以應(yīng)用引導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

謝美華，嚴(yán)奉霞，趙 俠

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

0 引言

大學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)中最大的困惑在于，學(xué)生通常對(duì)所學(xué)的課程感到枯燥乏味，一味進(jìn)行公式推導(dǎo)和邏輯推理讓學(xué)生感到，數(shù)學(xué)就象是在玩數(shù)字游戲，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生這樣的疑惑——把數(shù)學(xué)問(wèn)題用抽象的符號(hào)表達(dá)出來(lái)并進(jìn)行相應(yīng)的符號(hào)運(yùn)算的確是美，可是這種“唯美”究竟有沒有實(shí)際意義，如果老師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)這一問(wèn)題缺乏相應(yīng)的引導(dǎo)，就會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生“數(shù)學(xué)無(wú)用”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)[1]。因此，在教學(xué)內(nèi)容中添加應(yīng)用部分的內(nèi)容，有效地引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用意義，并以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是數(shù)學(xué)課教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

本文將以高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)課程《矩陣分析》的教學(xué)為例[2]，結(jié)合作者的科研和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從科研實(shí)踐中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將之嵌入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，討論以應(yīng)用引導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方式和重要性。

1 教學(xué)模式和教學(xué)策略

教學(xué)是一個(gè)多環(huán)節(jié)組成的復(fù)雜過(guò)程，要在較短的時(shí)間內(nèi)有效地使學(xué)生掌握更多的知識(shí)，并在一定程度上對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行展開、提升，就需要教師充分地利用各種教學(xué)手段，采用符合教學(xué)規(guī)律、適合本課程特點(diǎn)、面向高年級(jí)的教學(xué)模式和策略。

對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)而言，可從以下幾個(gè)方面考慮采用相應(yīng)的教學(xué)策略。

1.1 注重開發(fā)應(yīng)用實(shí)例[1,3]

學(xué)生從自己的知識(shí)面出發(fā)，很難對(duì)課程的作用有整體上的把握，在競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的信息時(shí)代，學(xué)生的學(xué)習(xí)通常需要和實(shí)踐掛鉤。一旦一門課程讓學(xué)生感到枯燥、乏味、脫離實(shí)際之時(shí)，該門課程也就失去了原有的意義。由于數(shù)學(xué)課通常是一種高度抽象、講究嚴(yán)格的邏輯推理的課程，因而最容易讓學(xué)生產(chǎn)生這種不好的感覺。要避免這種情況的出現(xiàn)，就必須由老師結(jié)合自己的所學(xué)，為學(xué)生補(bǔ)充更多的課外知識(shí)，進(jìn)行合理的引導(dǎo)，讓學(xué)生明確地感到學(xué)有所用。這些應(yīng)用實(shí)例的開發(fā)來(lái)自于教師平時(shí)的科研實(shí)踐和知識(shí)積累。作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的教員，一般的教師都或多或少地承擔(dān)著一些科研課題，這些課題一方面需要我們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行研究，另一方面也給了我們很多來(lái)自科研實(shí)踐的例子。在這種應(yīng)用背景和理論知識(shí)相互促進(jìn)的情況下，老師較容易就會(huì)對(duì)所用的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深地認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)如果能夠通過(guò)深入淺出的方式有效地應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中，無(wú)疑可以很好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.2 采用多種教學(xué)方式[4-5]

應(yīng)用式教學(xué)除了要有較好的應(yīng)用實(shí)例以外，還要將這些應(yīng)用實(shí)例形象地表現(xiàn)出來(lái)，這就需要開發(fā)多種教學(xué)手段，特別是加強(qiáng)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的作用。很多應(yīng)用實(shí)例僅僅通過(guò)板書或是口頭講解都很難形象地表達(dá)，這時(shí)，老師可以借助計(jì)算機(jī)和現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件（如MATHCAD、MATLAB、MATHEMATIC）等進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演示，使教學(xué)過(guò)程更加生動(dòng)、形象、活潑，教學(xué)內(nèi)容更加直觀、新穎。教員還可以通過(guò)校園網(wǎng)絡(luò)教學(xué)，開發(fā)小小的討論園地，給與學(xué)生學(xué)習(xí)、思考和相互進(jìn)步的空間。

1.3 給學(xué)生鍛煉的機(jī)會(huì)

