2道競賽題的背景探討

●郝志剛 (連云港外國語學(xué)校 江蘇連云港 222006)

文獻(xiàn)［1］中定義：有外接圓且2組對(duì)邊的乘積相等的四邊形稱為調(diào)和四邊形.

下面探討2道數(shù)學(xué)競賽試題的命題背景.

圖1

探討1 如圖1所示，在⊙O的內(nèi)接四邊形TMCN中，NC·MT=MC·NT(四邊形TMCN為調(diào)和四邊形).連結(jié)TC，MN，由托勒密(Ptolemy)定理

由∠MDC=∠MDT，知 MN是∠CDT的對(duì)稱軸，于是點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)I必在DT上，從而MN垂直平分CI.

即知I1是△AQC的內(nèi)心，I2是△QCB的內(nèi)心.

連結(jié) TI1，TI2.由 NC·MT=MC·NT 以及NC=NI1，MC=MI2，得

通過以上對(duì)調(diào)和四邊形的討論，可構(gòu)成如下競賽題：

(1)MP·MT=NP·NT;

(2)在弧)AB(不含點(diǎn)C)上任取一點(diǎn)Q(Q≠A，T，B)，記△AQC，△QCB 的內(nèi)心分別為 I1，I2，則點(diǎn)Q，I1，I2，T 共圓.

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

圖2

圖3

探討2 如圖3，在調(diào)和四邊形ABCD中，由

連結(jié)AC，令∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則BE平分∠ABC等價(jià)于

即DE平分∠ADC，于是∠ABC的平分線、∠ADC的平分線和AC三線共點(diǎn)的充要條件是

AB·CD=BC·AD.

連結(jié)DB，過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，作 DQ⊥AC于點(diǎn)Q，作DR⊥AB于點(diǎn)R，則由西姆松(Simson)線定理，知垂足P，Q，R這3個(gè)點(diǎn)共線.

注意到∠DPC+∠DQC=180°以及∠DQA=∠DRA=90°，即知點(diǎn) D，P，C，Q 與 D，Q，R，A 分別共圓，結(jié)合點(diǎn) A，B，C，D 共圓，得

于是PQ=QR的充分必要條件為

至此，又可構(gòu)成如下競賽題：

賽題2 設(shè)ABCD是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，從點(diǎn)D向直線BC，AC和AB作垂線，其垂足分別為P，Q和R.證明：PQ=QR的充要條件是∠ABC的平分線、∠ADC的平分線和AC這3條直線相交于一點(diǎn). (第44屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

綜上不難看出，命題者從經(jīng)典圖形(調(diào)和四邊形)與著名定理(托勒密定理和西姆松線定理)出發(fā)，深入探究，推陳出新，演變出2道數(shù)學(xué)奧林匹克試題，構(gòu)思巧妙、新穎，其命題背景是非常深刻的.同時(shí)也容易看出，筆者對(duì)命題構(gòu)思的過程的研究，實(shí)際上就是筆者探究性學(xué)習(xí)的過程.這種研究性學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)教師的研究能力和綜合知識(shí)的提高很有幫助.從中也可啟發(fā)教師把這種探究學(xué)習(xí)的能力遷移到新課標(biāo)所倡導(dǎo)的、在合作與探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的教學(xué)理念的落實(shí)與培養(yǎng)，最終達(dá)到全面提升師生的研究和學(xué)習(xí)能力.

［1］ 梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究(平面幾何)［M］.北京：人民教育出版社，1958.