隨機(jī)利率下增額兩全保險(xiǎn)

王 麗 燕， 郝 亞 麗， 張 海 嬌， 楊 德 禮

（1.大連大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，北京 102206；3.大連理工大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

壽險(xiǎn)中的利率隨機(jī)性問(wèn)題，在近年來(lái)的保險(xiǎn)精算研究中逐步得到人們的關(guān)注.對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，利率隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)是相當(dāng)大的.隨著精算理論研究的深入，利率風(fēng)險(xiǎn)吸引了越來(lái)越多的學(xué)者從事利率隨機(jī)性的研究.

1971年，Polland首次把利息力視為隨機(jī)變量，對(duì)精算函數(shù)進(jìn)行了研究，其后一批學(xué)者開(kāi)始采用各種隨機(jī)模型來(lái)模擬隨機(jī)利率.1976年，Boyel考慮了壽險(xiǎn)與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性”；隨后，Panjer和Bellhouse、Giaccotto、Dhaene、Hürlimann等有過(guò)這方面的研究.對(duì)于隨機(jī)利率，他們都是以時(shí)間序列方法建模的，例如白噪聲過(guò)程、AR（2）過(guò)程和ARIMA過(guò)程等[1].20世紀(jì)90年代，一批學(xué)者利用攝動(dòng)方法建模，得到了具有“雙隨機(jī)性”的確定年金及壽險(xiǎn)的一系列結(jié)果：Beekman等[2、3]分別將息力累積函數(shù)用O－U過(guò)程和 Wiener過(guò)程建模，得到某些年金現(xiàn)值的前二階矩；1993年他們又得到了息力由O－U過(guò)程和Wiener過(guò)程建模的終身壽險(xiǎn)給付現(xiàn)值的前二階矩[4].De Schepper等[5～7]得到了息力由 Wiener過(guò)程建模的某些年金的矩母函數(shù)、分布函數(shù)和Laplace變換.何文炯等[8]對(duì)隨機(jī)利率采用Gauss過(guò)程建模，得到了一類(lèi)即時(shí)給付增額壽險(xiǎn)的給付現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下，得到了矩的簡(jiǎn)潔表達(dá)式.劉凌云等[9]則將息力采用Gauss過(guò)程和Poisson過(guò)程聯(lián)合建模，也給出了一類(lèi)即時(shí)給付增額壽險(xiǎn)給付現(xiàn)值的各階矩，發(fā)展了文獻(xiàn)[8]的結(jié)果.以上都是將利息力采用息力累積函數(shù)i（t）＝δt＋z（t）建模，其中δ是與z（t）無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量或?qū)嵆?shù).與此相聯(lián)系的問(wèn)題是z（t）將可能變成負(fù)的.但實(shí)際上，保費(fèi)收入一般投資于基金和債券，所以z（t）絕不可能是負(fù)的.Perry等[10、11]將隨機(jī)利率采用反射 Brownian運(yùn)動(dòng)（RBM）建模，得到確定年金的期望值公式.Zaks也將隨機(jī)利率采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)建模，討論了確定年金的計(jì)算問(wèn)題[12].無(wú)論是Wiener過(guò)程、Gauss過(guò)程還是反射Brownian運(yùn)動(dòng)，它們都是處處連續(xù)的擴(kuò)散過(guò)程，但現(xiàn)實(shí)的隨機(jī)利率是不頻繁卻又在某些點(diǎn)離散跳躍的過(guò)程.隨機(jī)跳躍是因突發(fā)事件對(duì)利率產(chǎn)生了影響，因此利率的動(dòng)態(tài)過(guò)程分為連續(xù)部分和跳躍部分.Ngwira等[13]討論了養(yǎng)老金在隨機(jī)環(huán)境下的泊松跳躍問(wèn)題，研究結(jié)果表明平均泊松跳躍的增加減少了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的分配，并增加了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的分配.