為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，教員可以進(jìn)一步發(fā)掘一些學(xué)生有能力、有興趣去做的小課題，給學(xué)生鍛煉的機(jī)會(huì)。這可以部分地取代課后作業(yè)，作為第二種形式的作業(yè)分配給學(xué)生，讓學(xué)生以組為單位形成相應(yīng)的研究報(bào)告，這種作業(yè)形式對(duì)高年級(jí)的學(xué)生尤其適用。

2 教學(xué)示例

一般而言，以應(yīng)用引導(dǎo)教學(xué)可以分成2種模式。

模式一，以問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)，即先提出問(wèn)題，然后圍繞問(wèn)題的解決展開教學(xué)，達(dá)到有目的的教學(xué)。該方法能有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到引人入勝的目的。

模式二，在理論教學(xué)中插入應(yīng)用示例，即先講述理論知識(shí)，然后舉出恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用例子，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與靈活運(yùn)用。

下面以數(shù)學(xué)專業(yè)課程《矩陣分析》的教學(xué)為例，討論如何利用這2種教學(xué)模式來(lái)引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)。

2.1 以問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)

《矩陣分析》是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一門很重要的課程，它和解方程有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，一般老師在講授這門課程時(shí)通常以線性方程組的求解為例來(lái)引入問(wèn)題，這個(gè)例子對(duì)于引進(jìn)問(wèn)題和理解問(wèn)題有較大的幫助。但是，由于老師在講授這一問(wèn)題時(shí)往往忽視了問(wèn)題產(chǎn)生的科學(xué)背景，而只從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子著手進(jìn)行講解，因此對(duì)學(xué)生的吸引力是有限的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解決較復(fù)雜的科學(xué)問(wèn)題缺乏引導(dǎo)。我們認(rèn)為，將科研實(shí)踐中所提煉出來(lái)的科學(xué)問(wèn)題，較好地運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中去更能培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。下面將數(shù)字圖像處理問(wèn)題引進(jìn)到《矩陣分析》的教學(xué)中[6]。

數(shù)字圖像一般可以用1個(gè)矩陣表示為u(x,y)，其中函數(shù)u(x,y)的取值為圖像在坐標(biāo)為(x,y)的像素點(diǎn)處的灰度值，一般取值在[0,255]之間，(x,y)表示像素點(diǎn)坐標(biāo)，x為豎直方向，y為水平方向，M、N為圖像沿x方向與y方向的尺寸。顯然，這是一個(gè)M×N的矩陣，其成像模型可相應(yīng)地寫成一個(gè)線性方程組

其中：f、u、ε∈RL（L=M×N是圖像像素點(diǎn)個(gè)數(shù)）分別是觀測(cè)圖像、原始圖像和加性噪聲按列拉長(zhǎng)所得到的向量；

H是由空間退化因素生成的降質(zhì)矩陣。

圖像處理中最常見的圖像復(fù)原問(wèn)題就是根據(jù)式（1）和退化圖像f估計(jì)出清晰圖像u，也就是解方程（1）的問(wèn)題。這顯然是一個(gè)直接與矩陣分析的課程內(nèi)容相關(guān)的實(shí)例。在教學(xué)過(guò)程中，可以從以下的角度引導(dǎo)學(xué)生自主地思考矩陣分析中所涉及的相應(yīng)內(nèi)容。

方程（1）往往是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題，因此在求解時(shí)就必須考慮“病態(tài)性”問(wèn)題，即要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

1）方程的病態(tài)性分析，該問(wèn)題涉及《矩陣分析》中矩陣的擾動(dòng)性分析、主成分分析等內(nèi)容。

2）病態(tài)方程的求解方法，該問(wèn)題涉及《矩陣分析》中病態(tài)問(wèn)題求解的總體最小二乘方法、梯度分析與最優(yōu)化等內(nèi)容。

3）病態(tài)方程的解的唯一性、穩(wěn)定性分析，該問(wèn)題涉及到《矩陣分析》中的廣義逆矩陣方面的內(nèi)容。

因此，在教學(xué)過(guò)程中，以問(wèn)題1）為切入點(diǎn)，可以引發(fā)學(xué)生思考矩陣分析中較多方面的內(nèi)容，進(jìn)而可以圍繞這些問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生一步一步解開心中的疑惑，從而較好地抓住學(xué)生具有強(qiáng)烈的好奇心這一點(diǎn)，有效地提高教學(xué)效果。

