數(shù)學(xué)建模方法在超市經(jīng)營(yíng)中的應(yīng)用

邢臺(tái)醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校 賈水峰

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的逐步完善，以及全球經(jīng)濟(jì)一體化的進(jìn)一步形成，人們的經(jīng)濟(jì)生活越來(lái)越豐富，具備了越來(lái)越多的可選擇性。而且，目前已經(jīng)進(jìn)入微利時(shí)代，消費(fèi)者也變得越來(lái)越聰明。這一切都在要求商業(yè)實(shí)體的高層決策人士和管理人員，必須提高自身和全體職員的綜合素質(zhì)。作為經(jīng)營(yíng)決策層，必須明白，這一系列經(jīng)濟(jì)模式的背后，都有著各自的數(shù)學(xué)法則。本文分析了超市經(jīng)營(yíng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使超市經(jīng)營(yíng)更加科學(xué)化、專業(yè)化。

1 超市存儲(chǔ)量的數(shù)學(xué)模型

1.1 問(wèn)題的提出

超市在經(jīng)營(yíng)中必須有一定的商品存儲(chǔ)量，以滿足市場(chǎng)的需要。下面通過(guò)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，研究如何根據(jù)超市實(shí)際情況，確定存儲(chǔ)量，從而使超市存儲(chǔ)和訂貨的總費(fèi)用最小的問(wèn)題。

1.2 實(shí)例分析

某超市出售一種商品，每周需求量為900件，要求不允許缺貨，如果存儲(chǔ)費(fèi)用為每周0.01元/件，每次訂貨費(fèi)為50元，訂貨后，貨可立即到達(dá)。試求：

(1)最優(yōu)存儲(chǔ)方案。

(2)一年的存儲(chǔ)費(fèi)和訂貨費(fèi)最少是多少？

解：設(shè)D表示需求率，D=900件/周，t表示訂貨周期，Cd表示每次訂貨費(fèi)，Cd=50元，Cs表示單位物品的存儲(chǔ)費(fèi)用，Cs=0.01元/周，每次訂貨量為Q=Dt；存儲(chǔ)量最大為Q，最小為0，所以平均存儲(chǔ)量為1/2Q；由(1)得訂貨周期T=Q/D，每周平均訂貨費(fèi)為Cd/T=CdD/Q；每周的存儲(chǔ)費(fèi)用為1/2QCs，每周的總費(fèi)用C(Q)=CdD/Q+1/2QCs；對(duì)以上公式式兩邊求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)為0得：經(jīng)濟(jì)訂貨量Qo=(2CdD/Cs)平方根≈2317(件)；最優(yōu)訂貨周期周t0=(2Cd/DCs)平方根≈1.28周(約9天)；每周最少費(fèi)用C(Qo)=CdD/Qo+1/2QoCs =39.21(元)；每年按52周計(jì)算的存儲(chǔ)費(fèi)和訂貨費(fèi)最少為39.21×52=2038.92(元)。

1.3 問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型

假設(shè)超市某商品的需求率D不變，經(jīng)營(yíng)中不允許缺貨，訂貨后貨可立即到達(dá)，Cd表示每次訂貨費(fèi)，Cs表示單位貨物的存儲(chǔ)費(fèi)用，Q為每次訂貨量，則總費(fèi)用函數(shù)為C(Q)=CdD/Q+1/2QCs(模型)；經(jīng)濟(jì)訂貨量Qo=(2DCd/Cs)平方根，最優(yōu)訂貨周期t0=(2Cd/DCs)平方根，庫(kù)存和訂貨的最少費(fèi)用C(Qo)=CdD/Qo+1/2QoCs。

2 新產(chǎn)品上市的市場(chǎng)預(yù)測(cè)模型

2.1 問(wèn)題的提出

面對(duì)日新月異的市場(chǎng)需求，超市必須不斷推出新產(chǎn)品，才能不斷滿足消費(fèi)者，從而使超市的經(jīng)營(yíng)處于良性的循環(huán)中。那么作為超市的經(jīng)營(yíng)者，如何判斷一種新產(chǎn)品在推向市場(chǎng)后的受歡迎程度呢？

2.2 實(shí)例分析與解答

某超市欲推出一款新產(chǎn)品，已知目前在市場(chǎng)上有三種同類產(chǎn)品，為了了解這種新產(chǎn)品在市場(chǎng)上的受歡迎程度，在推向市場(chǎng)前，超市進(jìn)行了一定的市場(chǎng)調(diào)查，四種產(chǎn)品分別記為A、B、C、D，其中A代表新產(chǎn)品，表中的數(shù)據(jù)含義為：最近購(gòu)買某種產(chǎn)品(用行表示)的顧客下次購(gòu)買四種產(chǎn)品的機(jī)會(huì)(概率)，例如：表中第一行數(shù)據(jù)表示當(dāng)前購(gòu)買產(chǎn)品A的顧客，下次購(gòu)買產(chǎn)品A、B、C、D的概率分別為75%，10%，5%，10%，試求新產(chǎn)品A未來(lái)的市場(chǎng)份額大概是多少？

表1

解：本例中的問(wèn)題是一個(gè)離散型動(dòng)態(tài)隨機(jī)過(guò)程，也就是馬氏鏈(Markov Chain)。上表實(shí)際上是轉(zhuǎn)移概率矩陣，每行的元素之和肯定為1，只要計(jì)算穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)品的概率，就可分析出新產(chǎn)品A未來(lái)的市場(chǎng)受歡迎度。

記N為產(chǎn)品種數(shù)，產(chǎn)品編號(hào)為i(i=1，2，3，....,N)，轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素記為Tij，穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品i的市場(chǎng)份額記為pi 。

