王東風(fēng),張有玥,韓 璞,徐大平
(華北電力大學(xué)自動(dòng)化系, 河北 保定071003)
風(fēng)力發(fā)電是當(dāng)今世界增長(zhǎng)最快的可再生能源,許多國(guó)家把發(fā)展風(fēng)電作為改善能源結(jié)構(gòu)、減少環(huán)境污染和保護(hù)生態(tài)環(huán)境的一種措施納入國(guó)家發(fā)展規(guī)劃[1] .目前, 國(guó)內(nèi)外對(duì)風(fēng)力發(fā)電相關(guān)問(wèn)題的研究越來(lái)越深入和廣泛, 但關(guān)于風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速預(yù)測(cè)的研究還不能達(dá)到令人滿意的程度[2].主要原因是風(fēng)速受溫度、氣壓、地形、海拔等多種因素影響, 具有很強(qiáng)的隨機(jī)性,要得到較精確的預(yù)測(cè)結(jié)果,難度很大.事實(shí)上,風(fēng)速不完全是一種隨機(jī)信號(hào), 在很大程度上包含有確定性的一面, 至少在短時(shí)間內(nèi)具有可預(yù)測(cè)性.因此,如果能證明風(fēng)速是某個(gè)確定性混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的, 就有助于掌握它的演變規(guī)律, 引入混沌方法對(duì)風(fēng)速進(jìn)行預(yù)測(cè).這對(duì)提高預(yù)測(cè)精度將起著非常重要的作用.
本文的主要目的就是檢驗(yàn)風(fēng)速是否具有混沌特征.為避免理論假設(shè)對(duì)分析結(jié)果的影響,采用我國(guó)某大型風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析.據(jù)混沌學(xué)理論, 可從以下幾個(gè)方面來(lái)判斷一個(gè)過(guò)程是否根源于某個(gè)混沌系統(tǒng)[3] :①過(guò)程是有界的;②過(guò)程是非線性的;③隨著嵌入維數(shù)增加, 關(guān)聯(lián)維數(shù)有限;④對(duì)初始條件的敏感性,即至少有1 個(gè)Lyapunov 指數(shù)為正;⑤所有Lyapunov 指數(shù)之和為負(fù).如果其中任何一條不成立,則可肯定該信號(hào)不是由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的.對(duì)風(fēng)速時(shí)間序列來(lái)說(shuō),如果條件③, ④成立, 則①, ②, ⑤就易驗(yàn)證.因此, 在介紹關(guān)聯(lián)維數(shù)和Lyapunov 指數(shù)的有關(guān)概念和計(jì)算方法后, 主要對(duì)條件③, ④驗(yàn)證.結(jié)果表明,風(fēng)速時(shí)間序列確實(shí)具有混沌系統(tǒng)的這些典型特征.
據(jù)Takens 嵌入定理[4],對(duì)一個(gè)時(shí)間序列, 只要嵌入維數(shù)足夠大,即延遲坐標(biāo)的維數(shù)M≥2D+1(D是動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)),在該嵌入維空間里可將有規(guī)律的軌道(吸引子)恢復(fù)出來(lái),即重構(gòu)空間中的軌道與原動(dòng)力系統(tǒng)保持微分同胚, 與原吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同.對(duì)混沌時(shí)間序列x1 ,x2,…,xn-1 ,xn,若嵌入維數(shù)為m,延遲時(shí)間為τ, 則相空間重構(gòu)為
其中,i=1 ,2,…,N,N=n-(m-1)τ.式(1)中任一相點(diǎn)都包含有m個(gè)分量(或狀態(tài)點(diǎn)),對(duì)N個(gè)相點(diǎn)在m維的相空間中構(gòu)成一個(gè)相型, 相點(diǎn)間的連線是描述系統(tǒng)在m維相空間中的演化軌跡, 重構(gòu)后的樣本數(shù)為N.在重構(gòu)相空間的過(guò)程中, 時(shí)間遲延和嵌入維數(shù)的選取具有十分重要的意義, 二者的恰當(dāng)選取直接影響到相空間重構(gòu)的質(zhì)量,進(jìn)而影響到預(yù)測(cè)精度.嵌入維數(shù)太低, 會(huì)出現(xiàn)吸引子的自交性;太高, 則使點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離太遠(yuǎn).時(shí)間延遲太小,重構(gòu)吸引子相鄰點(diǎn)的相關(guān)性太強(qiáng), 吸引子的分析很容易被噪聲干擾;時(shí)間延遲太大, 本來(lái)較近的向量也會(huì)拉遠(yuǎn), 而導(dǎo)致不確定的系統(tǒng)狀態(tài)[5].
