多目標(biāo)投資組合模型的理想點(diǎn)解法

陳國華，廖小蓮

（湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000）

1952年，Harry Markowitz提出了證券組合投資均值-方差模型，它為現(xiàn)代證券組合投資理論奠定了基礎(chǔ)[1]，國內(nèi)外許多學(xué)者依據(jù)這些理論對證券組合投資進(jìn)行了深入的研究，采用不同的方法得出了一系列的研究成果[2-4]。嚴(yán)應(yīng)超等[5]以我國證券市場上2種基本的金融資產(chǎn)股票和債券為例進(jìn)行了具體的實(shí)證分析，得出了多目標(biāo)投資組合模型要優(yōu)于單一目標(biāo)投資組合模型的結(jié)論。本文以總體風(fēng)險損失率作為投資組合的風(fēng)險度量，以換手率刻畫流動性，建立了多目標(biāo)投資組合模型。鑒于多目標(biāo)規(guī)劃問題絕對最優(yōu)解通常是不存在的，本文采用理想點(diǎn)法對模型進(jìn)行求解，并給出了實(shí)際算例。

1 多目標(biāo)投資組合模型的建立

在現(xiàn)代投資組合理論中經(jīng)常使用多目標(biāo)投資組合模型，王夢東等在文獻(xiàn)[6]中引入了偏好參數(shù) ，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單個目標(biāo)的二次規(guī)劃問題，既能彌補(bǔ)以前的模型缺陷，又能尋找到更好的解法來獲得有效投資組合；肖冬榮等[7]在Markowitz的均值方差投資組合模型的基礎(chǔ)上引入偏度水平，并用伸縮指標(biāo)相應(yīng)做出均值、方差和偏度3個模糊目標(biāo)，形成一類新的非線性多目標(biāo)投資組合模型；周洪濤等在文獻(xiàn)[4]中將模糊集合的概念引入投資組合模型中，并將多目標(biāo)投資組合模型中的收益、方差和偏度3個目標(biāo)模糊化，建立了模糊多目標(biāo)投資組合模型，并提出了一個動態(tài)遺傳算法求解；王俊等[8]根據(jù)信息論中熵的概念，提出用熵來度量投資組合對風(fēng)險的分散能力，同時提出了兼顧收益、風(fēng)險、熵的多目標(biāo)投資組合模型，并用改進(jìn)的經(jīng)典遺傳算法求解該模型。

在證券投資決策理論中，投資收益和投資風(fēng)險被認(rèn)為是投資者所關(guān)心的2個主要因素。然而，在證券投資實(shí)踐中，證券的流動性也不能忽視。證券的流動性是指證券的變現(xiàn)能力，目前度量證券流動性的方法較多，其中廣為使用的方法主要有：交易股數(shù)、交易筆數(shù)、交易金額、換手率和流通速度。換手率是股票成交量（或成交額）與流通盤（或流通市值）的比值，它充分反映了股票的流動性[9]。本文以換手率來刻畫流動性，建立帶流動性的多目標(biāo)投資組合模型（MADL）如下：

第j種證券的收益率為隨機(jī)變量Rj，預(yù)期收益率為；

2 多目標(biāo)組合線性優(yōu)化模型的求解

由于MADL是一個多目標(biāo)線性規(guī)劃問題，其絕對最優(yōu)解通常是不存在的。證券組合投資決策的實(shí)質(zhì)是尋求MADL的Pareto有效解，相應(yīng)的證券組合稱為有效的。多目標(biāo)規(guī)劃已有較多的解法[10]，基本方法有：主要目標(biāo)法、分層序列法、評價函數(shù)法、理想點(diǎn)法、線性加權(quán)法等。本文中采用理想點(diǎn)法求解，理想點(diǎn)解法的優(yōu)點(diǎn)是能根據(jù)投資者相應(yīng)的滿意程度得到滿意的投資組合，其具體做法如下：

1）分別求下面3個規(guī)劃問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值

設(shè)P1，P2，P3的最優(yōu)值分別為f *(x)，V*(x)，L*(x)，最優(yōu)解分別為x(1)，x(2)，x(3)，則理想點(diǎn)為

2）檢驗(yàn)理想點(diǎn)，如果x(1)=x(2)=x(3)，絕對最優(yōu)解為x*=x(1),否則，求單目標(biāo)最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

3 數(shù)值算例

設(shè)已知9種股票2005年01月～2006年06月的月收益情況如表1所示，日平均換手率為參考換手率，見表2，通過Excel的計算，求得9種股票的預(yù)期收益率及，見表3、4。

