MIMO-OFDM系統(tǒng)中基于變分貝葉斯EM算法的聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)與信道估計(jì)

張曉瀛，魏急波，王德剛，熊春林

（國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

1 引言

多輸入多輸出正交頻分復(fù)用系統(tǒng)具有優(yōu)良的傳輸特性，近來(lái)引起廣泛關(guān)注。一方面，正交頻分復(fù)用（OFDM）可以有效對(duì)抗無(wú)線(xiàn)信道的頻率選擇性衰落；另一方面，OFDM與多天線(xiàn)技術(shù)相結(jié)合，可利用發(fā)送和接收端的空間自由度獲取更大的信道容量和更高的頻譜利用率。

信道估計(jì)在 MIMO-OFDM 系統(tǒng)的相干接收中占有重要地位。對(duì)于時(shí)變多徑信道而言，基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)需要占用大量系統(tǒng)開(kāi)銷(xiāo)，而盲估計(jì)往往計(jì)算復(fù)雜，收斂緩慢，因此，聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)和信道估計(jì)技術(shù)成為許多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]聯(lián)合QRD-M檢測(cè)與面向判決Kalman信道估計(jì)算法設(shè)計(jì)了MIMO-OFDM系統(tǒng)的接收機(jī)；Lu等人設(shè)計(jì)了空時(shí)塊碼OFDM系統(tǒng)中基于EM算法的迭代接收機(jī)[2]。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了基于RLS算法的EM迭代接收機(jī)。這些文獻(xiàn)設(shè)計(jì)的信道估計(jì)算法都利用了從信號(hào)檢測(cè)中獲得的硬判決符號(hào)，容易受到錯(cuò)誤傳播的影響。文獻(xiàn)[4]雖然在信道估計(jì)中考慮了發(fā)送信號(hào)的一階和二階統(tǒng)計(jì)信息，但是在符號(hào)檢測(cè)中忽略了信道估計(jì)誤差的影響，在一定程度上也損失了性能。

最優(yōu)的聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)和信道估計(jì)應(yīng)該通過(guò)最大化未知參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)概率密度函數(shù)來(lái)獲得，但在通常情況下，這種方法非常復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)。變分貝葉斯期望最大化(VBEM, variational Bayes expectation maximization)算法基于變分推理，通過(guò)迭代尋找最小化 KL(Kullback-Leibler)距離的邊緣分布來(lái)近似聯(lián)合分布，同時(shí)利用mean field近似減小聯(lián)合估計(jì)的復(fù)雜度[5]。本文在編碼MIMO-OFDM系統(tǒng)中設(shè)計(jì)了基于VBEM算法的Turbo迭代接收機(jī)，突破了傳統(tǒng)EM算法只能獲得參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的限制，以隨機(jī)參數(shù)的后驗(yàn)概率分布為估計(jì)對(duì)象，在軟入軟出檢測(cè)器中考慮了信道估計(jì)誤差的影響，并由此推出了一種新的最大后驗(yàn)概率列表球形譯碼器；基于空時(shí)檢測(cè)器獲得的符號(hào)軟信息，推出了VBEM框架下基于軟信息的Kalman前向后向?yàn)V波算法。最后通過(guò)仿真證實(shí)了設(shè)計(jì)算法較傳統(tǒng)算法的優(yōu)越性。

本文采用的主要符號(hào)表示如下： IN表示N×N的單位矩陣；矩陣 X(n)的第 i行和第 j列表示為[X ( n)]i,j；矢量 x ( n, k)的第i個(gè)元素表示為[x ( n, k )]i；Tr{×}表示跡；diag(x) 表示以矢量x中的元素作為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣；?表示Kronecker 積。

2 系統(tǒng)模型

考慮具有 Nt根發(fā)送天線(xiàn)， Nr根接收天線(xiàn)的MIMO-OFDM系統(tǒng)，子載波數(shù)目為K，每幀數(shù)據(jù)分組含 Ns個(gè)OFDM符號(hào)。信源比特c經(jīng)信道編碼后進(jìn)行比特交織，每 mc個(gè)交織后的編碼比特通過(guò)星座集合映射為一個(gè)星座符號(hào)。通過(guò)串并變換，第 q個(gè)符號(hào)塊{ xq( n, k), k =0,1,… ,K -1}通過(guò)OFDM調(diào)制器從第q根天線(xiàn)發(fā)送。發(fā)射端框圖如圖1所示。

假設(shè)不同收發(fā)天線(xiàn)對(duì)之間的單入單出信道獨(dú)立同分布，且在一個(gè)OFDM符號(hào)間隔內(nèi)保持不變，第q根發(fā)送天線(xiàn)和第r根接收天線(xiàn)之間的離散信道沖激響應(yīng)可以表示為

