涉及到四個自映象的一個新的公共不動點定理

張軍賀，陸 競，谷 峰

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

1 預(yù)備知識

張石生[1]教授和谷峰[2-3]教授在度量空間中自映象對可交換和相容的條件下，分別研究了涉及到3個自映象和4個自映象的φ-擴張型映象的公共不動點問題，之后，文獻[3-6]研究了涉及到4個自映象的一些壓縮型映象的公共不動點問題.該文利用映象對相容[7]和次相容[8]的條件，討論了完備度量空間中涉及到4個自映象的一類新的φ-壓縮型映象的公共不動點問題，獲得了一個新的公共不動點定理.

定義1集合X上的自映象對(f,g)稱為是可交換的，如果?x∈X,有fgx=gfx.

定義2[7]度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為是相容的，如果?{xn}?X，當(dāng)fxn→x,gxn→x,x∈X時，有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義3[8]集合X上的自映象對(f,g)稱為是次相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注1由定義易知，可交換映象對必是相容映象對，而相容映象對也必是次相容映象對，但反之不真.

定義4稱函數(shù)φ滿足條件(φ)，如果函數(shù)φ滿足條件(φ)：φ：[0,∞)→[0,∞)是對t不減的和右連續(xù)的，且φ(t)0.

引理1設(shè)函數(shù)φ滿足條件(φ)，則有

(i)對任一實數(shù)t∈[0,∞)，如果t≤φ(t)，則t=0；

i)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

ii)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,3,….

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)S,T,A,B是完備度量空間X上的4個自映象，且滿足以下條件：

i)SX?BX,TX?AX；

ii) 對于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X,有下面的不等式成立：

d(Sx,Ty)≤φ(M(x,y)).

如果以下條件之一被滿足，則S,T,A,B在X中有唯一公共不動點.

1)S,A之一連續(xù)，且(S,A)相容，(T,B)次相容；

2)T,B之一連續(xù)，且(S,A)次相容，(T,B)相容；

3)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

證明任取x0∈X,因SX?BX,TX?AX，故存在X中的序列{xn},{yn}使得

y2n=Sx2n=Bx2n+1，y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2,n=0,1,2,….

令dn=d(yn,yn+1)，證

(1)

由條件ii)得

d(y2n,y2n+1)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤

φ(0)≤φ(d(y2n-1,y2n))(因φ(t)對t不減).

(2)

下證{yn}是X中的Cauchy列.否則,由引理2知，必存在某一ε0>0和正整數(shù)列{mi},{ni}，使得

a)mi>ni+1,ni→∞(i→∞)；

b)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,3,….

令ei=d(ymi,yni)，則有

ε0≤ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi)，

注意到式(1)，于上式令i→∞得

(3)

另一方面，因為

ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni)，

(4)

對上式右端第二項分4種情況討論如下：

Ⅰ) 當(dāng)mi為偶，ni為奇時，由條件ii)得

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

注意到式(3)和φ(t)的右連續(xù)性，令i→∞對上式取極限得

(5)

利用式(1)和(5)，在式(4)中令i→∞得ε0≤ei≤0+φ(ε0)+0，即ε0≤φ(ε0)，由引理1(i)知ε0=0，此與ε0>0矛盾.

Ⅱ) 當(dāng)mi，ni均為偶數(shù)時，首先有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1)，

(6)

再由條件ii)得

于上式中令i→∞取極限得

(7)

同理可證當(dāng)mi，ni同為奇數(shù)；mi為奇數(shù)，ni為偶數(shù)時也可引出同樣的矛盾.這些矛盾說明{yn}是X中的Cauchy列，由X完備.設(shè)yn→y*∈X,則{y2n-1}和{y2n}也都收斂于y*，即

Ax2n=y2n-1→y*,Sx2n=y2n→y*(n→∞).

(8)

1) 設(shè)S，A之一連續(xù)，且(S,A)相容，(T,B)次相容.

如果A連續(xù)，則{A2x2n}與{ASx2n}都收斂于Ay*，由式(8)和(S,A)相容得d(SAx2n,ASx2n)→0，因此SAx2n→Ay*(n→∞).由條件ii)得

于上式中令n→∞得

由引理1(i)知d(Ay*,y*)=0，進而可得

Ay*=y*.

