在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想

譚艷祥，劉仲云，梁小林

（長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410114）

如何結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，從而有效地提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，已經(jīng)是當(dāng)今高校數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競賽活動對于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有積極的推動作用，數(shù)學(xué)建模競賽是集數(shù)學(xué)、計算機、人文修養(yǎng)等多方面于一體的綜合測試。在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中嘗試將高等數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模方法有機結(jié)合，既加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用能力。高等數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用問題，實際上是一些簡單的數(shù)學(xué)建模問題，只是通常高等數(shù)學(xué)教材的處理方法是作為相應(yīng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，按照通常數(shù)學(xué)建模的步驟和方法進行。這樣一些例題雖然簡單，它包含了數(shù)學(xué)建模的全過程，我們講解時完全可以把數(shù)學(xué)建模的思想方法滲透其中。

1 在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的重要性

1）把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中旨在推動普及數(shù)學(xué)建模思想的工作。在許多工程、物理等問題的研究中最終往往會歸結(jié)到一個數(shù)學(xué)模型的問題，大面積地在高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)中普及數(shù)學(xué)建模思想能夠多學(xué)科的相互發(fā)展，達到一個良性循環(huán)的目的。

2）把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中能提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

3）能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如果在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中只是講解一些理論上的定理的分析、證明，這不僅不能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣反而使學(xué)生對數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生了抵抗心理。反之，如果我們在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中加入一些數(shù)學(xué)建模思想的元素，從抽象的概念定理轉(zhuǎn)換成具體的形象的數(shù)學(xué)模型，這樣就能大大的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4）為全國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽打下了良好的基礎(chǔ)。適時適當(dāng)?shù)脑谡n程教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，不僅能完成規(guī)定的教學(xué)課程，而且能使我們的學(xué)生在無形中受到數(shù)學(xué)建模思想的熏陶，促使學(xué)生自覺的去查閱相關(guān)的書籍，為他們參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽打下了良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

5）能夠促使學(xué)生自覺學(xué)習(xí)其它知識。數(shù)學(xué)建模是一門綜合性很強的學(xué)問，其中要用到很多其它學(xué)科的知識。一旦學(xué)生對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生了興趣，這必然使學(xué)生會自覺的去掌握其它的知識，比如計算機軟件等。

2 在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的可行性

1）隨著全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽影響力的普及，很多學(xué)生在上課時自覺要求老師在上課時講解一些數(shù)學(xué)建模的知識。

2）高等學(xué)校的數(shù)學(xué)老師有能力在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想。大部分的數(shù)學(xué)老師都曾經(jīng)參加過或者指導(dǎo)過數(shù)學(xué)建模競賽，對數(shù)學(xué)建模思想有相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識。

3）高等數(shù)學(xué)教材中有很多相關(guān)的簡單的數(shù)學(xué)模型的習(xí)題。例如：①在導(dǎo)數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)的一些應(yīng)用問題中，特別是一些求極值的應(yīng)用問題；②定積分以及多元函數(shù)重積分應(yīng)用的許多例題和習(xí)題；③微分方程一章的各種類型方程的應(yīng)用題；④一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用。這些實際上都是一些簡單的數(shù)學(xué)建模問題。

3 案例分析

由復(fù)旦大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》中關(guān)于一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用一章有這樣1個例題[1-2]：寬為2 m的支渠道垂直地流向?qū)挒? m的主渠道。若在其中漂運原木，問能通過的原木最大長度是多少？

3.1 模型的假設(shè)[3-5]

1）原木的直徑不計（即原木的直徑不可能大于渠道的寬度）。

2）不考慮渠道中水漫過渠堤。

3.2 模型的建立與求解

取O為坐標(biāo)原點，支渠為x軸，主渠為y軸，建立坐標(biāo)系如圖1所示。A、B是通過點C（3，2）且主渠道兩側(cè)壁分別交于A和B的線段。設(shè)∠OAC=t，，則當(dāng)原木長度不超過線段AB的長度L的最小值時，原木就能通過，于是建立目標(biāo)函數(shù)：，由于，當(dāng)時，，于是從解得：。L的最小值一定存在，而在內(nèi)只有1個駐點t0，故它就是L的最小值點。于是：，故能通過的原木最大長度是7.02 m。

圖1 支、主渠示意圖Fig.1The figure of penstocks

通過以上講解，既很好地完成了教學(xué)任務(wù)，同時同學(xué)們在如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立實際問題的數(shù)學(xué)模型方面又得到了訓(xùn)練。

[1]庾建設(shè).高等數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.Yu Jianshe.Higher Mathematics[M].Shanghai：Fudan University Press，2006.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.Department of Mathematics of Tongji University.Higher Mathematics[M].Beijing：Higher Education Press，2007.

[3]姜啟源.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，1993.Jiang Qiyuan.Mathematical Modeling[M].Beijing：Higher Education Press，1993.

[4]阮曉青，周義倉.數(shù)學(xué)建模引論[M].北京：高等教育出版社，2005.Ruan Xiaoqing，Zhou Yicang.An Introduction to Mathematical Modeling[M].Beijing: Higher Education Press，2005.

[5]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2005.Han Zhonggen.Mathematical Modeling and Its Application[M].Beijing：Higher Education Press，2005.