因?yàn)槭欠€(wěn)定狀態(tài)，所以應(yīng)該有pi=∑Tjipj，i=1，2，...，N

不過(guò)，這N個(gè)方程實(shí)際上并不獨(dú)立，至少有一個(gè)是冗余的，好在我們還有另一個(gè)約束條件，即N中產(chǎn)品的市場(chǎng)份額之和等于1：∑pj=1。

本問(wèn)題可以使用LINGO軟件進(jìn)行求解，可知，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看來(lái)，這種新產(chǎn)品A的市場(chǎng)份額應(yīng)該是47.5%，看來(lái)很受市場(chǎng)歡迎，可以放心上市。

3 超市收費(fèi)服務(wù)的數(shù)學(xué)模型

3.1 問(wèn)題的提出

服務(wù)的快慢直接取決于超市收費(fèi)通道的設(shè)置。主要分為手提籃通道和手推車通道兩大類。本文主要研究了如何通過(guò)科學(xué)的計(jì)算，來(lái)確定收費(fèi)通道的數(shù)量,從而提高超市的服務(wù)效率,有效地降低服務(wù)成本。

3.2 實(shí)例分析

某地一超市，顧客按5人/分鐘的速度到達(dá)服務(wù)臺(tái),其中手提籃顧客約占30%,手推車顧客約占70%。手提籃服務(wù)通道服從μ1=2人/分鐘的負(fù)指數(shù)分布,手推車顧客服從參數(shù)μ2=1人/分鐘的負(fù)指數(shù)分布,每個(gè)服務(wù)設(shè)備單位時(shí)間的成本為0.1元,每個(gè)顧客在系統(tǒng)逗留單位時(shí)間的損失率為0.05元,試確定通道的最佳設(shè)置方案,使得單位時(shí)間內(nèi)的平均總費(fèi)用最低。

不同手推車柜臺(tái)數(shù)量對(duì)應(yīng)等待的概率，數(shù)據(jù)如下：

服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：7個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)3.57個(gè)，等待概率P(%)：8；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：6個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)3.57個(gè)，等待概率P(%)：18；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：5個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)4.38個(gè)，等待概率P(%)：38；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：4個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)8.67個(gè)，等待概率P(%)：74；

不同手提籃柜臺(tái)數(shù)量的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)等待的概率，數(shù)據(jù)如下：

服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：1個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)2.64個(gè)，等待概率P(%)：63；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：2個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)0.87個(gè)，等待概率P(%)：20；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：3個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)0.75個(gè)，等待概率P(%)：0.1；服務(wù)柜臺(tái)數(shù)量：4個(gè)，平均隊(duì)長(zhǎng)0.75個(gè)，等待概率P(%)：0.02；

分析：解決此問(wèn)題所需要的推導(dǎo)理論公式為:

平均隊(duì)長(zhǎng):p+Pc/(1-Pc)2·Pc；平均等待隊(duì)長(zhǎng): Pc/(1-Pc)2·Pc；等待時(shí)間:Nq/λ；超市的服務(wù)臺(tái)可分為兩大類,因此整個(gè)系統(tǒng)可看成獨(dú)立的M/M/C/∞系統(tǒng)。

假定每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間成本為e2u元,每個(gè)顧客在系統(tǒng)中逗留的損失費(fèi)用e1元,不同的C值對(duì)應(yīng)不同的平均總費(fèi)用。當(dāng)f(c)值取得最小值的時(shí)候,所對(duì)應(yīng)的C值即為最優(yōu)值。

根據(jù)邊際分析法,求最佳的C*,應(yīng)滿足條件:

F(C*)≤f(C*-1),F(C*)≤f(C*+1)，得：f均值(C*)-f均值(C*+1)≤ue1/e2≤f均值(C*-1)-f均值(C*)

依次對(duì)C取不同的數(shù)值,求出不同的f均值(c),并計(jì)算兩個(gè)之差,檢查ue1/e2落入上面不等式的哪個(gè)區(qū)間,從而確定最佳的C值。

經(jīng)計(jì)算可知,當(dāng)手推車柜臺(tái)為6個(gè)時(shí),其平均總費(fèi)用最小,對(duì)應(yīng)的等待概率為18%；當(dāng)手提籃柜臺(tái)為2個(gè)時(shí),其平均總費(fèi)用最小,對(duì)應(yīng)的等待概率為20%。

3.3 模型評(píng)價(jià)

本模型運(yùn)用了應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支——排隊(duì)論的一些基本方法,并將這些基本方法運(yùn)用到超市收費(fèi)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。該方法具有普遍性,并方便利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行操作計(jì)算。

綜上所述，針對(duì)超市中幾個(gè)最重要的經(jīng)營(yíng)環(huán)節(jié)，我們建立了幾個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這些模型分別揭示了超市存儲(chǔ)量、新產(chǎn)品上市、以及收費(fèi)系統(tǒng)中所涉及到的數(shù)量關(guān)系，給出了有效的解決方案和決策依據(jù)。本文所建立的數(shù)學(xué)模型，對(duì)任何一個(gè)超市、商場(chǎng)、特賣場(chǎng)等都具有借鑒意義，也可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的思想方法處理其他相關(guān)問(wèn)題。

[1]Mark Meerschaert：Mathematical Modeling[M].SanDiego:Academic Press,2007.

[2]陳婷婷,王菲,鄭紅.基于模糊數(shù)學(xué)的商場(chǎng)柜臺(tái)服務(wù)中非量化要素的質(zhì)量評(píng)價(jià)[J].商場(chǎng)現(xiàn)代化,2008,(22).