諧波級(jí)數(shù)表示與周期時(shí)變參數(shù)模型間關(guān)系

曲 強(qiáng)， 金 明 錄

（1.大連理工大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

0 引 言

循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的研究主要起始于20世紀(jì)70年代，最初的研究主要集中在循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的分解上，將循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程分解為一組平穩(wěn)隨機(jī)過程的表達(dá)式，這些平穩(wěn)隨機(jī)過程之間是相關(guān)的.之后研究的重點(diǎn)又放在信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜上，由于信號(hào)是周期的或幾乎周期的，可以用傅里葉級(jí)數(shù)來表示.隨后Gradner又提出了譜相關(guān)理論和譜冗余概念，并將其應(yīng)用于解決各種實(shí)際問題之中［1］.

循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的分析與處理已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活的各個(gè)領(lǐng)域，越來越受到各學(xué)科對(duì)其研究的重視，并成為信號(hào)處理學(xué)界近年來感興趣的研究熱點(diǎn)之一［2～4］.對(duì)于循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的模型已有眾多研究，文獻(xiàn)［5］研究了適用于循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的線性時(shí)變周期系統(tǒng)的周期濾波器的設(shè)計(jì)問題，提出了采用直接型和時(shí)間基函數(shù)展開型自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)問題，文獻(xiàn)［6、7］分別研究了采用周期自回歸模型和向量自回歸模型實(shí)現(xiàn)對(duì)二階循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的建模問題，文獻(xiàn)［8］研究了線性周期時(shí)變模型與線性時(shí)不變多輸入多輸出結(jié)構(gòu)間的等價(jià)性關(guān)系.此外，文獻(xiàn)［9、10］將諧波級(jí)數(shù)表示應(yīng)用到電磁場(chǎng)分析與計(jì)算之中并獲得較好的效果.

諧波級(jí)數(shù)表示（HSR）和周期時(shí)變參數(shù)模型是描述循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的兩種常用參數(shù)化方法，本文從循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示出發(fā)，研究諧波級(jí)數(shù)表示與周期時(shí)變參數(shù)模型間的關(guān)系，并提出一種構(gòu)造周期時(shí)變參數(shù)模型的方法，最后通過仿真驗(yàn)證這兩種模型的一致性.

1 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程及諧波級(jí)數(shù)表示

1.1 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義

若一個(gè)隨機(jī)過程x（t）的均值Mx（t）與時(shí)間有關(guān)，是時(shí)間t的周期函數(shù)，則稱該隨機(jī)過程為一階循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，即其均值滿足

其中Mx（t）＝E［x（t）］，是隨機(jī)過程x（t）的統(tǒng)計(jì)均值；T表示周期；k＝1，2，3，….

若一個(gè)隨機(jī)過程x（t）的時(shí)變自相關(guān)函數(shù)定義為

當(dāng)對(duì)于每一個(gè)固定的延時(shí)τ，rx（t，τ）是關(guān)于時(shí)間變量t的周期函數(shù)，則稱該隨機(jī)過程是二階循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程.既然rx（t，τ）是關(guān)于t的周期函數(shù)，rx（t，τ）可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)的形式.令α＝n/T，n＝1，2，3，…，T是rx（t，τ）的周期，則有

其中（τ）被稱為循環(huán)自相關(guān)函數(shù)，α為循環(huán)頻率.當(dāng)α＝0時(shí)，Rαx（τ）就是通常的自相關(guān)函數(shù).對(duì)于一個(gè)循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，必定存在一個(gè)循環(huán)頻率α≠0，使得循環(huán)自相關(guān)函數(shù)Rαx（τ）不為零.

1.2 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示

由文獻(xiàn)［1］可知，周期為T的循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程x（t）可以用一組聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程｛xp（t），p＝0，±1，…｝表示，即

其中

由式（6）可知，諧波級(jí)數(shù)表示中的第p個(gè)分量xp（t）ej2πpt/T可以看做是輸入x（t）通過理想帶通濾波器的輸出.該帶通濾波器的傳遞函數(shù)為

這樣，從頻域很容易理解諧波級(jí)數(shù)表示的本質(zhì)，它是將x（t）分解為以1/T的整數(shù)倍頻率為中心頻率及帶寬為1/T的分量之和.雖然式（5）適用于任意的隨機(jī)過程，但它特別適用于周期為T的循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，這時(shí)xp（t）之間是聯(lián)合平穩(wěn)的，它們之間存在相關(guān)性；當(dāng)xp（t）之間不相關(guān)時(shí)，x（t）為平穩(wěn)隨機(jī)過程.

2 理論分析

循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程除了可以采用諧波級(jí)數(shù)表示外，周期時(shí)變參數(shù)模型（周期自回歸模型、周期滑動(dòng)平均模型以及周期自回歸滑動(dòng)平均模型）也是表示循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的常用方法.接下來，將從循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示出發(fā)，證明通過適當(dāng)?shù)淖儞Q可以將諧波級(jí)數(shù)表示轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的周期時(shí)變參數(shù)模型，進(jìn)而得到一種求取循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程周期時(shí)變參數(shù)模型的方法.

