應(yīng)用題的類型和求解策略

●王元真 (德清縣第一中學(xué) 浙江湖州 313200)

1 走進(jìn)應(yīng)用世界

1.1 常見的一些應(yīng)用問題

(1)優(yōu)化問題：實(shí)際生活中的“優(yōu)選”、“控制”等問題常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決.

(2)預(yù)測(cè)問題：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場(chǎng)預(yù)測(cè)這類問題通常設(shè)計(jì)成“數(shù)列模型”來解決.

(3)最(極)值問題：工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實(shí)際生活中的極限問題常設(shè)計(jì)成“函數(shù)模型”，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

(4)等量關(guān)系問題：建立“方程模型”解決.

(5)測(cè)量問題：可設(shè)計(jì)成“圖形模型”利用幾何知識(shí)解決.

1.2 求解應(yīng)用題的一般思路

可表示如下：

1.3 求解應(yīng)用題的一般程序

(1)讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ).

(2)建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建模，是關(guān)鍵的一關(guān).

(3)解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程.

(4)答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果.

1.4 解決應(yīng)用題需過的三關(guān)

(1)閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義.

(2)建模轉(zhuǎn)化關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

(3)數(shù)理求解關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型.

2 常見應(yīng)用模型

題型1 函數(shù)模型

例1 某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元.該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.

(1)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元?

(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)P=f(x)的表達(dá)式;

(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1 000個(gè)，利潤又是多少元(工廠售出一個(gè)零件的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)-成本)?

考點(diǎn)分析 本題主要考查函數(shù)的基本知識(shí)和分段函數(shù)的概念，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x0個(gè)，則

因此當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元.

(3)設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，則

當(dāng)x=500時(shí)，L=6 000;當(dāng) x=1 000時(shí)，L=11 000.

因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6 000元;若訂購1 000個(gè)，則利潤是11 000元.

點(diǎn)評(píng)與拓展 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識(shí)處理所得的函數(shù)模型.

題型2 不等式模型

例2 已知甲、乙、丙3種食物的維生素A，B的含量及成本如表1.若用甲、乙、丙3種食物各x kg，y kg，z kg配成100 kg混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56 000單位維生素A和63 000單位維生素B.

表1 食物的維生素A，B含量及成本

(1)用x，y表示混合食物成本c元;

(2)確定 x，y，z的值，使成本最低.

考點(diǎn)分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式和線性規(guī)劃問題，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)由題意得

因此當(dāng) x=50 kg，y=20 kg，z=30 kg時(shí)，混合物成本最低，為850元.

點(diǎn)評(píng)與拓展 本題為線性規(guī)劃問題，用解析幾何的觀點(diǎn)看，問題的解實(shí)際上是由4條直線所圍成的區(qū)不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在點(diǎn)M(50，20)處取得.

圖1

題型3 幾何模型

例3 某工廠生產(chǎn)容積為π立方米的圓柱形無蓋容器，制造底面的材料每平方米30元，制造側(cè)面的材料每平方米20元，設(shè)計(jì)時(shí)材料的厚度及損耗可以忽略不計(jì).

(1)把制造容器的成本y(元)表示成容器底面半徑為x(米)的函數(shù)，并指出當(dāng)?shù)酌姘霃綖槎嗌贂r(shí)，制造容器的成本最低?求出最低成本.

(2)若為某種特殊需要，要求容器的底面半徑不小于2(米)，則最低成本為多少元(精確到1元)?

考點(diǎn)分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是立體幾何中圓柱的概念，函數(shù)和不等式的運(yùn)用.能力是根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識(shí)來處理所得的最值問題.

解題思路 (1)設(shè)圓柱形容器的高為h，則

于是函數(shù)y=30πx2+60π x在區(qū)間［2，+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值為：150π≈471(元).

點(diǎn)評(píng)與拓展 均值不等式求解時(shí)要注意等號(hào)成立的條件.

題型4 數(shù)列模型

例4 某商場(chǎng)經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查分析后得知，2003年從年初開始的前n個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品需求的累計(jì)數(shù)f(n)(萬件)近似地滿足下列關(guān)系：

(1)問這一年內(nèi)，哪幾個(gè)月需求量超過1.3萬件?

(2)若在全年銷售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場(chǎng)，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品(精確到件)?

