一類非線性組合系統(tǒng)新的穩(wěn)定性條件

劉 燁，劉建州

（湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105）

0 引言

自20世紀(jì)60年代以來，許多作者從不同角度對非線性大系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題進行了研究[1-9]。如文獻[1-2]構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，用Lyapunov方法來檢驗線性大系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[3]給出了不用Lyapunov函數(shù)的判定準(zhǔn)則，但其判定方法還要涉及到子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此結(jié)果趨于保守。文獻[4]通過對微分方程解的估計，導(dǎo)出了具有時變時滯系統(tǒng)的時滯無關(guān)的穩(wěn)定性條件，卻沒有考慮系統(tǒng)的非線性擾動和不確定性因素，且要求子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。文獻[5]利用比較原理和M矩陣特性導(dǎo)出了非線性組合系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，其假設(shè)是非線性和不確定性部分具有范數(shù)界，僅用一數(shù)值界去刻畫，結(jié)果具有一定的保守性。文獻[6]討論了不確定非線性子系統(tǒng)經(jīng)不確定非線性互聯(lián)而成的組合大系統(tǒng)，給出了可分散反饋鎮(zhèn)定的充分條件，其前提是一隱式矩陣方程有解，但一般情形下這一矩陣方程的解是不存在的。

本文在已有研究基礎(chǔ)上，討論了一類非線性組合系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，獲得了新的穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，這一準(zhǔn)則還放寬了已有文獻對系統(tǒng)不確定性和非線性的要求條件，并對系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題也具指導(dǎo)作用。

1 問題描述

考慮由N個子系統(tǒng)構(gòu)成的非線性組合大系統(tǒng)

對系統(tǒng)（1）做以下假設(shè)：

假設(shè)1 非線性部分

式（2）中：Di為具有非負(fù)對角元的對角矩陣；。

假設(shè)2 關(guān)聯(lián)不確定性

式（3）中：Mij為具有非負(fù)對角元的對角矩陣；。

注1 以往大多數(shù)文獻要求非線性和不確定性滿足匹配條件或具有范數(shù)界，但僅用一數(shù)值界去刻畫非線性部分和不確定性，往往導(dǎo)致結(jié)果趨于保守，而本文用一向量這樣具體模型去描述，比已有文獻的限制條件都弱，可使后面的分析過程和結(jié)果更為精確。

2 主要結(jié)果

將式（4）代入式（1）中，得到

證明 由微分方程的基本性質(zhì)可知方程式（5）的解為

進一步，可得到下面的不等式

然后，利用假設(shè)1和2條件可得

顯然，上式右端是下面微分方程（11）的解

3 數(shù)值實例

考慮如下由2個含不確定性的子系統(tǒng)組成的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)：

解經(jīng)計算得

由計算結(jié)果知：

同時可看出，P為負(fù)M矩陣，故此系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。

此例中的非線性部分和不確定性便不是用范數(shù)界（一數(shù)值界）去估計的，更沒有要求匹配條件。

4 結(jié)語

本文以定理1的形式給出了關(guān)于系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，其優(yōu)點在于運用該準(zhǔn)則可避免構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，其要求的假設(shè)條件比已有文獻所要求的均寬松，在推導(dǎo)過程中運用該準(zhǔn)則可使結(jié)論更為精確，且不涉及子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，本文的結(jié)果還可用于非線性組合大系統(tǒng)魯棒分散鎮(zhèn)定的研究。

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