表1 9種股票2005年01月～2006年06月的月收益情況Table 1Monthly earnings of 9 kinds of stock in January 2005 ～ June 2006

續(xù) 表

表2 9種股票2005年01月～2006年06月的日平均換手率Table 2The daily average turnover rate of 9 kinds of stock in January 2005 ～ June 2006

表3 9種股票的預(yù)期收益率Table 3The expected return rate of 9 kinds of stocks

表4 9種股票的Table 49 kinds of stocks

表4 9種股票的Table 49 kinds of stocks

股票序號dj 1 0.189 4 2 0.089 6 3 0.211 1 4 0.234 7 5 0.302 5 6 0.177 8 7 0.130 9 8 0.315 3 9 0.225 0

利用理想點(diǎn)法的最短距離算法求解，得到理想點(diǎn)F=(0.194，0.000 11，0.118 5)，其中，f(x)的極小點(diǎn)x1*=(0,0,0,0,0.5,0,0,0.5,0)T，V(x)的極小點(diǎn)x2*=(0,0,0,0,0.5,0.5,0,0, 0)T，L(x)的極小點(diǎn)x3*=(0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0)，因?yàn)閤1*與x2*和x3*都不同，下面求單目標(biāo)最優(yōu)化問題：

4 結(jié)語

本文將投資組合預(yù)期收益極大化和投資組合絕對偏差和（風(fēng)險）極小化作為目標(biāo)，建立了一種多目標(biāo)證券組合投資模型。鑒于多目標(biāo)規(guī)劃問題絕對最優(yōu)解通常是不存在，本文采用理想點(diǎn)法求解，給出了數(shù)值算例，說明了模型的可行性。

[1]Markowitz H.Portfolio Selection：Efficient Diversification of Investments[M].New York：Wiley，1959.

[2]Konno H，Yamazaki H.Mean-Variance Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications to Tokyo Stock Market[J].Management Science，1991，37(5)：519-531.

[3]Cai X Q，Teo K，Yang X Q，et al.Portfolio Optimization under a Minimax Rule[J].Management Science，2000，46：957-972.

[4]周洪濤，王宗軍，宋海剛.基于模糊優(yōu)化的多目標(biāo)投資組合選擇模型研究[J].華中科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，33(1)：67-69.Zhou Hongtao，Wang Zongjun，Song Haigang.A Multi-Objective Portfolio Selection Model Based on Fuzzy Optimization[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology：Nature Science Edition，2005，33(1)：67-69.

[5]嚴(yán)應(yīng)超，張傳新.多目標(biāo)投資組合研究[J].全國商情（經(jīng)濟(jì)理論研究），2008(2)：80-81.Yan Yingchao，Zhang Chuanxin.Research on Multi-Objective Portfolio[J].National Trade (Economic Theory)，2008(2)：80-81.

[6]王夢東，童仕寬.基于二次規(guī)劃的多目標(biāo)投資組合模型[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報，2007，29(8)：171-174.Wang Mengdong，Tong Shikuan.Multi-Objected Investment Combination Model Base on Quadratic Programming[J].Journal of Wuhan University of Technology，2007，29(8)：171-174.

[7]肖冬榮，黃 靜.基于均值、方差和偏度的投資組合模糊優(yōu)化模型[J].統(tǒng)計與決策，2006(7)：37-38.Xiao Dongrong，Huang Jing.Based on the Mean，Variance and Skewness Portfolio Model by Fuzzy Optimization[J].Statistics and Decision，2006(7)：37-38.

[8]王 俊，葉中行.一種改進(jìn)的實(shí)數(shù)型遺傳算法在多目標(biāo)最優(yōu)投資組合選擇中的應(yīng)用[J].寧夏大學(xué)學(xué)報，2004，25(3)：1-4.Wang Jun，Ye Zhongxing.An Improved Real-Valued Genetic Algorithm in Multi-Objective Optimal Portfolio Selection[J].Journal of Ningxia University，2004，25(3)：1-4.

[9]蘇冬蔚，麥元勛.流動性與資產(chǎn)定價：基于我國股市資產(chǎn)換手率與預(yù)期收益的實(shí)證研究[J].經(jīng)濟(jì)研究，2004(2)：95-105.Su Dongwei，Mai Yuanxun.Liquidity and Asset Pricing：An Empirical Exploration of Turnover and Expected Returns on Chinese Stock Markets[J].Economic Research Journal，2004(2)：95-105.

[10]解可新，韓立信，林友聯(lián).最優(yōu)化方法[M].天津：天津大學(xué)出版社，1997：218-265.Xie Kexin，Han Lixin，Lin Youlian.Optimization[M].Tianjin：Tianjin University Press，1997：218-265.