中學(xué)數(shù)學(xué)的美

摘 要：本文從中學(xué)數(shù)學(xué)精深內(nèi)容的基本思想出發(fā)，以中學(xué)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)明透澈的表達(dá)形式為依據(jù)，選取中學(xué)數(shù)學(xué)中的典型題目，通過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)所具有的特殊魅力，提出了中學(xué)數(shù)學(xué)的美所具有的和諧性、有序性、多樣性、對(duì)稱性、奇異性等，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了探討和研究。

關(guān)鍵詞：和諧性；有序性；多樣性；對(duì)稱性；奇異性。

數(shù)學(xué)之所以對(duì)人們具有極大的吸引力，是在于數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)美既體現(xiàn)在它的博大精深的內(nèi)容之中，也體現(xiàn)在它的簡(jiǎn)明透澈的表達(dá)形式上。數(shù)學(xué)美的主要特征是它的和諧性、有序性、多樣性、對(duì)稱性、奇異性等。中學(xué)數(shù)學(xué)的美也是如此。

提起0.618，許多人都知道，它是被古希臘美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”，簡(jiǎn)稱“黃金律”或“黃金比”。有人曾斷言：“宇宙萬(wàn)物，凡符合黃金分割律的總是美的形體?！秉S金分割源于幾何，所以它在幾何作圖上有很多的應(yīng)用。如五角形的各邊是按黃金分割劃分的。作圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割等。這些圖形看起來(lái)都非常漂亮和諧。又如在所有的矩形中，黃金分割的矩形，即短邊與長(zhǎng)邊之比約為0.618的矩形最美觀，因?yàn)檫@樣的矩形：“以短邊為邊，在這個(gè)矩形中分出一個(gè)正方形后，余下的矩形與原來(lái)的矩形相似，仍是一個(gè)黃金的矩形”，這使人們產(chǎn)生一種“和諧”的感覺(jué)。

黃金分割也被廣泛用在建筑設(shè)計(jì)、美術(shù)、音樂(lè)、藝術(shù)等方面。如在設(shè)計(jì)工藝品或日用品的寬和長(zhǎng)時(shí)，常設(shè)計(jì)成寬與長(zhǎng)的比近似的0.618，這樣易引起美感，在拍照時(shí)，常把主要景物攝在接近于畫(huà)面的黃金分割點(diǎn)處，會(huì)顯得更加協(xié)調(diào)、悅目；舞臺(tái)上的報(bào)幕員在舞臺(tái)寬度黃金分割點(diǎn)的位置最美觀，音響效果最佳，等等。這些與黃金分割相關(guān)的內(nèi)容和實(shí)例，充分展示了中學(xué)的魅力，體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)中的“和諧美”。

有關(guān)數(shù)列的題目往往表現(xiàn)出比較強(qiáng)的順序性，如數(shù)列求和中有這樣一個(gè)題目：求和：

Sn=1/1×2 + 1/2×3 +…+ 1/n(n+1)

解：

Sn=1/1×2 + 1/2×3 +…+ 1/n(n+1)

=1-1/2 + 1/2 - 1/3 +…+ 1/n - 1/(n+1)

=1- 1/(n+1)

=n/(n+1)

從題目本身可以看出，其每一項(xiàng)的通項(xiàng)為1/n(n+1)，n取由1到n的正整數(shù)，由題目及計(jì)算過(guò)程直至到最后的計(jì)算結(jié)果為n/(n+1)，無(wú)一不顯得整齊有序，此題目明顯地突出了數(shù)學(xué)美中的有序性。觀察好、運(yùn)用好一些數(shù)學(xué)題目所具有的順序性，不僅能幫助我們開(kāi)拓解題思路，而且能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，激發(fā)我們探索數(shù)學(xué)世界奧秘的興趣。

數(shù)學(xué)故事中有一個(gè)《算珍珠的故事》寫到：古時(shí)候有個(gè)波斯國(guó)王出一個(gè)告示，宣布半個(gè)月后他將要在皇宮里出一個(gè)難題，誰(shuí)要是能準(zhǔn)確地回答出來(lái)，就重重地獎(jiǎng)賞他。到了那一天，皇宮里聚集了文武百官，還有許多觀眾，國(guó)王向皇宮里的人們掃了一眼，然后說(shuō)出他的難題：“我的3只金碗里放著數(shù)目不同的珍珠。我把第一只金碗里的一半珍珠給我的大兒子，第二只金碗里的三分之一珍珠給我的二兒子，第三只金碗里的四只分之一珍珠給我的小兒子。然后，再把第一只碗里的4顆珍珠給我的大女兒；第二只金碗里的6顆珍珠給我的二女兒；第三只金碗里的珍珠給我的小女兒。這樣分完之后第一只金碗里剩38顆；第二只金碗里剩余12顆；第三只金碗里剩余19顆。你們誰(shuí)能回答，這3只金碗里邊原來(lái)各有多少顆珍珠？”

