基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的多頻帶雷達(dá)信號(hào)融合

葉 釩 何 峰 梁甸農(nóng) 朱炬波

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410073)

1.引 言

多頻帶雷達(dá)信號(hào)融合處理利用多部雷達(dá)在相同視角從不同頻帶獲取目標(biāo)的一維雷達(dá)觀測(cè)信號(hào),通過(guò)信號(hào)級(jí)的稀疏頻帶相干融合,提高雷達(dá)距離向分辨率[1-3]。它打破了傳統(tǒng)的單雷達(dá)成像距離分辨率受限于單部雷達(dá)帶寬的約束,可明顯改善一維距離像質(zhì)量。

傳統(tǒng)的雷達(dá)信號(hào)融合技術(shù)主要為基于譜估計(jì)類的融合方法,例如多重信號(hào)分類方法(MUSIC)[4]以及修正的求根多重信號(hào)分類(Root-MUSIC)方法[2]、矩陣增強(qiáng)矩陣束(MEMP)方法[5]、狀態(tài)空間方法[6]等。雖然這些方法的參數(shù)估計(jì)精度高,但是需要已知目標(biāo)散射點(diǎn)個(gè)數(shù),這在實(shí)際處理中往往是無(wú)法做到的。雖然存在眾多模型階數(shù)的估計(jì)方法,例如最小描述長(zhǎng)度(MDL)方法[7]和bootstrap[8]方法,但是估計(jì)精度受噪聲的影響很大。而基于自回歸(AR)模型[3]、自回歸積分滑動(dòng)平均(ARIMA)模型[9]以及基于正則化[10]的外推內(nèi)插方法,雖然對(duì)模型階數(shù)相對(duì)不敏感、但是內(nèi)插帶寬的長(zhǎng)度有限,不適合于稀疏子帶信號(hào)融合[3]。

1995年S.Chen在其博士論文中提出了用于信號(hào)稀疏表示的基追蹤(BP)原理[11]。對(duì)比于框架方法(MOF)、最優(yōu)正交基方法(BOB)、匹配追蹤方法(MP)等,BP的性能更加優(yōu)越[12]。在多頻帶信號(hào)融合處理中,由于多個(gè)頻帶稀疏分布,使得觀測(cè)系統(tǒng)矩陣的相干性被破壞,從而使得基追蹤方法可能無(wú)法收斂到信號(hào)的真實(shí)稀疏表示。

針對(duì)以上問(wèn)題,我們將稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)應(yīng)用于融合處理,提出了一種基于SBL的多頻帶信號(hào)融合方法。此方法不僅避免了模型階數(shù)估計(jì),同時(shí)克服了BP算法局限性。

2.理論分析

2.1 信號(hào)觀測(cè)模型

考慮多個(gè)理想點(diǎn)散射中心組成的雷達(dá)目標(biāo),散射中心的數(shù)目為K,各個(gè)散射中心到雷達(dá)的距離為rk,k=1,2,…,K,則目標(biāo)譜域信號(hào)的離散形式可以寫為

式中：n=0,1,…,N-1;σk為散射中心的幅度;τk=2rk/c為時(shí)延,c為光速;Δf為頻率采樣間隔。令 ω=Δfτk,易知 ω∈(0,1] 。

將數(shù)字頻率離散化,令 ω=n/N,n=0,1,…,N-1,式(1)還可以寫成如下的矩陣形式

式中：E=[E(0),E(1),…E(N-1)]T為觀測(cè)向量;σ=[σ(0),σ(1),…σ(N-1)]T為一維距離圖像;Φ=[φ0,φ1,…φN-1]為觀測(cè)系統(tǒng)矩陣或者詞典,其中

當(dāng)有多部雷達(dá)數(shù)據(jù)時(shí),由于雷達(dá)位置以及參考距離選取的不同,不同雷達(dá)的譜域測(cè)量數(shù)據(jù)存在不相關(guān)性[1-2]。因此,相關(guān)處理是融合處理前提。針對(duì)此問(wèn)題王成在其博士論文中已經(jīng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究[13],這里就不再重復(fù),假設(shè)多頻帶雷達(dá)信號(hào)都已經(jīng)完全相關(guān)。那么如圖1所示,多頻子帶雷達(dá)信號(hào)等價(jià)于全頻帶雷達(dá)信號(hào)的稀疏采樣。

