淺談函數(shù)思想在數(shù)學(xué)高考試題中的應(yīng)用

●田華欽 (縉云縣第二中學(xué) 浙江縉云 321400)

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)與方程思想也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的思想之一.高中數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解.

函數(shù)思想就是用變量和函數(shù)來(lái)思考問(wèn)題的方法.函數(shù)與方程有時(shí)又可以轉(zhuǎn)化，函數(shù)思想涉及的知識(shí)點(diǎn)多、知識(shí)面廣，在概念、應(yīng)用、理解都方面有一定的要求，應(yīng)用非常廣泛，是高考考查的重點(diǎn).

筆者就幾道高考試題淺談函數(shù)思想在解決不等式、函數(shù)零點(diǎn)、解析幾何、參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題中的應(yīng)用，供參考.

1 運(yùn)用函數(shù)思想解決不等式問(wèn)題

函數(shù)與不等式之間有著密不可分的聯(lián)系，在不等式問(wèn)題中，應(yīng)重視以函數(shù)為橋梁，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，用函數(shù)思想分析、解決問(wèn)題.

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f'(x)＞m恒成立，求m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且僅有1個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.

(2009年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解(1)f'(x)=3x2-9x+6.因?yàn)閤∈(-∞，+∞)，f'(x)≥m恒成立，所以m只要小于等于f'(x)的最小值即可.又因?yàn)?/p>

(2)略.

2 運(yùn)用函數(shù)思想解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)零點(diǎn)就是方程的解，方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像與橫軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，方程在某個(gè)區(qū)間上有解的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題.

(1)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0，2)的距離的最小值為，求m的值;

(2)當(dāng)k(k∈R)如何取值時(shí)，函數(shù)y=f(x)-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

(2009年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)略.

3 運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決解析幾何問(wèn)題

解析幾何即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，可把其中的曲線解析式看作方程，通過(guò)解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯渴箚?wèn)題得以解決.對(duì)于曲線上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段長(zhǎng)度、面積大小的最值問(wèn)題，其在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參數(shù)之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題解決.

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設(shè)點(diǎn) P在拋物線 C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在點(diǎn) P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)解 (1)由題意得

圖1

(2)不妨設(shè) M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y'|x=t=2t.直線MN的方程為y=2tx-t2+h，將上式代入橢圓C1的方程，得

因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以

設(shè)線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，則

由題意得x3=x4，即成立，故h的最小值為1.

4 運(yùn)用函數(shù)思想求參數(shù)(或變量)的范圍

在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更加明朗化.或者在含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)的自變量，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題.

設(shè)線段PA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4，則f'(-1)=0.

(1)試用含a的代數(shù)式表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)令 a=-1，設(shè)函數(shù) f(x)在 x1，x2(x1＜ x2)處取得極值，記點(diǎn) M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2)，P(m，f(m))，x1＜m ＜x2.請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線 f(x)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：

①若對(duì)任意的m∈(x1，x2)，線段MP與曲線f(x)均有異于點(diǎn)M，P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論;

②若存在點(diǎn)Q(n，f(n))，x≤n＜m，使得線段PQ與曲線f(x)有異于點(diǎn)P，Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過(guò)程).

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解(1)略.

①直線MP的方程為

線段MP與曲線f(x)有異于點(diǎn)M，P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(-1，m)上有根，即函數(shù)

在(-1，m)上有零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有3個(gè)零點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn).又

所以g(x)在(-1，m)上有零點(diǎn)等價(jià)于 g(x)在(-1，m)內(nèi)恰有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，即

在(1，m)內(nèi)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.于是

所以m的取值范圍為(2，3］，故滿足題設(shè)條件的t的最小值為2.

②略.

從上述高考試題可以看出：函數(shù)思想的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.在解題時(shí)，要善于對(duì)所給的問(wèn)題仔細(xì)觀察、深入分析，挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題.在平時(shí)的教學(xué)中，必須重視函數(shù)思想方法的落實(shí)，讓學(xué)生更好地掌握這個(gè)內(nèi)容.