本文在上述研究工作的基礎(chǔ)上，建立一個(gè)具有儲(chǔ)蓄功能的生死兩全保險(xiǎn)模型，模型中引入增額生存年金、增額終身壽險(xiǎn)以及儲(chǔ)蓄還本部分.考慮到保費(fèi)的實(shí)際投資情況和突發(fā)事件對(duì)利率的影響，用反射Brownian運(yùn)動(dòng)來(lái)描述隨機(jī)利率的連續(xù)變化部分，而用Poisson跳躍過(guò)程來(lái)描述不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)事件對(duì)利率連續(xù)性的破壞.將隨機(jī)利率采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)和Poisson過(guò)程聯(lián)合建模.給出保單全部?jī)r(jià)值的計(jì)算公式，并進(jìn)一步得到死亡均勻分布時(shí)的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

以X記被保險(xiǎn)人在死亡時(shí)的年齡，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，以F（x）記X的分布函數(shù)，則

s（x）＝1－F（x），稱(chēng)為生存函數(shù).用（x）表示年齡為x歲的人，也稱(chēng)x歲生命，X為（x）的壽命，用T（x）表示其剩余壽命，T（x）＝X－x，則T（x）的密度函數(shù)為

其中tpx表示（x）至少活到x＋t歲的概率；某生命在瞬間的死亡概率表示（x）在年齡x＋t處的死亡力.

2 模型的建立

設(shè)被保險(xiǎn)人現(xiàn)齡x歲，身體健康，每年交保費(fèi)m次，每次R元（期初交付），交款至n歲（x＜n）.本文在不考慮稅收情況下討論生死兩全保險(xiǎn).

2.1 保險(xiǎn)責(zé)任

（1）增額壽險(xiǎn)部分：無(wú)論（x）何時(shí)死亡，都在死亡時(shí)即刻賠付保險(xiǎn)金A（1＋α[T]）元，其中A＞0為確定的常數(shù)，α＞0為增長(zhǎng)系數(shù)，[T]為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命.

（2）增額年金部分：如果被保險(xiǎn)人生存至h（h≥n）歲，則h歲以后每年可一次性領(lǐng)取生存保險(xiǎn)金B(yǎng)[1＋（k－h(huán)）l]元，直至死亡，其中B＞0為確定的常數(shù)，l＞0為增長(zhǎng)系數(shù)，k＝h，h＋1，…，[T].

（3）儲(chǔ)蓄還本部分：當(dāng)被保險(xiǎn)人去世時(shí)，退還至死所交保費(fèi)的C倍（C＞0為確定的常數(shù)）.

2.2 保費(fèi)的計(jì)算

首先計(jì)算出保險(xiǎn)公司收入和支出的各項(xiàng)有關(guān)現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望，即精算現(xiàn)值，列出平衡方程，即可求出均衡年保費(fèi)R的值.息力累積函數(shù)采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)和Poisson過(guò)程聯(lián)合建模，即

其中｜Bt｜是反射Brownian運(yùn)動(dòng)，Zt是Poisson過(guò)程，Bt與Zt相互獨(dú)立且均與T（x）獨(dú)立，δ、β、γ是與t無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量或?qū)嵆?shù)且均與Bt、Zt獨(dú)立.

設(shè)投保人每次交保費(fèi)R元，一年交m次，連續(xù)交保費(fèi)n－x年.若每次交付1個(gè)單位的保額，則其現(xiàn)值為e－y（k），k＝0，1，…，n－x－1.以¨an－x表示其精算現(xiàn)值，則共繳純保費(fèi)mRa¨n－x，其中

因Zt是參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程，所以

由反射Brownian運(yùn)動(dòng)的定義，有

從而

2.3 保單價(jià)值的計(jì)算

2.3.1 增額壽險(xiǎn)部分 如果（x）在x＋t歲時(shí)死亡，得到的賠付額為1＋α[T]，則其現(xiàn)值為（1＋α[T]）e－y（T），若用Ax表示其精算現(xiàn)值，則

從而增額壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為AAx元.顯然，當(dāng)α＝0時(shí)，增額壽險(xiǎn)變成了等額壽險(xiǎn).

2.3.2 增額年金部分 若被保險(xiǎn)人（x）生存至h歲以后，第k年可獲得保險(xiǎn)公司支付的1＋（kh）l個(gè)單位的年金，則其現(xiàn)值為[1＋（kh）l]e－y（k），以表示其精算現(xiàn)值，則

式中：qx＋k表示（x＋k）在1 a內(nèi)死亡的概率.