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)的發(fā)射機(jī)框圖

其中，L表示信道時(shí)延擴(kuò)展。假設(shè)信道在不同OFDM符號(hào)之間時(shí)變，則時(shí)變信道可視為廣義平穩(wěn)窄帶復(fù)高斯—馬爾可夫過(guò)程。采用一階AR過(guò)程對(duì)時(shí)變信道建模，狀態(tài)空間方程可以寫(xiě)為

其中，Yr(n) = [yr( n, 0),… , yr( n, K -1)]T為頻域接收信號(hào)；為發(fā)送信號(hào)，Xq(n)=diag([xq( n, 0),… ,xq( n, K -1)])表示第q根發(fā)送天線(xiàn)上的發(fā)送信號(hào)；W = INt?F，F(xiàn)表示K×K的DFT矩陣的前L列；ωr( n)表示第r根接收天線(xiàn)上的零均值復(fù)高斯噪聲，噪聲方差為σ2。將所有接收天線(xiàn)上的接收信號(hào)寫(xiě)入 K ×Nr的矩陣則有

其中，H( n, k )=(INt?Fk) h(n),Fk表示F矩陣的第k行。x(n, k)=[ x1( n, k ) ,…,xNt(n, k )]T為發(fā)送信號(hào)矢量，v′(n, k)為相應(yīng)的噪聲矢量。

3 聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)和信道估計(jì)

本節(jié)首先簡(jiǎn)要介紹變分貝葉斯EM算法。假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為θ，α1為感興趣的未知參數(shù)，α2為未知隱數(shù)據(jù)。為了求解α1和α2的聯(lián)合估計(jì)，需要最大化聯(lián)合后驗(yàn)分布這種最大化計(jì)算往往非常復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，VBEM算法定義未知參量的輔助分布 PA( α2, α1)，通過(guò)最小化KL(Kullback-Leibler)距離獲得近似最優(yōu)的輔助分布[5]：

借助 mean-field近似：PA(α2,α1)=Pα2(α2) Pα1(α1)，VBEM算法通過(guò)循環(huán)執(zhí)行VBE步驟和VBM步驟獲得參數(shù)分布估計(jì)，用迭代方式最小化KL距離。在第i次VBEM迭代中，參數(shù)分布的更新過(guò)程[5]如式(8)和式(9)所示：

VBE 步驟：

VBM 步驟：

3.1 空時(shí)檢測(cè)

假設(shè)α1對(duì)應(yīng)待求的信道參數(shù),α2為發(fā)送信號(hào)，接收信號(hào)為觀測(cè)數(shù)據(jù)。VBE 步驟基于從第(i－1)次迭代獲得的信道參數(shù)分布對(duì)的分布進(jìn)行更新：

假設(shè)編碼比特進(jìn)行理想交織，則可以近似認(rèn)為不同 OFDM 符號(hào)、不同子載波上發(fā)送數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性可以忽略。此時(shí)，的更新可以解耦為不同OFDM符號(hào)n、不同子載波k上發(fā)送數(shù)據(jù) x ( n, k)的分布(x ( n, k ))的更新。假設(shè)在第(i－1)次VBEM迭代中已經(jīng)獲得 h( n)的均值以及 hq,r(n)對(duì)應(yīng)的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣則式(10)可以由式(12)計(jì)算：

新推出的類(lèi)MMSE搜索中心轉(zhuǎn)移最大后驗(yàn)概率列表球形譯碼（MLCS-MLSD, MMSE-likecenter-shifting MAP-LSD）算法具有如下優(yōu)勢(shì)：1) 使用類(lèi) MMSE搜索中心可對(duì)搜索空間進(jìn)行限制，從而降低搜索復(fù)雜度[7]；2) MLCS-MLSD算法可以用于發(fā)送天線(xiàn)數(shù)大于接收天線(xiàn)數(shù)（Nt＞Nr）的一般情況；3) 由式(14)可知，在x ( n, k )可能取值的代價(jià)度量計(jì)算中包含了信道估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的影響；4）基于式(15)，MLCS-MLSD算法可以利用文獻(xiàn)[8]中設(shè)計(jì)的最小均方誤差排序 QR分解方法對(duì)搜索層進(jìn)行排序，將具有較高信噪比的層移至接近根的位置優(yōu)先檢測(cè)，在搜索排序中考慮了信道估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的影響。

通過(guò)搜索獲得列表 L ist(x( n, k))后,x (n, k)的概率分布可以近似寫(xiě)成

x( n, k)的均值和方差可以視為檢測(cè)器置信度的一種度量，分別按照式(18)和式(19)計(jì)算：

按照Turbo迭代原理，編碼比特外信息解交織以后送入軟入軟出譯碼器，譯碼器計(jì)算比特的后驗(yàn)信息和外信息，并將外信息重新交織后返回列表球形譯碼作為下次迭代的先驗(yàn)信息。

