M，t∈N（5）

為t(t∈N)時刻第i(i∈M)種預(yù)測方法的預(yù)測準(zhǔn)確度，滿足μ(t)i∈(0，1)且∑mi=1μ(t)i=1。

設(shè)t(t∈N)時刻所有單項預(yù)測法的準(zhǔn)確度為μ(t)1，μ(t)2，…，μ(t)m。下面給出基于預(yù)測準(zhǔn)確度對單項預(yù)測值進(jìn)行聚類的方法——“有序增量分割法”：

(1)按照單項預(yù)測法的預(yù)測準(zhǔn)確度由大到小的順序?qū)Ζ?t)1，μ(t)2，…，μ(t)m重新排序，記為μ′(t)1，μ′(t)2，…，μ′(t)m。

(2)對重新排序后的單項預(yù)測準(zhǔn)確度，計算相鄰兩個單項預(yù)測準(zhǔn)確度的離差，即d(t)i=μ′(t)i-μ′(t)i+1，i=1，2，…，m-1。

(3)設(shè)將t(t∈N)時刻的m種單項預(yù)測準(zhǔn)確度分為l組(l≤m)，則在前l(fā)-1個最大的d(t)i(i=1，2，…，m-1)處分割，即可得到l個數(shù)組。

(4)將l個數(shù)組中的單項預(yù)測準(zhǔn)確度換成其對應(yīng)的單項預(yù)測值，即可得到t(t∈N)時刻m種單項預(yù)測值的l組聚類。

設(shè)t(t∈N)時刻m種單項預(yù)測值的集合為X^t

={x1t，x2t，…，xmt}，其l組聚類為X^1t，X^2t，…，X^lt，每組中的元素個數(shù)為kj，j=1，2，…，l。為方便起見，記L={1，2，…，l}。

通過以上分析可知：當(dāng)01時，Tp(ξ(t))>0.5，表明預(yù)測者比較偏好預(yù)測準(zhǔn)確性偏高的數(shù)組。

為了提高組合預(yù)測的準(zhǔn)確性，理性的預(yù)測者一般會比較偏好預(yù)測準(zhǔn)確性偏高的數(shù)組，即令q>1。下面給出確定密度加權(quán)向量的兩種方法：

方法1 給定q一任意值，按照（8）式計算組間預(yù)測準(zhǔn)確性的偏好度Tp(ξ(t))，若Tp(ξ(t))的值滿足預(yù)測者的偏好，則將該q值代入（7）式求得密度加權(quán)向量；否則，對q重新賦值，重復(fù)上述過程，直到滿足預(yù)測者的偏好為止。

方法2 預(yù)測者事先給出其組間預(yù)測準(zhǔn)確性的偏好度，設(shè)為λ，將其代入（8）式求得q的取值，然后將q值代入（7）式求得密度加權(quán)向量。

4.3 基于密度算子的組合預(yù)測模型

設(shè)m種單項預(yù)測方法在組合預(yù)測中的加權(quán)系數(shù)ω=(ω1，ω2，…，ωm)T，滿足ωi∈(0，1)且∑x(j)kjt}(j∈L)中的元素重要性的歸一化加權(quán)向量，滿足ω(j)i∈(0，1)且∑kji=1ω(j)i=1。

定義9 設(shè)et為第t時刻的基于密度算子的組合預(yù)測值與相應(yīng)的實際值之間誤差，則et的表達(dá)式為

與傳統(tǒng)的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測方法原理相同，基于密度算子的組合預(yù)測方法中，J(ω)的大小也表明了組合預(yù)測值和實際值之間的接近程度。J(ω)越小，表示基于密度算子的組合預(yù)測值越接近于實際值。因此以誤差平方和最小為準(zhǔn)則的基于密度算子的組合預(yù)測模型可表示為

模型（M2）的最優(yōu)解即為基于密度算子的組合預(yù)測模型中單項預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)。

5 實例分析

為了證明基于密度算子的組合預(yù)測方法的有效性，本文對基于密度算子的組合預(yù)測模型的結(jié)果與傳統(tǒng)的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型以及單項預(yù)測方法的結(jié)果進(jìn)行比較分析。按照預(yù)測效果評價原則，選擇下列指標(biāo)作為預(yù)測效果評價指標(biāo)體系：

