論數(shù)學(xué)技能的內(nèi)涵及其培養(yǎng)途徑

摘要：數(shù)學(xué)技能是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。本研究關(guān)注國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)技能和數(shù)學(xué)技能的不同理解和要求，以及我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能發(fā)展?fàn)顩r?？偨Y(jié)了數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)分析，最后對(duì)數(shù)學(xué)技能的教學(xué)進(jìn)行反思。

關(guān)鍵字：技能數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練

[中圖分類(lèi)號(hào)]：014 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]：A [文章編號(hào)]：1002-2139(2010)-12-0242-02

數(shù)學(xué)技能的形成與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和對(duì)數(shù)學(xué)能力的形成與發(fā)展都起著重要的作用。在數(shù)學(xué)技能形成的過(guò)程中，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與理解，在技能形成之后又有利于后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)，成為以后學(xué)習(xí)不可或缺的條件。

一、技能與數(shù)學(xué)技能

(一)技能

要考慮數(shù)學(xué)技能，首先必須明確什么是技能。

技能，源于心理學(xué)概念。國(guó)內(nèi)外的研究者分別從各自的研究角度出發(fā)對(duì)“技能”給予了界定。大致可以概括為以下幾種觀點(diǎn)：

“智慧技能說(shuō)”美國(guó)心理學(xué)家加涅在《學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論》一書(shū)中對(duì)智慧技能做了專(zhuān)門(mén)的論述，他認(rèn)為智慧技能是“個(gè)體運(yùn)用符號(hào)與環(huán)境相互作川的性能。

”任何一種技能的學(xué)習(xí)都有賴(lài)于先前一種或幾種簡(jiǎn)單技能的學(xué)習(xí)。

“經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化說(shuō)”北師大馮忠良教授在《結(jié)構(gòu)一定向教學(xué)的理論與實(shí)踐——改革教學(xué)體制的探索》中對(duì)“技能”進(jìn)行了深入的研究。他認(rèn)為，“心智技能的內(nèi)涵，也就是智力技能，是一種調(diào)節(jié)、控制心智活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，是通過(guò)學(xué)習(xí)而形成的合乎法則的心智活動(dòng)方式。”

“程序知識(shí)說(shuō)”美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家安德森在其著作《認(rèn)知心理學(xué)》中，從信息加工心理學(xué)的角度，將知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)兩大類(lèi)(常稱(chēng)為廣義知識(shí)觀)。陳述性知識(shí)是回答“是什么”的知識(shí)，而程序性知識(shí)是回答“怎么樣”的知識(shí)。廣義知識(shí)觀下，程序性知識(shí)在本質(zhì)上表現(xiàn)為一種技能，它又分為兩個(gè)亞類(lèi)：一類(lèi)是智慧技能，即通過(guò)練習(xí)運(yùn)用可以達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化，且很少或不需要受意識(shí)控制的知識(shí)：另一類(lèi)是認(rèn)知策略，即受意識(shí)控制、運(yùn)用難以達(dá)到自動(dòng)化的知識(shí)。

在對(duì)技能的認(rèn)識(shí)上，我國(guó)的絕大部分學(xué)者都是從具體知識(shí)、具體概念出發(fā)來(lái)考慮。其中最具代表性的是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，將“知識(shí)”與“技能”作為一個(gè)整體成為課程目標(biāo)的一個(gè)方面?？梢?jiàn)，以“知識(shí)為本”定義和考量技能是我國(guó)的…個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)。而綜觀美、英等西方國(guó)家的課程標(biāo)準(zhǔn)或框架不難發(fā)現(xiàn)，他們的技能偏重于具體情境，以發(fā)展學(xué)生的“能力為本”。

(二)數(shù)學(xué)技能

目前國(guó)內(nèi)外幾乎沒(méi)有資料確切的給出數(shù)學(xué)技能的定義，較多的只是指出數(shù)學(xué)技能包括什么內(nèi)容，或者說(shuō)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該達(dá)到什么樣的水平。大家普遍認(rèn)同的數(shù)學(xué)技能定義是：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)訓(xùn)練得以完成數(shù)學(xué)任務(wù)的一種活動(dòng)方式或者智力活動(dòng)方式。

縱觀數(shù)學(xué)技能分類(lèi)的討論，可以分為內(nèi)容、性質(zhì)、層次三個(gè)角度

第一，內(nèi)容。田中等人認(rèn)為，從內(nèi)容的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)技能可以分為運(yùn)算技能，圖形處理技能和推理技能(田中等，2003，P39)。初級(jí)的運(yùn)算技能既包括對(duì)具體數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行變形、運(yùn)算、和求解，也包括對(duì)算法的選擇及其合理性的判斷，以及心算、估算的技能。圖形處理技能包括識(shí)圖技能和作圖技能，識(shí)圖技能是借助直觀圖形輔助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所具備的識(shí)別圖形及各要素間關(guān)系的技能。作圖技能即根據(jù)需要正確的選擇作圖工具合理的使用作圖方法的技能。推理技能是根據(jù)已知作出新的判斷的技能，論證是推理的具體表現(xiàn)形式。

