證明一類重要不等式的幾種方法

謝 剛

（安徽廣播電視大學(xué)滁州分校，安徽 滁州 239000）

證明一類重要不等式的幾種方法

謝 剛

（安徽廣播電視大學(xué)滁州分校，安徽 滁州 239000）

我們經(jīng)常使用平均值不等式證明不等問題，但對于這個定理本身的證明卻知之甚少，本文給出證明這個定理的三種常見方法，以供學(xué)習(xí)者參考。

不等式；平均；歸納；證明

一、引言

在數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式是一個常見的重要基本不等式，它表現(xiàn)了兩類平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間恒定的不等關(guān)系。兩類均值之間的不等關(guān)系的證明，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見的難點(diǎn)問題，在此對兩類均值之間的不等關(guān)系給出四種證明方法，為解決同類不等式問題做出參考，此處先給出兩類均值之間不等關(guān)系的定理。

即任n個正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這n個數(shù)的幾何平均值。

二、定理的幾種證明方法

下面使用三種不同的方法對定理1的結(jié)論做出證明，在證明過程中所用到的相關(guān)定義、定理將直接給出，不再對所給出相關(guān)定理做證明，直接借助其證明定理1的結(jié)論。

（一）基于琴生不等式的證明

定義1：如果函數(shù)f（x）滿足以下條件：對任意 x1和 x2有 f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2)其中q1≥0,q2≥0,q1+q2=1

則稱f（x）為凸函數(shù)（也有教材稱上凸函數(shù)）。

定理2：（琴生不等式）對于任意的（上）凸函數(shù) f（x）及其定義域上 n 個數(shù) x1，x2，…xn，都有f(q1x1+q2x2+…+qnxn)≥q1f(x1)+q2f(x2)+…+qnf(xn)

使用基于琴生不等式證明定理1結(jié)論的過程如下：

證明：∵xi∈R+(i=1,2,…，n)

（二）基于反歸納法的證明

定理3：（反歸納法）設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題。如果

1、命題對于無窮多個自然數(shù)成立；

2、假設(shè)命題對n=k時成立，得出命題對n=k-1時也成立；那么這個命題對于一切自然數(shù)n都成立。

使用基于反歸納法證明定理1結(jié)論的過程如下：

現(xiàn)對上式成立情況做出證明，此不等式前半部分易得，后半部分證明如下：

同理推出命題對n=23=8,n=24,…，n=2s都成立（s為任意自然數(shù)），所以命題對無窮多個自然數(shù)成立。

就是說命題對n=k-1時也成立，有反歸納法原理，知命題對一切自然數(shù)n都成立。即定理1.1結(jié)論成立。

三、馬克羅林的替代法證明

這個有趣的證明方法是由蘇格蘭科學(xué)家馬克羅林給出的，我們故且稱其為替代法，其證明定理1結(jié)論的過程如下：

四、結(jié)語

上述的證明定理1結(jié)論使用的三種方法，基本上給出了證明平均值不等式使用的方法，為今后此類問題的研究提供理解的便利，減少了思維過程，為解決其他不等式的證明提供了幫助。

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G723.2 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

A

1671-5993（2010）01-0079-02

2010-02-05

謝剛（1980-），男，安徽定遠(yuǎn)人，安徽廣播電視大學(xué)滁州分校助教。