(9)

由條件ii)得

于上式中令n→∞并利用式(9)得

由引理1(i)知d(Sy*,y*)=0，進而可得

Sy*=y*.

(10)

由SX?BX知，存在u∈X使得

y*=Ay*=Sy*=Bu.

(11)

由條件ii)及式(11)得

d(Bu,Tu)=d(Sy*,Tu)≤

由引理1(i)知d(Bu,Tu)=0，進而可得

Bu=Tu，

(12)

由式(12)及(T,B)的次相容性可得

Ty*=TBu=BTu=By*.

(13)

下證Ty*=y*.事實上，由條件ii)及式(13)可得

d(y*,Ty*)=d(Sy*,Ty*)≤

由引理1(i)知d(y*,Ty*)=0，進而可得Ty*=y*，因此可得y*=Ay*=Sy*=By*=Ty*,即y*是S,T,A,B的公共不動點.

如果S連續(xù)，類似上述證明可得y*=Ay*=Sy*=By*=Ty*，即y*是S,T,A,B的公共不動點.

下證公共不動點的唯一性.設(shè)z也是S,T,A,B的一個公共不動點，由條件ii)得

由引理1(i)知d(y*,z)=0，進而可得y*=z.所以y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.

2) 當(dāng)T,B之一連續(xù)，且(S,A)次相容，(T,B)相容，類似1)可證.

3) 設(shè)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都是次相容.

如果A是滿射，則對y*∈X，存在u∈X使得Au=y*.利用條件ii)得

(14)

在式(14)中令n→∞得

由引理1(i)知d(Su,y*)=0，進而可得Su=y*，所以Au=Su=y*.于是，由(S,A)的次相容性可知，有Ay*=ASu=SAu=Sy*.在式(14)中由y*代替u同理可得Sy*=y*，于是Ay*=Sy*=y*.之后與1)的證明類似，可證y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.

當(dāng)是滿射時同理可證y*是S,T,A,B的唯一公共不動點.

注2本定理的壓縮條件ii)是新的；

注3即使定理1中分別取1)S=T;2)A=B;3)S=T且A=B;4)S=T且A=B=I(I是表示恒等映象)，這幾種特殊情況所對應(yīng)的結(jié)果也是新的.

定理2設(shè)(X,d)是完備度量空間，A,B,{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集，I的勢不小于2)分別是X上的自映象和自映象族，若A,B,{Ti}i∈I滿足以下條件：

i)TiX?BX,TiX?AX,?i∈I；

ii) 對于?i,j∈I(i≠j)和一切使得Mij(x,y)>0的x,y∈X,有下面的不等式成立：

d(Tix,Tjy)≤φ(Mij(x,y))，

如果以下條件之一被滿足，則A,B,{Ti}i∈I在X有唯一的公共不動點.

1)Ti(?i∈I),A之一連續(xù)，且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；

2)Ti(?i∈I),B之一連續(xù)，且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；

3)A,B之一為滿射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容.

證明對?i,j,m∈I,i≠j,i≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj和A,B,Ti,Tm分別存在唯一的公共不動點xij和xim.下面證明xij=xim.利用條件ii)有

d(xij,xim)=d(Tixij,Tmxim)≤

由引理1(i)知d(xij,xim)=0，即xij=xim，由i,j,m的任意性可知，A,B,{Ti}i∈I在X有唯一的公共不動點.

[1] 張石生.不動點理論及其應(yīng)用[M].重慶：重慶出版社，1984:1-99.

[2] 谷峰.關(guān)于φ擴張相容映像的公共不動點定理[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2001,21(3):171-179.

[3] 谷峰,高偉,田巍.不動點定理及非線性算子的迭代收斂性[M].哈爾濱:哈爾濱科學(xué)技術(shù)出版社,2002:17-119.

[4] 何振華,谷峰.兩對非相容映象的一個新的公共不動點定理[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,26(1):7-9.

[5] 陳軍民,谷峰.一類新的φ-壓縮映象的公共不動點定理[J].杭州師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,6(6):414-418.

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