基于動力論的塵埃等離子體充電方程研究

陳惠敏 石雁祥 蘇金善 孫 毅 張保花

(1.昌吉學(xué)院物理系,新疆 昌吉831100;2.伊犁師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,新疆伊寧835000)

1.引 言

塵埃等離子體可簡單定義為在一般等離子體中考慮塵埃粒子作用的等離子體。

塵埃等離子體理論是20世紀(jì)80～90年代在國際上出現(xiàn)的一門新型理論。它建立在一般等離子體理論基礎(chǔ)上但考慮了塵埃粒子的作用。由于在天體物理、航空航天、大氣環(huán)境、微波通信、微電子器件制造等一些重要的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域存在著與塵埃等離子體有關(guān)的問題,塵埃等離子體理論及相關(guān)的應(yīng)用研究開始受到越來越普遍的重視。

塵埃等離子體與一般等離子體最大的不同在于塵埃粒子的充放電作用。并由此導(dǎo)致塵埃等離子體的很多物理性質(zhì)與一般等離子體不同。塵埃粒子充電方程是描述塵埃等離子體充放過程的基本方程。而充電頻率(電荷馳豫速率)是描述這一物理過程的基本物理量。有關(guān)塵埃粒子充電問題的研究已經(jīng)發(fā)表了多篇文獻(xiàn)[1-11]。其中,Jana和 Tsytovich分別根據(jù)各自不同的方法給出了充電頻率的兩種不同表達(dá)式[1,2]。在研究塵埃等離子體微波散射及塵埃等離子體中各種縱波問題時(shí),不同的文獻(xiàn)引入了不同的充電頻率表達(dá)式。然而,對兩種表達(dá)式之間的關(guān)系至今尚沒有給出明確的說明。本文在動力論基礎(chǔ)上研究塵埃粒子充電問題,導(dǎo)出塵埃粒子充電方程,給出了充電頻率表達(dá)式。證明了兩種充電頻率表達(dá)式是考慮不同近似條件得到的。

2.理論分析

2.1 塵埃粒子充電電流的OLM理論

我們考慮浸在非磁化電子—離子等離子體中的有限尺寸的塵埃粒子。因?yàn)殡娮拥臒崴俣冗h(yuǎn)大于離子的熱速度,電子到達(dá)塵埃粒子表面比離子快。因此,塵埃粒子獲得的電子比離子多很多,結(jié)果它的表面電勢變成負(fù)值。當(dāng)然,原來的電子電流和離子電流會受塵埃粒子表面電勢的影響,因?yàn)樗鼈円蕾嚨入x子體和塵埃粒子的相對速度。當(dāng)表面電勢是負(fù)的時(shí)候,電子就會被排斥而離子被吸引,即由電子攜帶的塵埃粒子電流降低而由離子攜帶的塵埃粒子電流增加。

采用軌道受限運(yùn)動(the orbit-limited motion,OLM)方法來計(jì)算等離子體粒子j(電子或離子)對塵埃粒子的充電電流Ij。考慮等離子j體粒子從無限遠(yuǎn)的距離接近半徑為rd帶電量為qd的塵埃粒子的情況,如圖1。當(dāng)帶電粒子進(jìn)入德拜球時(shí),它會受到塵埃粒子的影響,由于庫侖電場的作用,它的路徑會發(fā)生變化。假設(shè)Vj和Vjg分別是等離子體粒子與塵埃粒子剛好擦過時(shí)前后的速度,顯然,對于一個(gè)確定的速度,小于碰撞參數(shù)bj時(shí),等離子j體粒子j就會與塵埃粒子相碰。其充電碰撞的碰撞截面是=。

圖1 等離子體粒子j與帶電塵埃粒子之間的摩擦碰撞(qj＜0,qd＜0)

由于帶電粒子受有心力作用,角動量和能量守恒定律要求

塵埃粒子的帶電量qd=Cφd,φd=φg-φp是塵埃粒子勢φg與等離子體勢φp之間的電勢差。在等離子體中,球形塵埃粒子的電容C=rdexp(-rd/λD)。對于德拜半徑λd?rd的情況,C≈rd。聯(lián)立求解(1)式和(2)式并考慮到關(guān)系式qd=rdφd可以得到

若距塵埃粒子為無限遠(yuǎn)的等離子體粒子j的速度分布是fj(vj),則由j類等離子體粒子產(chǎn)生的塵埃充電電流Ij是

式中,Vjmin是與塵埃粒子碰撞的等離子體粒子的最小速度。Vjmin的值可分兩種情況討論：當(dāng)qiφd＜0時(shí),等離子體粒子和塵埃粒子相互吸引,Vjmin=0;而當(dāng)qjφd＞0時(shí),等離子體粒子和塵埃粒子由于庫侖力作用而相互排斥,只有那些動能大于相互作用勢能的充電粒子才能接近塵埃粒子而對其充電,在這種情況下Vjmin可表示為[6]

進(jìn)一步假設(shè)等離子體粒子的速度分布服從Maxwell分布,即[12]

式中,nj是等離子體粒子濃度。把式(5)、(6)代入式(4),用球坐標(biāo)表示并進(jìn)行積分可以得到充電電流為

當(dāng)qjφd＜0 時(shí) ,當(dāng)qjφd＞0 時(shí) ,

2.2 充電平衡條件和電中性條件

當(dāng)粒子停止充電并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的塵埃粒子表面電勢稱為平衡電勢。塵埃粒子的充電平衡電勢可由充電平衡條件和準(zhǔn)中性條件得到。若已知塵埃粒子的半徑,進(jìn)一步還可得到塵埃粒子的帶電量。

