溝通2種“和” 由它來搭橋

●黃元華 (深圳市高級中學(xué) 廣東深圳 518040)

柯西不等式的一種特殊形式：

即n個非負數(shù)的平方平均值不小于它們的算術(shù)平均值.

該不等式的二維形式為：

三維形式為：

在以上各式中，左邊出現(xiàn)了幾個非負數(shù)的“一次和”，右邊出現(xiàn)了這幾個非負數(shù)的“二次和”，因此這些不等式溝通了幾個非負數(shù)的“一次和”與“二次和”的聯(lián)系.當(dāng)“二次和”為定值時，“一次和”有最大值;當(dāng)“一次和”為定值時，“二次和”有最小值.

筆者在教學(xué)時，用“一次和”、“二次和”這樣通俗簡練的敘述方式，學(xué)生感到新鮮有趣，易于接受，從而激活了課堂，激發(fā)了學(xué)生的參與熱情.

當(dāng)題目中出現(xiàn)了“一次和”或“二次和”時，就可以考慮用這些不等式來打通關(guān)節(jié)，探求思路，尋求解題途徑.下面舉例說明之.

因為二次和為定值，所以一次和有最大值.

評注 此法中把常數(shù)1替換為a+b+c，從而使解題過程順暢、明快.

(2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試試題)

分析要求字母z的范圍，需得出關(guān)于z的不等式.因而先想到移項，再利用“一次和”與“二次和”的關(guān)系產(chǎn)生不等式.

證明將已知等式分別移項得

評注此法簡便易行，令人賞心悅目.

評注此法簡捷、明快.一般資料書上提供的證法都要用到較復(fù)雜的配湊技巧.

綜上所述，巧妙借助“一次和”與“二次和”的關(guān)系，的確能解決很多有關(guān)不等式證明、求最值等方面的問題.在具體的解題實踐中，題目中不一定出現(xiàn)“一次和”或“二次和”，這就需要我們靈活變通，或等價轉(zhuǎn)化，或巧妙構(gòu)造.