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    一類變冪率的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建和分析

    2010-06-07 03:15:12薩,超,
    關(guān)鍵詞:模型

    那 日 薩, 張 書 超, 穆 青

    (大連理工大學(xué) 管理學(xué)院,遼寧 大連 116024)

    0 引 言

    現(xiàn)實(shí)世界中許多系統(tǒng)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述,20世紀(jì)末,Albert等在對(duì)互聯(lián)網(wǎng)的研究中發(fā)現(xiàn)了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(scale-free network),即節(jié)點(diǎn)度分布服從冪律分布,從而開辟了人類對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的新天地.

    BA模型[1]是第一個(gè)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)演化模型,它捕捉到了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)形成的增長(zhǎng)和擇優(yōu)連接這兩個(gè)必不可少的機(jī)制,說(shuō)明了大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自組織成為無(wú)標(biāo)度狀態(tài)的原因.BA模型雖然比較準(zhǔn)確地把握了現(xiàn)實(shí)世界中網(wǎng)絡(luò)最基本的特點(diǎn),較好地解釋了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制,但其與現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)相比,仍有一定的差距,如多數(shù)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)具有很大的集聚系數(shù),它們的度分布指數(shù)γ一般介于(2,3)[2~4],相反BA 網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大趨于0且其度分布指數(shù)γ=3.

    為了對(duì)現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行更深入的分析和研究,還需要對(duì)BA模型進(jìn)行擴(kuò)充,使它更加符合實(shí)際.劉慧等[5]兼顧局域演化、增長(zhǎng),以及局域與局域外存在較弱連接等3方面因素的加權(quán)網(wǎng)絡(luò),發(fā)現(xiàn)它服從冪律指數(shù)為(2,3)的冪律分布.Krapivsky等[6]研究了非線性的擇優(yōu)連接機(jī)制,并證明線性擇優(yōu)連接時(shí)的冪率分布指數(shù)γ∈(2,∞).Dorogovtsev等[7]考慮了老節(jié)點(diǎn)之間的連接或者斷開的情況,用節(jié)點(diǎn)連通的平均度的變化率來(lái)建立模型,并計(jì)算出該模型的網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)γ=2+1/(1+2c),其中c∈R.Albert等[8]建立的模型則加入了一個(gè)老節(jié)點(diǎn)之間連接和已有邊的重新連接這兩種情況.但如何用連續(xù)域的解析方法建立和論證具有一般意義的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型仍是需要解決的問(wèn)題,這對(duì)于細(xì)致地分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化過(guò)程具有重要意義.本文基于BA模型(新增節(jié)點(diǎn)的度為m),引入老節(jié)點(diǎn)之間的線性擇優(yōu)連接機(jī)制(每次新增p條邊),建立一類變冪率的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型,用連續(xù)域的方法[9]給出這類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化的解析結(jié)果,并給出該網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù);同時(shí)通過(guò)一些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的分析,說(shuō)明該網(wǎng)絡(luò)模型的有效性和合理性.

    1 模型的演化規(guī)則

    BA模型只考慮了新加入節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)已存在節(jié)點(diǎn)的連接情況,忽略了系統(tǒng)已存的老節(jié)點(diǎn)間的連接情況,為此基于BA模型,本文引入老節(jié)點(diǎn)之間的連接機(jī)制,構(gòu)建一類新的網(wǎng)絡(luò)演化模型,其演化規(guī)則描述如下:

    (1)在初始時(shí)刻t=0,假定系統(tǒng)中已有少量(m0個(gè))節(jié)點(diǎn).

    (2)t=1時(shí)刻,新增一個(gè)度為m(m≤m0)的節(jié)點(diǎn)(與系統(tǒng)中原有的m0個(gè)初始節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接,并且m0個(gè)孤立點(diǎn)之間產(chǎn)生p條邊(p≤m0(m0-1)/2)).