由于離子質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量,離子的熱運(yùn)動速度要遠(yuǎn)小于電子的熱運(yùn)動速度,因而,在充電過程初期,離子的充電電流Ii要遠(yuǎn)小于電子的充電電流Ie,充電使塵埃粒子帶上了負(fù)電。由于塵埃粒子表面帶負(fù)電,對于電子qjφd＞0;對于離子qiφd＜0,由式(7)和式(8)可知,電子和離子的充電電流分別可寫為

假定了離子是一次電離的,即對于離子qj=e(e=1.6×10-19C)。隨著充電的繼續(xù),帶負(fù)電的塵埃粒子開始排斥電子同時(shí)吸引離子,這使得離子的充電電流開始增加,電子的充電電流開始減小。當(dāng)Ii=Ie時(shí),塵埃粒子處于充電平衡狀態(tài)。在多種帶電粒子對塵埃粒子充電的情形,充電平衡條件可以寫為

由于塵埃粒子的帶電,塵埃等離子體的電中性條件與一般等離子體不同,其表現(xiàn)形式為ne+Zd nd=ni,即

式中：Zd是塵埃粒子電荷數(shù);nd是塵埃粒子濃度。當(dāng)Zd nd/ni?1,塵埃粒子是孤立的,此時(shí)ni≈ne。隨著塵埃粒子濃度增大,塵埃粒子間距減小,塵埃粒子之間的庫侖相互作用將會逐漸增大,當(dāng)Zdnd/ni與1可以比擬時(shí),塵埃粒子不能被看作是孤立的。對于非孤立塵埃粒子,其表面電勢φg與等離子體電勢φp之差小于孤立塵埃粒子時(shí)的情形,因此其塵埃粒子的電量也小于孤立塵埃時(shí)的情形。這是由于當(dāng)塵埃粒子增多時(shí),雖然塵埃粒子總體會占有更多的電子,但每個(gè)塵埃粒子分得的電子卻會減少。

3.理論推導(dǎo)

3.1 塵埃粒子充電方程

在電子和離子對塵埃粒子充電的過程中,由于受到塵埃等離子體中縱波的影響,充電電流也會產(chǎn)生波動,結(jié)果會引起塵埃粒子表面電量的起伏。假定不存在波動時(shí),塵埃粒子帶電量的平衡值為qd0,則縱波的影響使塵埃粒子帶電量圍繞qd0起伏,表示為qd0+qd1,qd1是塵埃粒子受縱波影響產(chǎn)生的電量起伏值,qd1遠(yuǎn)小于qd0。充電頻率νch描述了塵埃粒子表面電量恢復(fù)到平衡值時(shí)的快慢程度。對于由電子﹑一次電離的離子以及塵埃粒子組成的塵埃等離子體,充電平衡時(shí),由充電平衡條件式可得

用|Ie0|表示充電平衡時(shí)電子和離子的充電電流,則

有縱波存在時(shí)等離子體j粒子的分布函數(shù)為

fj0是未受擾動時(shí)j粒子的分布函數(shù)。fj1表示分布函數(shù)的微擾。

縱波存在時(shí)的充電截面為

式中：φd0是充電平衡時(shí)的塵埃粒子電勢與等離子體背景電勢之差;?φd是圍繞平衡電勢變化的浮動電勢。于是,有擾動時(shí)的充電電流為

式中

為沒有擾動時(shí)的充電電流。式(17)其余三項(xiàng)分別代表充電截面變化、分布函數(shù)變化對擾動電流的貢獻(xiàn),以及充電截面變化及分布函數(shù)變化共同引起的擾動電流。

3.2 塵埃粒子的充電頻率

考慮到fα1?fα0,φd?φd0,式(17)等式右邊最后一項(xiàng)為二階小量,可以忽略。于是

式中

代表分布函數(shù)變化對擾動電流的貢獻(xiàn)。

在忽略塵埃粒子運(yùn)動速度的情形下,塵埃電量qd與充電電流的關(guān)系為

將塵埃粒子電量寫為qd=qd0+qd1。qd0為充電平衡時(shí)的塵埃電量,它不隨時(shí)間發(fā)生變化。將式(19)代入式(21),并考慮式(13)得

式(22)右端第二項(xiàng)的求和包括電子e和離子i。以下討論式(22)右邊積分,將式(6)代入該積分可得

對于電子,將=代入上式

得

對于離子,qjφd＜0,將Vjmin=0代入式(23)得

考慮到式(14),可得

設(shè)塵埃粒子電容為C,則,將式(26)代入式(22)得

式中,νch是充電頻率[2],在一些文獻(xiàn)里也被稱為電荷弛豫速率[8-11]

通常也將式(27)寫為

式(29)即為充電方程的常見形式[8]。

假設(shè)塵埃粒子帶負(fù)電,并設(shè)電荷數(shù)為Z,則φd0=-Ze2/rd,將式(14)|Ie0|的具體形式代入式(28),得

這正是文獻(xiàn)[2]給出的結(jié)果。式(28)和式(31)常出現(xiàn)在以往的文獻(xiàn)中,但各種文獻(xiàn)對兩者的關(guān)系沒有做出說明,這里給出進(jìn)一步的說明。

4.結(jié) 論

塵埃等離子體與等離子體最大的不同在于塵埃粒子的充電作用。在動力論基礎(chǔ)上推導(dǎo)塵埃粒子充電方程,給出的充電頻率具有統(tǒng)一形式表達(dá)式,文獻(xiàn)中給出的兩種不同形式的充電頻率是在不同近似條件下給出的。

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