2.2 在理論教學(xué)中插入應(yīng)用示例

引導(dǎo)教學(xué)模式比較適用于教學(xué)內(nèi)容的宏觀掌握，并啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考。對(duì)于具體知識(shí)的深化，較大程度上要依賴于第二種模式。

如在《矩陣分析》的教學(xué)中，矩陣的奇異值分解是很重要的內(nèi)容，但是很多學(xué)生在學(xué)完該部分內(nèi)容后會(huì)發(fā)生疑問(wèn)——這種奇異值分解究竟有何意義？這時(shí)，可以通過(guò)下例啟發(fā)學(xué)生。

教學(xué)示例 奇異值分解可用于科研實(shí)踐中的圖像壓縮問(wèn)題。

假定一幅圖像有n×n個(gè)像素點(diǎn)，如果將這n2個(gè)像素一起傳送，往往會(huì)顯得數(shù)據(jù)量太大。因此，我們希望能夠改為傳送另外一些比較少的數(shù)據(jù)，并且在接受端能夠利用這些數(shù)據(jù)重構(gòu)原圖像。

不妨用n×n矩陣A表示要傳送的原n×n個(gè)像素。假定對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，得到A=U∑VT，其中奇異值按照從大到小的順序排列。如果從中選擇k個(gè)大奇異值以及與這些奇異值相對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量逼近原圖像，便可以共使用k(2n+1)個(gè)數(shù)值代替原來(lái)的n×n個(gè)圖像數(shù)據(jù)。這k(2n+1)個(gè)被選擇的新數(shù)據(jù)是矩陣A的前k個(gè)奇異值、n×n左奇異向量矩陣U的前k列和n×n右奇異向量矩陣V的前k列的元素。

當(dāng)然，也可以通過(guò)線性方程的求解問(wèn)題來(lái)闡述奇異值分解的意義。

2.3 教學(xué)效果

我們?cè)诖髮W(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)《矩陣分析》課程的教學(xué)實(shí)踐中，同時(shí)采用了上述2種教學(xué)模式。其中，模式一在第一堂課上得到了應(yīng)用，獲到了較好的反響，學(xué)生對(duì)于該門課程的期望值一下子就提高了，下課后很多同學(xué)還就這些問(wèn)題積極地與老師進(jìn)行交流。

模式二在奇異值分解一課上也得到了應(yīng)用，舉例后，學(xué)生對(duì)于該堂課的教學(xué)內(nèi)容認(rèn)識(shí)更深刻了，部分學(xué)生甚至在下課后作了一些小實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

3 結(jié)語(yǔ)

面向應(yīng)用，以應(yīng)用帶動(dòng)教學(xué)的教學(xué)模式較好地改變了數(shù)學(xué)課程枯燥乏味的現(xiàn)狀，較大程度上提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)解決問(wèn)題的實(shí)踐能力和逆向思維能力。

[1]楊孝平，許春根.加強(qiáng)直觀性和應(yīng)用性教學(xué)提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(6)：1-3.Yang Xiaoping，Xu Chungen.Enhancing the Intuitionistic and Application Teaching to Improve the Quality of College Mathematics Teaching[J].College Mathematics，2006，22(6)：1-3.

[2]黃有度，狄成恩，朱士信.矩陣論及其應(yīng)用[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.Huang Youdu，Di Chengen，Zhu Shixin.Matrix Theory and Its Applications[M].Hefei：University of Science and Technology of China Press，2002.

[3]王憲杰.增加應(yīng)用實(shí)例的比例有利于高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的進(jìn)一步提高[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24(1)：24-25.Wang Xianjie.Proportion of the Increased Examples of Application Making for Further Raising Higher Mathematics Teaching Effects[J].College Mathematics，2008，24(1) ：24-25.

[4]王 霞.“再創(chuàng)造”教學(xué)策略的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(5)：21-24.Wang Xia.The Use of Create Again Teaching and Studying Tactics[J].College Mathematics，2005，21(5)：21-24.

[5]黃光東，陳振國(guó).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的探索[J].中國(guó)地質(zhì)教育，2005，14(2)：30-32.Huang Guangdong，Chen Zhenguo.On the Cultivation of the Students’ Ability of Using Mathematical Knowledge in Basic Mathematics Teaching[J].Chinese Geological Education，2005，14(2)：30-32.

[6]張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.Zhang Xianda.Matrix Analysis and Applications[M].Beijing：Tsinghua University Press，2004.