圖1 多頻帶信號(hào)的稀疏分布示意圖

考慮兩部雷達(dá)信號(hào)的融合,雷達(dá)1信號(hào)E1的頻率采樣為n1=0,1…,L1-1,雷達(dá)2信號(hào)E2的頻率采樣為n2=N-L2,N-L2+1,…,N-1。則多頻帶信號(hào)的觀測(cè)模型可以寫為

式中,H為采樣矩陣

式中,I為單位矩陣;0為零陣。式(5)的觀測(cè)模型可以推廣到更多頻帶信號(hào)融合的情況。

2.2 基追蹤的局限性

信號(hào)的稀疏表示可以轉(zhuǎn)化為如下的(P0)問(wèn)題

基追蹤考慮如下的(P1)問(wèn)題

分析多頻帶的稀疏分布對(duì)觀測(cè)系統(tǒng)矩陣的相關(guān)性度量的影響,首先給出幾個(gè)必要的定義和定理。

定義1[14]：若 Φ已經(jīng)歸一化,記G=ΦHΦ,定義M(G)為 Φ的互相干度量,

定理1[14]：若(P0)問(wèn)題的唯一解滿足則σ0也是(P1)問(wèn)題的唯一解。

定理1表明,如果實(shí)際信號(hào)并不滿足一定的稀疏性,基追蹤方法收斂到的全局最優(yōu)解不一定等于信號(hào)的真實(shí)稀疏解。

在多頻帶信號(hào)融合處理中,觀測(cè)模型滿足式(4)。我們將證明子頻帶的稀疏分布會(huì)破壞觀測(cè)系統(tǒng)矩陣的相關(guān)性度量

根據(jù)等比數(shù)列求和的公式,由式(9)可以得到如下的不等式

根據(jù)互相干度量的定義有

當(dāng)實(shí)際目標(biāo)中包含的散射點(diǎn)個(gè)數(shù)大于閾值(1+1/M(G))/2時(shí),BP算法可能無(wú)法收斂到信號(hào)的真實(shí)稀疏解。另外由式(2)可知：當(dāng)M=N時(shí),目標(biāo)的觀測(cè)模型中的系統(tǒng)矩陣為正交傅立葉基,因此,M(G)=0,無(wú)論目標(biāo)包含多少個(gè)散射點(diǎn)均滿足式(8),而在融合處理中,由于頻帶的稀疏分布,破壞了矩陣的互相干度量,使得系統(tǒng)矩陣不再正交,M(G)≠0,因此根據(jù)定理1,BP算法的全局最優(yōu)解可能不等于信號(hào)的真實(shí)稀疏表示。如圖2所示,隨著子頻帶長(zhǎng)度的增加,C逐漸增大。

2.3 基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的融合方法

文獻(xiàn)[15]中提到BP的先驗(yàn)信息為固定先驗(yàn)信息,存在結(jié)構(gòu)誤差。當(dāng)后驗(yàn)?zāi)Ｐ筒粔蛳∈?最優(yōu)解就可能不等于真實(shí)稀疏解。而SBL方法不存在結(jié)構(gòu)誤差。稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法的關(guān)鍵在于算法結(jié)合了一個(gè)依賴于未知超參數(shù)的可變的先驗(yàn)分布,這些超參數(shù)必須從數(shù)據(jù)中估計(jì)出來(lái)。

考慮含噪聲的觀測(cè)模型

假設(shè)p(E|σ)滿足高斯分布,噪聲方差為λ。對(duì) σ中每個(gè)元素分配一個(gè)獨(dú)立的高斯先驗(yàn)信息[15]

式中：γi為未知方差參數(shù),則σ的后驗(yàn)概率密度為[15]

式中：

為了證明SBL算法在多頻帶融合處理中的有效性,先給出定義2

定義2[15]：如果由 Φ中N列組成任意子集構(gòu)成了RN中的一個(gè)基,則稱 Φ滿足唯一表示性(URP)。

文獻(xiàn)[15]中指出 Φ滿足URP,那么利用SBL算法就可找到等價(jià)于(P0)問(wèn)題的解。下面我們就證明在多頻帶融合處理中 滿足URP條件。