對(duì)式（5）中的x（t）以Ts＝T/M為周期進(jìn)行采樣可得

令p＝rM＋m，上式可化為

由于平穩(wěn)隨機(jī)過程的和還是平穩(wěn)的，定義M個(gè)新的過程式（9）可化為

將nTs簡(jiǎn)寫為n，并令n＝cM＋d，式（10）可以表示為

根據(jù)Wold分解定理，平穩(wěn)隨機(jī)過程ym（cM＋d）可以采用滑動(dòng)平均（MA）模型來表示，即

其中w（·）為白噪聲序列.將式（12）代入式（11）可得

盡管式（13）中的b（m，l）是時(shí)不變的，但ej2πmd/M是時(shí)變的，因此式（13）本質(zhì)上還是一個(gè)時(shí)變參數(shù)模型.另一方面，因?yàn)閑j2πmd/M關(guān)于d的周期是M，因此也是周期的，令

因?yàn)閎（d＋cM，l）＝ … ＝b（d＋M，l）＝b（d，l），所以式（13）可以表示成如下的周期滑動(dòng)平均（周期MA）參數(shù)模型的形式：

若令n＝cM＋d，則式（15）可以表示為

至此證明了由諧波級(jí)數(shù)表示可以獲得相應(yīng)的周期 MA參數(shù)模型.在假設(shè)多項(xiàng)式B（z）＝b（n，0）＋b（n，1）z－1＋…＋b（n，q）z－q＋… 所有的根都位于單位圓內(nèi)時(shí)，式（16）所示的周期MA模型是可逆的，可以表示為如下周期自回歸滑動(dòng)平均（周期AR）模型形式：

其中每個(gè)a（n，i）均可由全部b（n，l）的某種函數(shù)來表示，由于b（n，l）是周期的，a（n，i）也是周期的，且它們的周期相同.周期自回歸滑動(dòng)平均（周期ARMA）模型是周期AR模型和周期MA模型之和，因此下面的周期ARMA模型將具有更廣泛的代表性.

考慮到實(shí)際應(yīng)用的需要，周期ARMA模型的階數(shù)可以取保證一定精度情況下的有限值.設(shè)AR部分和MA部分的階數(shù)分別為p和q，則式（18）所示的模型可以表示為

綜上可知：對(duì)循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到相應(yīng)的周期MA模型、周期AR模型和周期ARMA模型表示.

3 仿真研究

為了驗(yàn)證上述方法的正確性，對(duì)由循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示獲得的周期MA參數(shù)模型的性能進(jìn)行仿真.考慮如式（20）所示的諧波級(jí)數(shù)表示：

其中a（n）為平穩(wěn)隨機(jī)過程，該信號(hào)是按照如下方法產(chǎn)生的：首先產(chǎn)生一段在［－1，1］均勻分布的白噪聲，將該白噪聲通過傳遞函數(shù)為H（z）＝1/（1－0.9z－1）的低通濾波器后而得到.由式（20）可知，該循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的歸一化循環(huán)頻率為α＝0.2，經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出其循環(huán)自相關(guān)函數(shù)為

式中：ra（τ）為平穩(wěn)隨機(jī)過程a（n）的自相關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式為

其中為平穩(wěn)隨機(jī)過程a（n）的方差.在仿真中＝0.33，樣本點(diǎn)數(shù)為1 000，最大延時(shí)為40，歸一化循環(huán)頻率（按采樣頻率進(jìn)行歸一化處理）采樣間隔為0.1，并采用高階AR模型來逼近MA模型的方法建立平穩(wěn)隨機(jī)過程a（n）的MA模型，選擇高階AR模型的階數(shù)為100，MA模型的階數(shù)為16，當(dāng)獲得MA模型的參數(shù)估計(jì)后，采用式（16）構(gòu)造周期MA模型，則所獲得的周期MA模型輸出信號(hào)的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)如圖1所示.

圖1 循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的幅值Fig.1 Amplitude of cyclic autocorrelation function

由圖1可知，當(dāng)α＝0和α＝±0.2時(shí)，周期MA模型估計(jì)的信號(hào)循環(huán)自相關(guān)函數(shù)不為零，而其他α值的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)均為零，與式（21）所示的理論結(jié)果相一致，從而說明了本文方法的有效性.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證諧波級(jí)數(shù)表示與周期MA模型間的一致性，仿真中選取另外100組與辨識(shí)模型無關(guān)的樣本進(jìn)行模型校驗(yàn)，校驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，其橫坐標(biāo)為樣本點(diǎn)數(shù)，縱坐標(biāo)為輸出信號(hào)的幅值.由圖2可知，周期MA模型的輸出與諧波級(jí)數(shù)模型的輸出基本一致，從而進(jìn)一步說明了本文方法的有效性.

圖2 模型校驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Checked results of model

4 結(jié) 論

本文從循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的諧波級(jí)數(shù)表示出發(fā)，給出了在一定精度要求下，由循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程諧波級(jí)數(shù)表示獲得周期時(shí)變參數(shù)模型的方法，并通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

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