3.2 信道估計(jì)

假設(shè)初始時(shí)刻的 (0)h 服從高斯分布：

式(25)～式(31)給出了基于軟信息的前向后向Kalman濾波算法，該算法與傳統(tǒng)的前向后向Kalman濾波的不同之處在于：傳統(tǒng)前向后向Kalman濾波基于已知的導(dǎo)頻符號(hào)[10]；而本文中推出的算法中采用均值()n和二階矩代替導(dǎo)頻信息 X ( n)和 X ( n)HX ( n)。從式(30)和式(31)獲得(n-1)及估計(jì)誤差協(xié)方差(n-1)后, 即可相應(yīng)獲得式(13)計(jì)算所需的用于下一次VBE步驟的計(jì)算。

3.3 初始化和接收機(jī)結(jié)構(gòu)

VBEM算法的性能受到初始估計(jì)的影響，為了獲得較為準(zhǔn)確的初始估計(jì)，將數(shù)據(jù)幀的第一個(gè)OFDM符號(hào)用于發(fā)送相互正交的導(dǎo)頻，基于最小二乘算法獲得初始的信道估計(jì)[11]，對(duì) VBEM 迭代進(jìn)行初始化。

本文設(shè)計(jì)的接收機(jī)中存在 2種類(lèi)型的迭代處理。一方面，軟入軟出檢測(cè)和軟入軟出譯碼通過(guò)交換外信息完成 Turbo迭代；另一方面，VBEM 迭代處理通過(guò)交換發(fā)送符號(hào)和信道的后驗(yàn)信息完成聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)和信道估計(jì)，VBEM迭代嵌入在 Turbo循環(huán)中，迭代接收機(jī)框圖如圖2所示。

圖2 Turbo接收機(jī)框圖

4 仿真分析

仿真試驗(yàn)構(gòu)造的2根發(fā)送天線(xiàn)2根接收天線(xiàn)的MIMO-OFDM 系統(tǒng)具有 64個(gè)子載波，系統(tǒng)帶寬為800kHz。信息比特通過(guò)生成多項(xiàng)式為[111,101]8的1/2卷積碼編碼，交織以后進(jìn)行QPSK星座映射。每個(gè)數(shù)據(jù)幀包含一個(gè)導(dǎo)頻符號(hào)和10個(gè)OFDM數(shù)據(jù)符號(hào)。其中第一個(gè)導(dǎo)頻符號(hào)用于初始信道估計(jì)[11]。收發(fā)天線(xiàn)對(duì)之間的信道模型服從三徑的指數(shù)延時(shí)功率譜。假設(shè)Ts表示一個(gè)OFDM符號(hào)的時(shí)間間隔，fd表示多普勒頻率，考慮 fdTs= 0 .02和 fdTs= 0 .03這2種歸一化的多普勒頻率。在以下的仿真結(jié)果圖中，“導(dǎo)頻方法”表示僅依靠導(dǎo)頻進(jìn)行信道估計(jì)的 Turbo迭代接收機(jī)；“本文方法”表示新設(shè)計(jì)的基于 VBEM 算法的Turbo接收機(jī)；“面向判決”表示采用傳統(tǒng)列表球形譯碼[9]和面向硬判決Kalman信道估計(jì)的Turbo接收機(jī)；“文獻(xiàn)[2]方法”表示文獻(xiàn)[2]中設(shè)計(jì)的接收機(jī)。接收機(jī)名稱(chēng)中的“迭代”表示Turbo迭代次數(shù)。

在“面向判決”Turbo接收機(jī)和本文設(shè)計(jì)的接收機(jī)中，列表球形譯碼器搜索相同數(shù)量的列表符號(hào)，而在文獻(xiàn)[2]中，檢測(cè)算法進(jìn)行窮盡搜索。為公平起見(jiàn)，以下的復(fù)雜度對(duì)比沒(méi)有考慮文獻(xiàn)[2]中的窮盡搜索檢測(cè)。表1給出了在相同信噪比和搜索列表點(diǎn)數(shù)的條件下，傳統(tǒng)LSD算法和本文設(shè)計(jì)的MLCS-MLSD算法完成每次搜索所消耗的平均浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)。

表1 檢測(cè)算法復(fù)雜度比較

從表1可以看出，采用MLCS-MLSD算法可以有效減小檢測(cè)算法的搜索復(fù)雜度，同時(shí)計(jì)算出考慮信道估計(jì)誤差影響的符號(hào)度量。