2.3.3 儲(chǔ)蓄還本部分 設(shè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)所得到的返回部分是1個(gè)單位，則其現(xiàn)值為隨機(jī)變量e－y（t），記其精算現(xiàn)值為E（Y），則

根據(jù)平衡原則，得到平衡方程

由平衡方程可以計(jì)算出每次所交保費(fèi)

如果在每一保單年度內(nèi)死亡是均勻發(fā)生的，將保險(xiǎn)期［0，n）分成n等份， 則在每一［k，k＋1）上，T服從均勻分布，在這種情況下，對(duì)任意的t∈ ［k，k＋1），fT（t）＝tpx·qx＋k，于是式（1）變成

其中I［k，k＋1）（t）是示性函數(shù).對(duì)由l0個(gè)新生生命組成的群體，在第x年還生存的人數(shù)為lx，則在第x年死亡的人數(shù)為dx＝lx－lx＋1，于是

并注意到

則在死亡均勻分布條件下，將式（9）～（11）代入到式（4）～ （7）中，有

這樣用生命表就可以簡(jiǎn)單地進(jìn)行保費(fèi)的計(jì)算了.

3 結(jié) 論

本文建立了一個(gè)新的壽險(xiǎn)精算模型，模型中含有終身壽險(xiǎn)、年金和還本部分，對(duì)于投保人來(lái)說(shuō)，這種保險(xiǎn)具有保險(xiǎn)和儲(chǔ)蓄的雙重功能，增加了保險(xiǎn)的吸引力.而且保險(xiǎn)公司可以根據(jù)不同的情況調(diào)整參數(shù)得到不同的保險(xiǎn)產(chǎn)品.本文還同時(shí)考慮了利率的隨機(jī)性，在隨機(jī)利率中引進(jìn)Poisson過(guò)程，可以避免或減小突發(fā)事件所形成的利率風(fēng)險(xiǎn)對(duì)保險(xiǎn)公司的影響；而引進(jìn)反射Brownian運(yùn)動(dòng)，則避免了采用較高的固定利率計(jì)算保費(fèi)給投保人造成的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān).模型充分考慮了投保人和保險(xiǎn)公司的綜合利益，最終使投保人和承保人都有所收獲，可以確保保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的正常進(jìn)行.

[1]伍超標(biāo).博士后研究工作報(bào)告《概率統(tǒng)計(jì)的若干應(yīng)用問(wèn)題》之4.4[R].上海：華東師范大學(xué)，1995：84－92

[2]BEEKMAN J A，F(xiàn)UELLING C P.Interest and mortality randomness in some annuities [J].Insurance：Mathematics and Economics，1990，9（2－3）：185－196

[3]BEEKMAN J A， FUELLING C P. Extra randomness in certain annuity models[J].Insurance：Mathematics and Economics，1991，10（4）：275－287

[4]BEEKMAN J A，F(xiàn)UELLING C P.One approach to dual randomness in life insurance[J].Scandinavian Actuarial Journal，1993，76（2）：173－182

[5]DE SCHEPPER A，DE VYLDER F，GOOVAERTS M，etal.Interest randomness in annuities certain[J].Insurance：Mathematics and Economics，1992，11（4）：271－282

[6]DE SCHEPPER A，GOOVAERTS M.Some further results on annuities certain with random interest[J].Insurance：Mathematics and Economics，1992，11（4）：283－290

[7]DE SCHEPPER A，GOOVAERTS M，DELBAEN F.The Laplace transform of annuities certain with exponential time distribution [J]. Insurance：Mathematics and Economics，1992，11（4）：291－294

[8]何文炯，蔣慶榮.隨機(jī)利率下的增額壽險(xiǎn) [J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) A輯（中文版），1998，13（2）：145－152

[9]劉凌云，汪榮明.一類(lèi)隨機(jī)利率下的增額壽險(xiǎn) [J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2001，17（3）：283－290

[10]PERRY D，STADJE W.Function space integration for annuities [J].Insurance：Mathematics and Economics，2001，29（1）：73－82

[11]PERRY D，STADJE W，YOSEF R.Annuities with controlled random interest rates [J].Insurance：Mathematics and Economics，2003，32（2）：245－253

[12]ZAKS A.Annuities under random rates of interest[J].Insurance：Mathematics and Economics，2001，28（1）：1－11

[13]NGWIRA B，GERRARD R.Stochastic pension fund control in the presence of Poisson Jumps[J].Insurance：Mathematics and Economics，2007，40（2）：283－292