    (3)在以后每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi),向系統(tǒng)增加一個(gè)度為m的新節(jié)點(diǎn),其m條邊擇優(yōu)連接到網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的不同節(jié)點(diǎn)上,并且現(xiàn)有系統(tǒng)老節(jié)點(diǎn)間擇優(yōu)產(chǎn)生p條邊,直至網(wǎng)絡(luò)達(dá)到所需要的大小為止.這樣在經(jīng)過(guò)t個(gè)時(shí)間間隔后,便形成一個(gè)具有N=m0+t個(gè)節(jié)點(diǎn)、(m+p)t條邊的網(wǎng)絡(luò).

    具體的演化示意圖見(jiàn)圖1,初始時(shí)刻m0=5,若m=3,p=2.t=1時(shí),新增節(jié)點(diǎn)5與節(jié)點(diǎn)0、1、4相連,老節(jié)點(diǎn)2與3、3與4之間產(chǎn)生p=2條邊.t=2時(shí),新增節(jié)點(diǎn)6與節(jié)點(diǎn)3、4、5相連,已有節(jié)點(diǎn)0與2、3與5產(chǎn)生p=2條邊.

    圖1 網(wǎng)絡(luò)演化示意圖Fig.1 Sketch diagram of network evolution

    下面給出該網(wǎng)絡(luò)演化的解析方程.

    2 網(wǎng)絡(luò)模型的解析解及計(jì)算分析

    在t時(shí)刻系統(tǒng)中有m0+t個(gè)節(jié)點(diǎn),設(shè)模型中i節(jié)點(diǎn)的連通度為ki(t).根據(jù)前述演化規(guī)則,一方面考慮依據(jù)BA規(guī)則新增節(jié)點(diǎn)及其連接,一方面考慮老節(jié)點(diǎn)間的連接.

    根據(jù)BA模型演化的擇優(yōu)連接規(guī)則,i節(jié)點(diǎn)與新增節(jié)點(diǎn)連接的概率為P i(t),其中Pi(t)取決于該節(jié)點(diǎn)的連通度,

    假設(shè)ki(t)連續(xù),由于新增節(jié)點(diǎn)與老節(jié)點(diǎn)間的連接,以及老節(jié)點(diǎn)之間的連接均服從擇優(yōu)連接規(guī)則,對(duì)已有節(jié)點(diǎn)i,有

    其中Δk(t)表示t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)連通度的增量.在一個(gè)時(shí)間間隔網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)連通度的變化Δk(t)由兩部分構(gòu)成,一是由新增節(jié)點(diǎn)增加的m條邊導(dǎo)致的新增連通度m,二是由老節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生p條邊導(dǎo)致的新增連通度2p.因此有Δk(t)=m+2p,又考慮到則有

    設(shè)節(jié)點(diǎn)i是t i時(shí)刻添加到系統(tǒng)的,則連通度ki(ti)=m,此即為式(3)中微分方程的初始條件.通過(guò)計(jì)算,可得方程(3)的解

    考慮節(jié)點(diǎn)連通度ki(t)小于k的概率P(ki(t)<k)可表示為

    假設(shè)時(shí)間t服從均勻分布,即

    那么節(jié)點(diǎn)連通度的分布函數(shù)P(k)為

    從中可得節(jié)點(diǎn)度分布呈冪率分布,其冪指數(shù)為

    式(9)可改寫為

    如果令c=p/m,則式(10)與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果相同.由式(10),節(jié)點(diǎn)度分布的冪指數(shù)γ∈ (2,3],這與目前實(shí)際網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)的值是符合的.p與m取值不同時(shí)γ的變化如下:

    (1)當(dāng)p=0時(shí),γ=3,即轉(zhuǎn)化為BA模型;

    (2)當(dāng)pm時(shí),即老節(jié)點(diǎn)連接的邊遠(yuǎn)小于新節(jié)點(diǎn)連接的邊時(shí),γ接近3;

    (3)當(dāng)pm時(shí),即老節(jié)點(diǎn)之間的連接遠(yuǎn)大于新加入節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的邊時(shí),γ接近2.