近些年的研究表明, 影響相空間重構(gòu)質(zhì)量的主要因素,不只在于單獨(dú)選取延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m,更重要的是將τ和m聯(lián)合起來(lái)的嵌入窗寬τw=(m-1)τ的確定.C-C 法[6]通過(guò)序列的關(guān)聯(lián)積分來(lái)構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量, 統(tǒng)計(jì)量代表了非線性時(shí)間序列的相關(guān)性.通過(guò)統(tǒng)計(jì)量和延遲時(shí)間的關(guān)系圖同時(shí)計(jì)算出τ和τw,從而確定出嵌入維數(shù).定義統(tǒng)計(jì)量
式中:C是嵌入時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分[6].
把時(shí)間序列{x(ti),i=1,2,…,N}分成t個(gè)不相交的時(shí)間序列,t=1 時(shí)為單個(gè)時(shí)間序列本身,t=2 時(shí)為{x(t1),x(t3), …,x(tN-1)}和{x(t2),x(t4), …,x(tN)},長(zhǎng)度為N/2 .對(duì)t個(gè)不相交子序列,有
若序列獨(dú)立同分布, 對(duì)固定的m和t,當(dāng)N→∞,對(duì)所有的r,均有S(m,r,t)恒等于零.但實(shí)際序列是有限的,故一般S(m,r,t)不等于零.定義
為關(guān)于r的最大偏差.一般地,N,m,r的選擇有一定范圍.當(dāng)2 ≤m≤5,σ/2 ≤r≤2σ(σ指時(shí)間序列的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差),N≥500 時(shí),漸進(jìn)分布可以通過(guò)有限序列很好地近似.具體計(jì)算時(shí), 可以取m=2 ,3 ,4 ,5 ,r i=iσ/2 ,i=2 ,3 ,4 ,5 .計(jì)算下列3 個(gè)統(tǒng)計(jì)量:
最佳遲延時(shí)間對(duì)應(yīng)(t)第1 個(gè)零點(diǎn),或Δ(t)的第一極小值,Scor(t)最小值對(duì)應(yīng)的時(shí)間為最佳嵌入窗寬τw .C-C 方法計(jì)算量小, 對(duì)小數(shù)據(jù)組可靠, 實(shí)際應(yīng)用表明該方法還具有較好的抗噪聲能力.
G-P 算法[7]是最常用的確定關(guān)聯(lián)維數(shù)的方法.步驟如下:首先,在獲得τ后,利用時(shí)間序列{x(ti),i=1 ,2,…,N},先給定一個(gè)較小的嵌入維數(shù)m0,則對(duì)應(yīng)一個(gè)重構(gòu)相空間Y(t i)=[x(ti),x(ti+τ),x(t i+2τ), …,x(ti+(m0-1)τ)] ;計(jì)算關(guān)聯(lián)函數(shù)
通常對(duì)最大Lyapunov 指數(shù)的估計(jì)有小數(shù)據(jù)量法[8] 和Wolf 法[9].為了減少計(jì)算量和人為因素影響,提高計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)的效率和精度, 采用文獻(xiàn)[10] 給出的小數(shù)據(jù)量改進(jìn)算法.首先對(duì)風(fēng)速時(shí)間序列{x(ti),i=1,2,…,N}進(jìn)行快速傅里葉變換(fast fourier transform ,FFT),計(jì)算平均周期P;由C-C 方法確定延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m并重構(gòu)相空間{Y j,j=1,2,…,M};尋找相空間中每個(gè)點(diǎn)Y j的最近鄰點(diǎn)Y j^,并限制短暫分離,即
然后,對(duì)相空間中每個(gè)點(diǎn)Y j,計(jì)算出該鄰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的i步離散時(shí)間后的距離d j(i):
最后, 對(duì)每個(gè)i,求出所有j的lnd j(i)平均值y(i),即
其中,q為非零d j(i)的數(shù)目.用最小二乘法作出回歸直線, 該直線的斜率就是最大Lyapunov 指數(shù)λ1.該方法充分利用了序列的演變信息,對(duì)小數(shù)據(jù)組可靠,而且計(jì)算精度較高, 操作相對(duì)容易.
以我國(guó)某大型風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)測(cè)風(fēng)速為例, 采用上述方法對(duì)其進(jìn)行混沌特性分析.為更充分地說(shuō)明風(fēng)速時(shí)間序列的混沌特性, 采用不同地點(diǎn)、不同采樣頻率下的實(shí)測(cè)風(fēng)速數(shù)據(jù).下面分析的是每10 min 采樣1 點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)間序列, 共1 500 點(diǎn).如圖1 所示.首先對(duì)這1 500 個(gè)風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT 變換得平均周期P=139(23 .2 h);然后由C-C 方法計(jì)算延遲時(shí)間τ=21 ,嵌入窗寬τw=165,并得出嵌入維數(shù)m=9 ;再根據(jù)G-P 算法求出飽和關(guān)聯(lián)維ds和相應(yīng)的最小嵌入維數(shù)mc ,圖2 和圖3 分別為lnCn(r)-lnr關(guān)系曲線和關(guān)聯(lián)維數(shù)d(m)隨m的變化曲線;最后據(jù)小數(shù)據(jù)量改進(jìn)算法, 計(jì)算得到最大Lyapunov 指數(shù)λ1=0 .017 1 .這與由Wolf 方法計(jì)算得出的λ1=0 .020 5相差不大,但其耗時(shí)僅為后者的一半.圖4a 為實(shí)驗(yàn)中風(fēng)速時(shí)間序列的頻譜圖,圖4b 為風(fēng)速時(shí)間序列相空間重構(gòu)向量的3 個(gè)分量x1,x2和x3的三維相圖.
