Ricci 流在任意度量時刻的Immortal 解

趙成兵

(1.安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)系, 安徽 合肥230022;2.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院, 安徽合肥230009)

1 引言

設(shè)M是完備非緊的復(fù)n維的K?hler 流形,它的全純雙截曲率非負且有界,Ricci 流

是通過Ricci 張量Rαβ—來發(fā)展M上的K?hler 度量gαβ—,它最先由Hamilton[2]介紹而來, 后來他研究Ricci 流的奇異模, 他把奇異模分為三類[2],前面的兩類分別叫Eternal 解和Ancient 解, 最后的叫Immortal 解, 就是說Ricci 流有光滑解在上,且,這里R(x,t)表示在時刻t的數(shù)量曲率,C是正的常數(shù).Chen 和Zhu[3]證明Immortal 解存在, 如果M是復(fù)n維完備非緊的K?hler 流形有有界的正的曲率算子, 它的測地球有歐式體積增長, 他們利用這個結(jié)果去研究由Yau提出的單值化問題[4-6],在n=2 時他們得到這個猜測是對的, 即對任意完備非緊的K?hler 曲面有正的有界的全純雙截曲率, 如果它的測地球有歐式體積增長, 那么它是雙全純于C2,這是到目前為止最好的結(jié)果.Shi 也證明Immortal 解的存在假設(shè)開始曲率有二次退化[4],最近Ni 和Tam[5]通過Poincaré-Lelong 方程去研究Ricci 流, 他們簡化Shi 的討論并且得到一些好的結(jié)果.

定理1 設(shè)M是n維完備非緊的K?hler 流形,有有界非負的全純雙截曲率, 如果存在常數(shù)C,使得CR(x,t)≥R(x,0), 那么Ricci 流(見式(1))有Immortal 解當(dāng)且僅當(dāng)

對某個常數(shù)C＞0 ,對所有的x∈M,r≥0 ,這里

式中:Volt(B t(x,s))是測地球B t(x,s)中心在x∈M半徑s的體積,R(x,t)是M的數(shù)量曲率.

2 Immortal 解存在的必要條件

引理1[2]設(shè)M是n維完備非緊的K?hler 流形,有有界非負的全純雙截曲率, 如果存在常數(shù)C,使得對?x,y∈M,

這里d(x,y)表示x和y在gαβ—(x)度量下的測地距離, ▽是表示gαβ—(x)的梯度,G(x,y)是M在開始度量gαβ—(x)下的正的Green 函數(shù).

引理2[5]設(shè)M是n維完備非緊的K?hler 流形,有有界非負的全純雙截曲率, 假設(shè)式(1)有長時間的解, 使得對任意的T＞0 ,滿足下面的情況

(i)對0 ≤t＜T,(M,gαβ—(x,t))是K?hler 度量有非負有界的雙截曲率

(ii)這里存在常數(shù)C＞0,使得

且0 ＜R(x,t)≤C,對所有的(x,t)∈M×[0 ,T),假設(shè)∫r

0sk(x,s)ds≤C1log(2 +r),對某個常數(shù)C1＞0 ,對所有的x和r,那么

證明 從文獻[2] 知

那么

讓Fmint=infx∈MF(x,t)

因為R(x,t)是有界的,所以存在C6,使得C6R(x,t)＞R(x,0), 所以

引理4[1]設(shè)M是n維完備非緊的K?hler 流形,有有界非負的全純雙截曲率, 定理1 的條件成立, 那么存在常數(shù)C＞0 使得對?x∈M,r＞0 ,有

引理5[5]設(shè)M是n維完備非緊的K?hler 流形, 有有界非負的全純雙截曲率, 那么Poincaré-Lelong 方程有一個解且對常數(shù)C＞0 和所有的r＞0 ,當(dāng)且僅當(dāng)對常數(shù)C′＞0 .

下面證明定理1 的必要條件

證明 從引理5 知道只要證明Poincaré-Lelong方程有一個解且, 那么得到定理1 的必要條件

為解Poincaré-Lelong 方程,首先構(gòu)造一組近似解u r如下.

對一個固定的x0∈M和?r＞0 ,定義u r(x)在B(x0,r)上由

由式(4), 有對y∈B(x0,r)4d(x0,x),

結(jié)合引理4,有

由式(5),(6)得到

因此由Schauder 關(guān)于橢圓方程的定理 存在系列r j→+∞使得u rj(x)一致收斂到M上緊子集上的光滑函數(shù)u滿足

現(xiàn)在證明Poincaré-Lelong 方程有解.

由Bochner 恒等式和Δu=R

乘以截斷函數(shù)并分布積分

當(dāng)r→∞, 知道在M上, 此外由引理3 ,那么證明定理1 的必要條件.

對于Immortal 解的充分條件可以參考文獻[1] .

致謝:衷心感謝同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系陳志華教授對本文的指導(dǎo)和幫助.

[1] RUAN Qihua, CHEN Zhihua.Immortal solution of the Ricci flow[J] .Science in China, Series A Math, 2005(S1):217.

[2] Hamilton R S.Formation of singularities in the Ricci flow[C] ∥Surveys in Differential Geometry.[S.l.] :International Press ,1995:7-136.

[3] CHEN Binglong, ZHU Xiping.A uniformization theorem of complete noncompact K?hler surface with positive bisection curvature[J] .Journal Diff Geom, 2004, 67(3):519.

[4] SHI Wangxiong.Ricci flow and the uniformization on complete noncompact K?hler manifolds[J] .Journal Diff Geom, 1997, 45(1):94.

[5] NI Lei, Tam Luenfai.K? hler Ricci flow and the Poincaré-Lelong equation[J] .Comm Anal Geom, 2004, 12(1):111.

[6] ZHAO Chengbing.Uniformization theorem on complete K? hler manifolds[J] .Journal of Tongji University:Natural Science,2007, 35(8):1108.