考點(diǎn)分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列和不等式的應(yīng)用，能力是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解題思路 (1)首先，第n月的月需求量滿足

本文所采用數(shù)據(jù)主要來自于2015年全國1%人口抽樣調(diào)查匯總數(shù)據(jù)。此次調(diào)查是以2015年11月1日零時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)點(diǎn)，以全國為總體，以各地級(jí)市(地區(qū)、盟、州)為子總體，采取分層、二階段、概率比例、整群抽樣的方法，對(duì)我國境內(nèi)抽中調(diào)查小區(qū)內(nèi)的全部人口(不包括港澳臺(tái)居民和外國人)進(jìn)行調(diào)查，最終樣本量為2131萬人，占全國總?cè)丝诘?.55%，其中樣本中農(nóng)民工總量為935.6萬人，河北省農(nóng)民工總量為56.8萬人。具體數(shù)據(jù)如表1。

即這一年的5，6月的需求量超過1.3萬件.

(2)設(shè)每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對(duì)于第n月來說，不僅有本月投放市場(chǎng)的a萬件商品，還有前幾個(gè)月未銷售完的商品.因此只需na-f(n)≥0，即

點(diǎn)評(píng)與拓展 實(shí)際問題的解答要注意其實(shí)際意義.本題中的最小值不能用四舍五入的方法得到，否則不符合題意.

題型5 概率模型

例5 A，B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)3 名隊(duì)員，A 隊(duì)隊(duì)員是 A1，A2，A3，B 隊(duì)隊(duì)員是 B1，B2，B3.按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如表2.

表2 對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率

現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為ξ，η.

(1)求ξ，η的概率分布;

考點(diǎn)分析 本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解題思路 (1)ξ，η的可能取值分別為3，2，1，0，于是

點(diǎn)評(píng)與拓展 高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).求解應(yīng)用題的一般步驟是(四步法)：

(1)讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系;

(2)建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題;

(3)求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解;

(4)評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證.

題型6 三角模型

考點(diǎn)分析 考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

圖2

圖3

解法1 設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q(如圖3)，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km).若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則

即12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的襲擊.

解法2 以點(diǎn)P為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系(如圖4).

點(diǎn)評(píng)與拓展 以預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)影響時(shí)間為背景，通過對(duì)題中給出信息的分析，準(zhǔn)確地理解臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，綜合應(yīng)用有關(guān)的知識(shí)和方法建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.

圖4

圖5

題型7 測(cè)量模型

例7 某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔，如圖5所示，塔高BC=80(米)，塔所在的山高OB=220(米)，OA=200(米)，圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，與水平地面的夾角為 α，tanα=，試問此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大(不計(jì)此人的身高).

考點(diǎn)分析 這是一道解析幾何與函數(shù)綜合在一起的應(yīng)用題，通過計(jì)算直線的斜率，一條直線與另一條直線的夾角公式獲得函數(shù)的表達(dá)式.

圖6

圖7

又由直線PC到直線PB的角的公式，得

因此當(dāng)∠tanBPC最大時(shí)，∠BPC為最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

題型8 二次曲線模型

圖8

(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程;

(2)試問：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A，B測(cè)得離航天器的距離分別是多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令.

考點(diǎn)分析 與光學(xué)、力學(xué)、軌跡等有關(guān)的應(yīng)用問題，可通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，運(yùn)用曲線的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解答，且主要研究的是二次曲線，因此可稱之為二次曲線模型.

解題思路 (1)設(shè)曲線方程為題意可知，降落點(diǎn)D(8，0)在曲線上，則

(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y).根據(jù)題意可知，由

將y=4代入橢圓方程得

x=6或x=-6(不合題意，舍去)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，4).于是

點(diǎn)評(píng)與拓展 本題是一道立意新穎、難度適中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，題目以大家非常感興趣的宇宙航行問題為背景，設(shè)計(jì)了航天器變軌返回試驗(yàn)問題.數(shù)學(xué)模型是已知的，又是大家熟悉的，問題的提出則是已知拋物線的頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)，求拋物線的方程以及求橢圓與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離等熟悉的內(nèi)容，但是改成實(shí)際問題之后，就能考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力和分析問題與解決問題的能力.把考知識(shí)的題目變成了考能力、考思維的題目.