選用文獻(xiàn)［14］的實例對基于密度算子的組合預(yù)測方法的應(yīng)用進(jìn)行說明。為更好地分析，本文在文獻(xiàn)［14］的基礎(chǔ)上，又增加3種單項預(yù)測方法。預(yù)測對象在10個預(yù)測期內(nèi)的指標(biāo)實際值分別為：14.9，18.6，22.2，17.6，19.6，24，31.6，43.7，37，47.2；與此對應(yīng)的單項預(yù)測方法1的預(yù)測值為10，14.9，23.3，26.1，17.5，20.2，26.4，36.8，52.5，38.5；單項預(yù)測方法2的預(yù)測值為12，15.48，18.95，22.43，25.9，29.38，32.85，36.33，39.8，43.28；單項預(yù)測方法3的預(yù)測值為13，16，20.5，19.8，18.7，25.5，30.87，35.98，34.71，40.67；單項預(yù)測方法4的預(yù)測值為14.3，17.34，19.98，18.34，20.89，23.56，28.68，42.5，41.8，39.86；單項預(yù)測方法5的預(yù)測值為11.98，16.45，21.67，18.64，21.3，22.56，29.79，39.83，36.98，42.8。

以單項預(yù)測方法1為例，根據(jù)（5）式求得其在10個預(yù)測期內(nèi)的預(yù)測準(zhǔn)確度分別為：0.085，0.046，0.266，0.001，0.124，0.020，0.006，0.003，0.001，0.005。

按照“有序增量分割法”對單一預(yù)測時刻各單項預(yù)測值進(jìn)行聚類，以預(yù)測時刻1為例，設(shè)分為3組，聚類結(jié)果為

X^(1)1={x41};X^(1)2={x31};

X^(1)3={x11，x21，x51}；采用方法2確定密度加權(quán)向量，設(shè)預(yù)測者對組間預(yù)測準(zhǔn)確性的偏好度為Tp(ξ(t))=0.7，則q=7.945，對應(yīng)的密度加權(quán)向量為ξ(1)=(0.585，0.229，0.186)T。

依據(jù)規(guī)劃模型（M1）和（M2）求得傳統(tǒng)的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型和基于密度算子的組合預(yù)測模型中單項預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)向量分別為：(0，0，0，0.11，0.89)T和(0.01，0.01，0.69，0.13，0.16)T。

對于預(yù)測效果評價指標(biāo)SSE，基于密度算子的組合預(yù)測模型和傳統(tǒng)的加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型以及各單項預(yù)測模型的預(yù)測效果分別為35.28，56.44，520.6，199.76，129.18，96.16，57.09；對于預(yù)測效果評價指標(biāo)MSE，對應(yīng)的預(yù)測效果分別為0.593，0.751，2.282，1.413，1.137，0.981，0.756；對于預(yù)測效果評價指標(biāo)MAE，對應(yīng)的預(yù)測效果分別為1.285，2.018，6.040，4.112，2.807，2.281，1.988；對于預(yù)測效果評價指標(biāo)MAPE，對應(yīng)的預(yù)測效果分別為0.050，0.078，0.225，0.170，0.098，0.074，0.078；對于預(yù)測效果評價指標(biāo)MSPE，對應(yīng)的預(yù)測效果分別為0.019，0.028，0.083，0.060，0.034，0.027，0.029。

分析以上數(shù)據(jù)可知，對于所有的預(yù)測效果指標(biāo)體系，基于密度算子的組合預(yù)測方法的預(yù)測效果都要優(yōu)于其他預(yù)測方法，從而證明了本文提出的基于密度算子的組合預(yù)測方法的有效性和準(zhǔn)確性。

6 結(jié)束語

本文基于單項預(yù)測法的預(yù)測準(zhǔn)確性提出了基于密度算子的組合預(yù)測方法。該方法充分利用了密度算子的優(yōu)良特性，又與傳統(tǒng)的密度算子有所區(qū)別：（1）傳統(tǒng)密度算子中數(shù)據(jù)聚類依據(jù)的是數(shù)據(jù)分布的疏密程度，而在組合預(yù)測模型中，密度算子數(shù)據(jù)聚類依據(jù)的是單項預(yù)測方法的預(yù)測準(zhǔn)確性分布的疏密程度；（2）傳統(tǒng)密度算子中聚類數(shù)組的序化依據(jù)的是數(shù)據(jù)組的規(guī)模信息，而在組合預(yù)測模型中，密度算子聚類數(shù)組的序化依據(jù)的是數(shù)據(jù)組預(yù)測準(zhǔn)確性信息；（3）傳統(tǒng)密度算子中密度加權(quán)向量的確定依據(jù)數(shù)據(jù)組的“規(guī)模信息”或“規(guī)模信息”與“功能信息”的結(jié)合，而在組合預(yù)測模型中，密度算子密度加權(quán)向量的確定依據(jù)數(shù)據(jù)組的預(yù)測“準(zhǔn)確性信息”。可見，基于密度算子的組合預(yù)測模型，在充分利用單項預(yù)測方法的預(yù)測準(zhǔn)確度信息的基礎(chǔ)上，結(jié)合密度加權(quán)向量，增強(qiáng)了預(yù)測準(zhǔn)確度較高的單項預(yù)測方法在組合預(yù)測模型中的作用，因而進(jìn)一步提高了組合預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。

參 考 文 獻(xiàn)：

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