第二，性質(zhì)。陳光耀等人認(rèn)為，按照性質(zhì)可以將數(shù)學(xué)技能分為操作技能和心智技能兩大類(lèi)(陳光耀，2006)。數(shù)學(xué)操作技能是指實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)任務(wù)活動(dòng)的方式主要是通過(guò)外部操作，它是一種由各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動(dòng)方式。數(shù)學(xué)心智技能順利的完成數(shù)學(xué)任務(wù)的心智活動(dòng)方式，它是一種內(nèi)部認(rèn)知活動(dòng)，以思維為其主要活動(dòng)成分。心智技能與操作技能有共性，都可以通過(guò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練形成，都有一定的順序性，也有區(qū)別，操作技能是外顯的形式，有客觀性，而心智技能是內(nèi)隱的形式，有主觀性。

第三，層次。鑒于按照內(nèi)容和性質(zhì)分類(lèi)的種種局限，有學(xué)者提出按照層次分類(lèi)。根據(jù)能否達(dá)到自動(dòng)化和是否受意識(shí)控制，可以將數(shù)學(xué)技能分為程序性技能和策略性技能。(尹邦彥、李銘振，1995)。程序性技能是指通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化，較少受意識(shí)控制的技能，策略技能受到意識(shí)的控制，難以達(dá)到自動(dòng)化。

還有學(xué)者根據(jù)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)把數(shù)學(xué)技能分為簡(jiǎn)單模仿技能、掌握實(shí)質(zhì)性的技能、創(chuàng)造性的運(yùn)用技能。

二、數(shù)學(xué)技能的形成與發(fā)展

數(shù)學(xué)技能的形成與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度和數(shù)學(xué)能力的形成與發(fā)展都起著重要的作用。國(guó)內(nèi)外不少研究者對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)技能的發(fā)展?fàn)顩r給予了關(guān)注。

國(guó)外有關(guān)技能形成和發(fā)展的研究更多地集中于某一項(xiàng)具體的技能表現(xiàn)，比如估算。不少研究者都認(rèn)為，估算技能非常難，學(xué)生在估算過(guò)程中會(huì)感到特別困難。這些對(duì)數(shù)學(xué)技能的研究或是討論其功能、或是從其學(xué)習(xí)條件或過(guò)程中的異同的角度展開(kāi)，較少涉及總體發(fā)展?fàn)顩r的分析。

相比，我國(guó)學(xué)者的對(duì)數(shù)學(xué)技能的形成和發(fā)展研究較為全面。喬連全的研究中認(rèn)為數(shù)學(xué)技能的形成具有四個(gè)特點(diǎn)：要以一定的學(xué)習(xí)技能為基礎(chǔ)；關(guān)鍵在基礎(chǔ)階段：是一個(gè)循序漸進(jìn)的累積過(guò)程：需要學(xué)習(xí)者良好的思維方法和思維品質(zhì)(喬連全，2000，P13)。數(shù)學(xué)技能可以分為操作技能和智力技能，但是兩者是不可分的，關(guān)鍵在于某一問(wèn)題的解決當(dāng)中，二者所處的地位不同，誰(shuí)處于主導(dǎo)地位，則可以說(shuō)某項(xiàng)技能是以誰(shuí)為主的數(shù)學(xué)技能而不能簡(jiǎn)單劃歸為數(shù)學(xué)操作技能或數(shù)學(xué)智力技能。

按照我國(guó)心理學(xué)家馮忠良教授的研究，一般心智技能的形成分為3個(gè)階段，即活動(dòng)模式定向階段、活動(dòng)模式操作階段、活動(dòng)模式內(nèi)化階段。數(shù)學(xué)技能，除了具有一般心智技能的操作對(duì)象的抽象性，動(dòng)作執(zhí)行的內(nèi)隱性，以及技能的簡(jiǎn)縮、跳躍性外，以下一些因素影響著數(shù)學(xué)技能的掌握與類(lèi)化。