圖 3給出了歸一化多普勒頻率 fdTs= 0 .02時(shí)本文算法在不同Turbo迭代次數(shù)下的誤碼率性能，在每次Turbo迭代中嵌入了3次VBEM迭代。從圖中可以看出：本文設(shè)計(jì)接收機(jī)的誤碼率隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸下降，在第1～第3次迭代時(shí)隨著迭代次數(shù)的增加誤碼率性能有較為明顯的改善，但在第3次迭代以后這種性能提升不再明顯，仿真結(jié)果說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的接收機(jī)大約能在4次迭代內(nèi)收斂。

圖3 fdTs= 0 .02時(shí)接收機(jī)的誤碼率性能

圖4比較了相同仿真條件下本文算法和其他幾種經(jīng)典迭代接收算法的誤碼率性能。從圖中可以看出：在信道快速時(shí)變的條件下，僅依靠導(dǎo)頻進(jìn)行信道估計(jì)的“導(dǎo)頻方法”Turbo接收機(jī)誤碼率很高，這種僅依靠初始導(dǎo)頻和信道統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行信道估計(jì)的方法缺乏時(shí)變跟蹤能力，即使增加迭代次數(shù)和信噪比也不能使接收機(jī)的誤碼率性能得到提高?！氨疚姆椒ā苯邮諜C(jī)的誤碼率在前3次迭代中能隨著迭代次數(shù)的增加而顯著下降，第3次迭代后算法趨于收斂，類(lèi)似的特性也表現(xiàn)在“文獻(xiàn)[2]方法”和“面向判決”Turbo接收機(jī)中。對(duì)比幾種算法的誤碼率性能可以看出：新設(shè)計(jì)的“本文方法”性能優(yōu)于“導(dǎo)頻方法”、“文獻(xiàn)[2]方法”和“面向判決”接收機(jī)的性能；當(dāng)信噪比大于 15dB時(shí)，本文接收機(jī)通過(guò)3次迭代誤碼率可以達(dá)到10-3以下，有效降低了“文獻(xiàn)[2]方法”和“面向判決”接收機(jī)的誤碼平底，這說(shuō)明在時(shí)變較為劇烈的條件下，文中設(shè)計(jì)的接收機(jī)具有更好的頑健性。

圖4 fdTs= 0 .03時(shí)不同接收機(jī)的誤碼率性能比較

圖5 本文設(shè)計(jì)接收機(jī)中信道估計(jì)的歸一化均方誤差性能

圖5給出了2種歸一化多普勒頻率條件下本文接收機(jī)中信道估計(jì)器獲得的歸一化均方誤差（NMSE，normalized mean-square error）[11]。從圖中可以看出，信道估計(jì)的性能隨著 Turbo迭代的進(jìn)行而逐步得到精化，在VBM步驟中估計(jì)的信道信息一方面通過(guò)嵌入Turbo迭代而獲得迭代增益另一方面通過(guò)與VBE步驟交互信息來(lái)提升整個(gè)接收機(jī)信號(hào)檢測(cè)的性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了 MIMO-OFDM 系統(tǒng)中一種新的聯(lián)合符號(hào)檢測(cè)與信道估計(jì)接收機(jī)。該接收機(jī)基于VBEM 算法更新未知發(fā)送符號(hào)和信道系數(shù)的概率分布，在 VBE 步驟中基于前一次迭代獲得的信道參數(shù)估計(jì)更新符號(hào)的后驗(yàn)均值和方差，考慮了信道估計(jì)誤差對(duì)發(fā)送符號(hào)后驗(yàn)分布和比特外信息計(jì)算的影響；在VBM 步驟中基于發(fā)送數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布，推出了基于軟信息的前向后向Kalman濾波算法。仿真結(jié)果證實(shí)了設(shè)計(jì)算法在時(shí)變多徑信道條件下的優(yōu)越性能。

附錄A 式(12)和式(13)的推導(dǎo)

基于式(11)計(jì)算式(10)中的對(duì)數(shù)似然比均值：

假設(shè)編碼比特之間的相關(guān)性因?yàn)槔硐虢豢椂梢院雎裕瑒t有

將式(33)和式(34)代入式(10)獲得式(12)和式(13)。

附錄B 式(14)的推導(dǎo)

基于式(13)，具有較大后驗(yàn)概率的 x ( n, k)的度量J′(x(n, k))應(yīng)滿(mǎn)足下列不等式：

定義度量 J ( x ( n, k))為

注意到 J ( x ( n, k))等式右邊的后兩項(xiàng)和 x ( n, k)無(wú)關(guān)，因此等效不等式條件為 J ( x ( n, k ) )≤ R2，整理可得

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