由圖2 可以看出,隨著嵌入維數(shù)m的增加,曲線趨于飽和.由圖3 可以確定, 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)ds=4 .357 8和最小嵌入維數(shù)mc =6 .這說(shuō)明風(fēng)速時(shí)間序列有分?jǐn)?shù)維吸引子存在.這是混沌系統(tǒng)的一個(gè)典型特征.由圖4 可以看出, 譜圖連續(xù)且變化較為劇烈,并且相圖與隨機(jī)序列的相圖存在較大差異(隨機(jī)序列點(diǎn)均勻一致地幾乎填滿整個(gè)相空間).圖4 表明,風(fēng)速時(shí)間序列不是簡(jiǎn)單的周期序列, 而是復(fù)雜的非線性序列, 相空間圖的復(fù)雜形狀暗示風(fēng)速序列可能存在混沌.通過(guò)對(duì)最大Lyapunov 指數(shù)λ1的計(jì)算, 得出λ1>0 的結(jié)論, 說(shuō)明風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速具有混沌特性.正是這種混沌特性,使風(fēng)速吸引子在相空間中拉伸、折疊或回轉(zhuǎn), 在時(shí)間序列上呈現(xiàn)出一定的不規(guī)則、貌似隨機(jī)等特點(diǎn),但其內(nèi)部又遵循著一定的規(guī)律性.
圖1 風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)間序列(實(shí)例一)Fig .1 Time series of wind speed in wind farm(example 1)
圖2 lnC n(r)-lnr 關(guān)系曲線(實(shí)例一)Fig.2 Curves of lnC n(r)-lnr(example 1)
圖3 d(m)-m 關(guān)系曲線(實(shí)例一)Fig .3 Curve of d(m)-m(example 1)
圖4 風(fēng)速時(shí)間序列頻譜圖和相空間圖Fig .4 Freq-power and phase diagram of wind speed
下面對(duì)每1 小時(shí)采樣1 點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)間序列實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.如圖5 所示, 共601 點(diǎn)按照上述方法,先進(jìn)行FFT 變換,得平均周期P=26 h(與例一的結(jié)果十分接近);然后由C-C 方法計(jì)算出延遲時(shí)間τ=11 ,嵌入窗寬τw=57 ,并得出嵌入維數(shù)m=6 ;再據(jù)G-P 算法, 求出其飽和關(guān)聯(lián)維ds=4 .213 6 ,相應(yīng)的最小嵌入維數(shù)mc=5 ,圖6 和圖7 分別為lnCn-lnr關(guān)系曲線和關(guān)聯(lián)維數(shù)d(m)隨m的變化曲線,由圖6 可以看出, 隨著嵌入維數(shù)m的增加,曲線同樣也趨于飽和, 說(shuō)明了風(fēng)速時(shí)間序列分?jǐn)?shù)維吸引子的存在;最后, 根據(jù)小數(shù)據(jù)量改進(jìn)算法計(jì)算得到最大Lyapunov 指數(shù)λ1=0 .075 5 >0 (由Wolf 方法計(jì)算得出的λ1=0 .084 2), 這些參數(shù)均能表明風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速確實(shí)具有混沌特性.
圖5 風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)間序列(實(shí)例二)Fig .5 Time series of wind speed in wind farm(example 2)
圖6 ln C n(r)-ln r 關(guān)系曲線(實(shí)例二)Fig.6 Curves of ln C n(r)-ln r(example 2)
圖7 d(m)-m 關(guān)系曲線(實(shí)例二)Fig .7 Curve of d(m)-m(exam p le 2)
通過(guò)選取合適的混沌特征參數(shù)計(jì)算方法, 只需相對(duì)較小的計(jì)算量, 即可實(shí)現(xiàn)某大型風(fēng)電場(chǎng)不同地點(diǎn)、不同采樣頻率下的實(shí)測(cè)風(fēng)速數(shù)據(jù)的混沌分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了風(fēng)速時(shí)間序列具有混沌系統(tǒng)的典型特征,為正確掌握風(fēng)速的演變規(guī)律具有重要意義,對(duì)提高風(fēng)速本身和風(fēng)電場(chǎng)發(fā)電功率的預(yù)測(cè)精度具有重要的指導(dǎo)作用.
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