(一)知識(shí)的理解水平

在活動(dòng)模式定向階段，學(xué)生必須掌握與技能有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理(陳述性知識(shí))，了解操作的依據(jù)，明確操作活動(dòng)的方向：還要掌握法則、方法、步驟(程序性知識(shí))，了解心智動(dòng)作的構(gòu)成要素及動(dòng)作次序，并在頭腦中形成有關(guān)活動(dòng)方式的定向表象，此時(shí)，學(xué)生如能在2類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起聯(lián)系，就可以在理解的基礎(chǔ)上掌握此技能，相應(yīng)的程序性知識(shí)便成為擴(kuò)大了的知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，為后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響。比如，把合并同類(lèi)項(xiàng)法則與乘法分配律建立聯(lián)系，將有利于合并同類(lèi)二次根式的理解與掌握，這種理解當(dāng)然是數(shù)學(xué)教學(xué)所希望的，但在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)與技能相關(guān)知識(shí)的理解方式與理解水平各不相同。

在技能形成的最初階段，按照教材的要求來(lái)理解、掌握法則進(jìn)行技能操作的比例并不大，正如James Hiebert所說(shuō)，多數(shù)學(xué)生是按照自己的已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解的。學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容不同，對(duì)理解的依附程度也不同。與完成代數(shù)技能有關(guān)的法則、性質(zhì)、公式以知識(shí)點(diǎn)的面貌出現(xiàn)在教科書(shū)中，學(xué)生按照識(shí)別提取～反應(yīng)的認(rèn)知方式完成操作。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后，代數(shù)技能可以達(dá)到“自動(dòng)化”的程度(不管理解與否)。幾何推理卻有所不同。有助于形成推理技能的程序性知識(shí)(如邏輯證明的方法、證題術(shù)等)常常融于幾何證題的過(guò)程之中，教科書(shū)并沒(méi)有明顯給出運(yùn)用這些方法的準(zhǔn)則，學(xué)生必須通過(guò)自己在做數(shù)學(xué)的過(guò)程中去感受、領(lǐng)悟。由于幾何圖形的多變性和解題策略的靈活性，學(xué)生不可能僅憑記憶來(lái)掌握推理技能，必須建立在對(duì)邏輯證明方法的掌握上，建立在對(duì)概念、定理的理解上才能言必有據(jù)地進(jìn)行推理。在實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，一般情況下，女生的代數(shù)成績(jī)好于男生，而男生的幾何成績(jī)卻好于女生，這可能與不同性別的學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解的依附程度差異性有關(guān)。

(二)練習(xí)的概括水平

要掌握技能，離不開(kāi)練習(xí)。在活動(dòng)模式操作階段，學(xué)生先通過(guò)模仿練習(xí)，在感性水平上獲得完備的動(dòng)作映像和動(dòng)覺(jué)體驗(yàn)；然后通過(guò)變式練習(xí)，擴(kuò)大活動(dòng)對(duì)象的范圍，使相應(yīng)的活動(dòng)方式具有概括性。在活動(dòng)模式內(nèi)化階段，學(xué)生的技能操作離開(kāi)了老師的示范和語(yǔ)言的直接指導(dǎo)，達(dá)到了熟練的程度。具體表現(xiàn)為：(1)心理特征是動(dòng)作的執(zhí)行從出聲的外部語(yǔ)言，轉(zhuǎn)向內(nèi)潛的內(nèi)部語(yǔ)言，從清晰地意識(shí)到完成活動(dòng)的每一步驟，發(fā)展為不需要特殊的意識(shí)控制便能順利進(jìn)行操作：(2)外顯特征是操作的心智活動(dòng)過(guò)程出現(xiàn)簡(jiǎn)縮、跳躍，個(gè)體對(duì)完成活動(dòng)的具體方式、理論依據(jù)已基本淡化；(3)內(nèi)隱特征是活動(dòng)方式在理性水平上具有了概括性，為技能的類(lèi)化、能力的形成打下基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要使技能熟練掌握，并向能力發(fā)展，關(guān)鍵在于活動(dòng)模式的操作階段的質(zhì)量，以及能否及時(shí)地向內(nèi)化階段轉(zhuǎn)化。

(三)策略的遷移水平

就智力技能而言，自動(dòng)化通常被視為技能熟練的一大特征。此時(shí)，所進(jìn)行的活動(dòng)不需要或很少需要意識(shí)控制，可以極大地提高學(xué)習(xí)效率。然而，對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)技能而言，自動(dòng)化并非是它的唯一特征，還需要在理性水平上具有概括性。而這種理性概括水平常由認(rèn)知策略的遷移水平體現(xiàn)出來(lái)。