聽(tīng)完國(guó)王所說(shuō)的題目，文武百官你看看我，我看看你誰(shuí)也沒(méi)有作聲。

這時(shí)從人群中走出來(lái)三個(gè)外國(guó)人要求解答難題，第一個(gè)外國(guó)人說(shuō)道：“您的第一只金碗里最后剩下38顆珍珠，加上您給大女兒的4顆，一共是42顆，而這里邊42顆只是原來(lái)珍珠的一半，因?yàn)槟蚜硪话虢o了您大兒子。這樣第一只金碗里原來(lái)有84顆珍珠。”接著他用同樣的方法又分別算出了第二只金碗里原有27顆珍珠，第三只金碗里原有28顆珍珠。國(guó)王聽(tīng)了滿意。這位外國(guó)人說(shuō)：“算術(shù)幫助我回答了您的問(wèn)題，能為陛下效勞感到非常高興！”

這時(shí)，第二個(gè)外國(guó)人說(shuō)：“我可以用方程算出您出的題目，要簡(jiǎn)單的多?！庇脁代表您第一只碗里的珍珠的數(shù)目。您給大兒子一半，就是x/2，又給您大女兒4顆，最后剩下38顆。列出方程：x - x/2 – 4 = 38，解得x=84。說(shuō)明第一只金碗里有84顆珍珠。同理還可以列出方程分別算出第二只、第三只金碗里的珍珠數(shù)分別為27顆和28顆。

國(guó)王高興地說(shuō)：“你用方程計(jì)算，很簡(jiǎn)單，算法很高明?！?/p>

輪到第三個(gè)外國(guó)人，他從口袋里掏出一張紙寫了一個(gè)算式，遞給了國(guó)王。國(guó)王看到了這樣一個(gè)算式：x-ax-b=c；x=（b+c）/（1-a），但國(guó)王搖了搖頭，表示看不懂。這個(gè)外國(guó)人說(shuō)：“3個(gè)答案都包括在我這個(gè)算式中。x代表碗里的珍珠數(shù)，a代表您給兒子珍珠數(shù)占碗里珍珠數(shù)的幾分之幾，b代表您給女兒的珍珠數(shù)，c代表剩下的珍珠數(shù)。

接著這個(gè)外國(guó)人用具體的數(shù)往算式里代，用同一個(gè)算式算出了3只金碗里的珍珠數(shù)。國(guó)王看了非常高興，按照解題方法的不同重獎(jiǎng)了第三個(gè)外國(guó)人。這則故事從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)中一題多解的多樣性，很是耐人尋味。這三種方法，一個(gè)比一個(gè)方法簡(jiǎn)捷明確，充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)的靈活性，多變性，向我們展示了數(shù)學(xué)多樣性所具有的美。

在解某些數(shù)學(xué)題時(shí)，充分注意利用對(duì)稱性，常能幫助我們發(fā)現(xiàn)解題的線索或簡(jiǎn)化解題的過(guò)程。

對(duì)稱就是整體部分間的相對(duì)，相稱與相適應(yīng)。對(duì)稱是形式美的要求，它給人們一種圓滿的勻稱的美感。

有這樣一個(gè)玩游戲的題目：兩人輪流往一個(gè)圓桌上放同樣大小的硬幣，規(guī)定是每人每次只能放一枚，讓硬幣平躺在桌面上，任何兩枚不能有重疊的部分，誰(shuí)放完最后一枚，使得對(duì)方再也找不到空地放下一枚硬幣的時(shí)候，誰(shuí)就贏得比賽。如果讓你走第一步，你有沒(méi)有必勝的對(duì)策？

解：必勝的對(duì)策是有的。

（1）第一步把硬幣的中心對(duì)著圓面的中心放上去接著你的對(duì)手放下一枚硬幣A。

（2）第二步，找到對(duì)方的硬幣A關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)Aˊ，把第二枚放在Aˊ上。

以后只要你的對(duì)手有地方放上一枚，你就可以在其關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)上也放上一枚。這樣放來(lái)放去桌面上的面積有限，自然你的對(duì)手輸?shù)?。你之所以立于不敗之地，在于充分利用了圓的對(duì)稱性，認(rèn)識(shí)到圓心是圓的“對(duì)稱中心?！?/p>

其實(shí)，在任何一個(gè)中心對(duì)稱的桌面上玩這種游戲，上述策略都是有效的。例如方桌，它的兩條對(duì)角線交點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作者，我們不僅要向?qū)W生傳播知識(shí)，講述數(shù)學(xué)方法，還要向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)美，而對(duì)數(shù)學(xué)美的追求是學(xué)生的一個(gè)內(nèi)在動(dòng)力。

參考文獻(xiàn)：

（1）屈惠鵬、王康敏：數(shù)學(xué)求和的常用方法，趙連城：相約在0.618，中學(xué)數(shù)學(xué)，陜西師范大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)參考雜志社。

（2）賀孝友：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)講座，中南工業(yè)大學(xué)出版發(fā)行。

（3）李敏佩、李希寬 :中學(xué)數(shù)學(xué)科技活動(dòng)，中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社。