證明：任意選取L1+L2列元素組成矩陣?Φ只需要證明rank(?Φ)=L1+L2即可。由 ?Φ的結(jié)構(gòu)可以知道

式中：H′為由任選的列決定的采樣矩陣。由H′和H的構(gòu)造方法可知,這兩個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等變換可以變換為

由兩個(gè)采樣矩陣的秩為L(zhǎng)1+L2。由矩陣秩的性質(zhì)可知

另一方面由秩不等式可知

綜合式(19)和式(20)可以知道,rank(Φ?)=L1+L2,證明完畢。SBL算法適用于多頻帶信號(hào)融合處理。SBL算法步驟：

1)初始化超參數(shù)γ=1,或者非負(fù)隨機(jī)向量;

2)利用式(15)計(jì)算∑和 μ;

3)利用EM算法更新γ

4)重復(fù)步驟2)和3),直到收斂到固定γ*

5)利用式(15)計(jì)算 μ*,令 σ=μ*

需要注意的是,SBL算法是定義在實(shí)數(shù)域上,而多頻帶雷達(dá)信號(hào)是復(fù)數(shù)據(jù),因此,要對(duì)觀測(cè)系統(tǒng)作如下的變換,才能運(yùn)用SBL算法進(jìn)行融合處理。

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明基于SBL的多頻帶雷達(dá)信號(hào)融合的有效性,同時(shí)對(duì)比BP算法的融合結(jié)果,證明基于SBL融合方法的優(yōu)越性。

假設(shè)全頻帶雷達(dá)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為100,信號(hào)包含七個(gè)單頻分量,頻點(diǎn)分別位于 30、32、40、42、43、44、45采樣點(diǎn)處,幅度均為 1。全頻帶信號(hào)的前30個(gè)采樣點(diǎn)構(gòu)成低頻帶信號(hào),后30個(gè)采樣點(diǎn)構(gòu)成高頻帶信號(hào),然后在兩個(gè)子頻帶信號(hào)上分別附加了信噪比為20 dB的高斯白噪聲。圖3為基于SBL的多頻帶信號(hào)融合處理的結(jié)果。

圖3中褐色的點(diǎn)線為低頻帶信號(hào)的一維距離像,從圖3中可以看出由于分辨力較低,無(wú)法從圖像中分辨出七個(gè)頻率分量。藍(lán)色的虛線為基于BP方法的多頻帶融合處理結(jié)果,分辨率理論上足夠分辨七個(gè)頻率分量,但是由于頻帶稀疏分布,使得觀測(cè)系統(tǒng)矩陣的相干度量被破壞,因此BP方法沒(méi)有得到信號(hào)的真實(shí)稀疏表示,從圖中來(lái)看出現(xiàn)了兩個(gè)虛假峰值。而紅色曲線表示基于SBL方法的多頻帶融合處理結(jié)果,可以看到七個(gè)頻率清晰可分辨,頻點(diǎn)位置估計(jì)精確,幅度也保持得很好。

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果是：目標(biāo)為雅克47飛機(jī),理想全頻帶數(shù)據(jù)大小為128×256,選取前128×80個(gè)采樣點(diǎn)為低頻數(shù)據(jù),后128×80個(gè)采樣點(diǎn)為高頻數(shù)據(jù),圖4為兩種融合處理對(duì)比,在圖4(a)中可以看到飛機(jī)的大致輪廓,其由機(jī)尾、機(jī)身、機(jī)翼和機(jī)頭組成。圖4(b)為雷達(dá)1信號(hào)的成像結(jié)果。由于帶寬較窄,距離向分辨率較低,飛機(jī)的輪廓已經(jīng)模糊,在圖中也看不到機(jī)頭。圖4(c)為基于BP算法的多頻帶信號(hào)融合成像結(jié)果。相對(duì)于單雷達(dá)的成像結(jié)果,經(jīng)過(guò)融合后,圖像的分辨率明顯提高,結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)更加豐富,但是同樣無(wú)法看到機(jī)頭輪廓。而圖4(d)為基于SBL算法的多頻帶信號(hào)融合成像結(jié)果。相對(duì)于前三幅圖像,機(jī)尾、機(jī)身和機(jī)翼的結(jié)構(gòu)更加細(xì)致,輪廓更加完整,機(jī)頭的形狀更加突出。從圖中4可以看到基于SBL的多頻帶融合能夠更好地恢復(fù)全頻帶數(shù)據(jù),與理想全頻帶成像結(jié)果更加一致。