三、我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)技能發(fā)展?fàn)顩r

在實(shí)際技能學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)過(guò)操作階段的大量訓(xùn)練，形成關(guān)于某技能的動(dòng)力定型，一般都能掌握完成某具體活動(dòng)的具體策略。我國(guó)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)技能的掌握在熟練、“自動(dòng)化”方面基本達(dá)到要求，但由于缺乏自身的感悟與思考，故在理解程度、概括水平上有所欠缺。概括馮忠良教授的能力類(lèi)化理論，知識(shí)與技能的類(lèi)化是形成與發(fā)展能力的基礎(chǔ)，而理解程度與概括水平則是能否類(lèi)化的關(guān)鍵，這也許是產(chǎn)生高分低能現(xiàn)象的原因之一吧。

四、關(guān)于數(shù)學(xué)基本技能教學(xué)的反思

(一)泛化基本技能帶來(lái)學(xué)生機(jī)械性學(xué)習(xí)的危害

在一線(xiàn)教學(xué)實(shí)踐中，不乏泛化基本技能的教學(xué)例子。

當(dāng)下，在數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)未進(jìn)行大的變動(dòng)的情況下，如果學(xué)校和教師過(guò)分追求限時(shí)考試或練習(xí)，將其作為唯一的考核目標(biāo)和評(píng)價(jià)手段，這就很可能導(dǎo)致一些教師將基本技能泛化：在限定時(shí)間內(nèi)，忽略對(duì)問(wèn)題初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)的差異分析(包括對(duì)問(wèn)題的分析、解決策略的選擇和問(wèn)題解決后的反思等)，將一些并非基本技能的訓(xùn)練題作為解決問(wèn)題的套路和固定程式，試圖使學(xué)生模仿和應(yīng)用，這無(wú)疑會(huì)增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)和學(xué)習(xí)成本，而且容易導(dǎo)致機(jī)械性學(xué)習(xí)。因此，在教學(xué)中加大問(wèn)題解決過(guò)程中的策略性分析(包括對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的分析和認(rèn)識(shí)、問(wèn)題解塊策略選擇的標(biāo)準(zhǔn)和問(wèn)題解決后的反思與總結(jié)等)是避免將基本技能泛化的一個(gè)途徑。

(二)目標(biāo)的價(jià)值取向決定了技能訓(xùn)練的量和度

毫無(wú)疑問(wèn)，基本技能的獲得需要訓(xùn)練。但關(guān)鍵的問(wèn)題是訓(xùn)練的量和度怎樣掌握。

決定這個(gè)問(wèn)題答案的是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的價(jià)值取向問(wèn)題。如果單一地將訓(xùn)練的目的定位于學(xué)習(xí)結(jié)果的測(cè)評(píng)，學(xué)校、教師、學(xué)生、家長(zhǎng)片面追求短期效益(如高考、中考水平)，那么大運(yùn)動(dòng)量的強(qiáng)化訓(xùn)練就會(huì)成為追求這種短期效益的急功近利的不二法門(mén)?，F(xiàn)在不少的研究成果都表明大運(yùn)動(dòng)量的強(qiáng)化訓(xùn)練容易僵化學(xué)生的思維，不利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。如果著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中各方面能力(如質(zhì)疑精神、創(chuàng)新能力、解決問(wèn)題的思考角度和思維方式等)的發(fā)展，那么這種做法值得商榷。好在教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的制訂和實(shí)施，在一定程度上為數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練量與度的把握提供了一個(gè)比較理想的框架。然而，要達(dá)到真正指導(dǎo)于課堂教學(xué)，還需要一線(xiàn)教師觀念的轉(zhuǎn)變和教學(xué)措施的具體落實(shí)。

(三)科學(xué)地運(yùn)用變式提高技能訓(xùn)練的質(zhì)

技能訓(xùn)練的質(zhì)應(yīng)可以從橫縱兩個(gè)方向衡量，一，橫向的遷移水平，主要指訓(xùn)練后的熟練程度；二，縱向的類(lèi)化水平。變式在提高訓(xùn)練的質(zhì)的過(guò)程中起著關(guān)鍵作用。所謂變式，就是改變問(wèn)題的非本質(zhì)特征，保留其本質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征不變。變式訓(xùn)練的目的在于使學(xué)生在訓(xùn)練過(guò)程中把握本質(zhì)性的內(nèi)容，這有兩個(gè)好處：一，通過(guò)變化了非本質(zhì)特征的題組訓(xùn)練，使學(xué)生熟悉技能的操作程序：二，通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生在形式變化中把握不變的東西，將程序性知識(shí)內(nèi)化，從而促進(jìn)技能向縱深方向遷移?？茖W(xué)的變式訓(xùn)練中，應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生感悟、總結(jié)和概括策略、方法的機(jī)會(huì)，并適時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透和指導(dǎo)，而不是僅僅停留在純技能訓(xùn)練的形式表層。