因此SBL方法適用于多頻帶雷達(dá)信號(hào)融合處理,處理性能要優(yōu)于BP方法。

4.結(jié) 論

SBL方法是一種信號(hào)稀疏表示方法。它能夠避免譜估計(jì)算法固有的階數(shù)敏感性,又能消除由于頻帶稀疏分布給觀測(cè)系統(tǒng)矩陣相干性度量所帶來(lái)的破壞。相比BP算法,基于SBL的多頻帶雷達(dá)信號(hào)融合處理的性能更加優(yōu)越。計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了以上結(jié)論。

[1] CUOMO K M,PIOU J E.Ultrawide-band coherent processing[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1999,47(4)：1094-1107.

[2] VANN L D,CUOMO K M.Multisensor fusion processing for enhanced radar imaging[R].Lexington,M assachusetts,United States：Lincoln Laboratory,2000,1-73.

[3] MORRE T G,ZUERNDORFER B W.Enhanced imagery using spectral-estimation-based techniques[J].Lincoln Laboratory Journal,1997,10(2)：171-186.

[4] 代大海,王雪松,肖順平,等.高分辨相干極化GTD散射模型及其應(yīng)用[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(1)：56-61.DAI Dahai,WANG Xuesong,XIAO Shunping,et al.High-resolution coherent polarization GTD model and its application[J].Chinese Journal of Radio Science,2008,23(1)：55-61.(in Chinese)

[5] 葉 釩,何 峰,梁甸農(nóng).基于EMEMP的雷達(dá)二維信號(hào)融合成像新方法[J].電子學(xué)報(bào),2009,37(12)：2609-2613.YE Fan,HEFeng,LIANG Diannong.A new method for radar two-dimensional signal fusion based on EM EMP[J].Acta Electronica Sinica,2009,37(12)：2609-2613.(in Chinese)

[6] NAISHADHAM K,PIOU J E.State-space spectral estimation of characteristic electromagnetic responses in wideband data[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2005(4)：406-409.

[7] WAX M,ZISKIND I.Detection of the number of coherent signals by the MDL principle[J].IEEE Transactions on Acoustics.Speech.And Signal Processing,1999,37(8)：1190-1196.

[8] 汪 玲,殷吉昊,陳天麒.寬帶信號(hào)源個(gè)數(shù)估計(jì)頻域bootstrap方法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2007,22(1)：131-133.WANG Ling,YIN Jihao,CHEN Tianqi.Frequencydomain bootstrap method for source number estimation of wideband signals[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(1)：130-133.(in Chinese)

[9] 王 成,胡衛(wèi)東,郁文賢.基于非平穩(wěn)時(shí)間序列處理的雷達(dá)信號(hào)融合[J].信號(hào)處理,2005,21(4)：338-343.WANG Cheng,HU Weidong,YU Wenxian.Radar signal fusion based on non-stationary time series processes[J].Signal Processing,2005,21(4)：338-343.(in Chinese)

[10] 熊俊志,楊子杰,王 勤.基于內(nèi)插/外推的非連續(xù)譜高頻雷達(dá)二維處理[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2006,21(5)：735-739.XIONG Junzhi,YANG Zijie,WANG Qin.2-D signal processing for discontinuous spectra hf radar based on interpolation/extrapolation[J].Chinese Journal of Radio Science,2006,21(5)：735-739.(in Chinese)

[11] Chen S S.Basis pursuit[D].USA：Standford University,1995.

[12] 汪雄良.基追蹤方法及其在圖像處理中應(yīng)用的研究[D].湖南長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué),2006.

[13] 王 成.雷達(dá)信號(hào)層融合成像技術(shù)研究[D].湖南長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué),2006.

[14] DONOHO D L,ELAD M.Optimally sparse representation in general dictionaries via minimization[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,2003,100(5)：2197-2202.

[15] WIPF D P.Bayesian methods for finding sparse representations[D].San Diego：University of California,2006.