    這說(shuō)明,本文模型能夠更好地描述實(shí)際網(wǎng)絡(luò)演化問(wèn)題,并且,BA演化模型只是其一個(gè)特例.

    圖2給出了選取不同的p、m下利用理論結(jié)果式(8)計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)連通度分布函數(shù)圖形.

    圖2是初始有7個(gè)點(diǎn)按照本文所述的演化規(guī)則演化到10 000個(gè)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)后節(jié)點(diǎn)的度分布情況.

    通過(guò)圖2可以看出,在m=3的情況下,隨著p的增大,曲線斜率的絕對(duì)值減小,即隨著p/m的增大,γ減小,結(jié)合式(10)可得γm=3,p=1=2.6,γm=3,p=7=2.18.圖3給出了一個(gè)隨機(jī)模擬節(jié)點(diǎn)連通度分布與理論分布函數(shù)比較的圖.

    通過(guò)圖3可以看出,隨機(jī)模擬理論模型的節(jié)點(diǎn)連通度的分布結(jié)果一致,此時(shí)理論節(jié)點(diǎn)度分布的冪率指數(shù)γm=3,p=1=2.6.

    圖2 不同的p、m下節(jié)點(diǎn)連通度分布函數(shù)圖形Fig.2 The diagram of distribution function of node connectivity in different p,m

    圖3 連通度分布與理論分布的比較(m0=5,m=3,p=1)Fig.3 The comparison of connectivity distribution and theoretical distribution function(m0=5,m=3,p=1)

    3 網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)和平均路徑

    根據(jù)定義,節(jié)點(diǎn)i的集聚系數(shù)Ci等于它的k i個(gè)直接鄰居之間實(shí)際存在的邊數(shù)E i占所有可能存在 的 邊 數(shù)k i(ki-1)/2 的 比 例,即Ci=2Ei/[ki(ki-1)].整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)指的是所有節(jié)點(diǎn)集聚系數(shù)的算術(shù)平均值.可見(jiàn),Ci只與兩個(gè)變量E i和k i有關(guān),只有當(dāng)Ei和k i變化時(shí),Ci才隨著改變.章忠志等[9]曾給出與BA網(wǎng)絡(luò)等價(jià)的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù).由于在本模型中,只有新節(jié)點(diǎn)與老節(jié)點(diǎn)之間才建立連接,當(dāng)新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)i且與i的鄰居進(jìn)行連接時(shí),或者節(jié)點(diǎn)i的鄰居之間發(fā)生連接時(shí),節(jié)點(diǎn)的ki和E i會(huì)發(fā)生改變,從而改變Ci的值.Ci滿足下面的動(dòng)態(tài)方程:

    其中ΔCin表示新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)i和它的n個(gè)鄰居時(shí)集聚系數(shù)的變化值,Pin表示這一變化的概率.ΔCin滿足下式:

    Pin由兩部分的乘積構(gòu)成:第1部分是有一條新邊連接到節(jié)點(diǎn)i的概率,這一概率由式(3)給出;第2部分指的是其余(m+p-1)條新邊連接到節(jié)點(diǎn)i的n個(gè)鄰居的概率,它等價(jià)于每次成功概率為n(i)/(2m+2p)t的(m+p-1)重貝努利試驗(yàn)中,成功n次的概率.n(i)表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居數(shù)目,其值可通過(guò)下面的積分獲得.

    綜上可得Pin的關(guān)系式為

    由式(14)知:n>1時(shí),Pin很小,可以忽略.將式(4)、(12)、(14)代入方程(11),忽略低階項(xiàng),得

    由式(15),可得到Ci隨時(shí)間的演化公式:

    對(duì)式(16)進(jìn)行積分計(jì)算,就可得到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均集聚系數(shù)

    可見(jiàn),根據(jù)該演化模型,可推定其平均集聚系數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大而迅速下降.當(dāng)p=0時(shí),

    由式(18)知該演化模型的平均集聚系數(shù)與BA網(wǎng)絡(luò)完全相同,BA模型只是該演化模型的特例.

    網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度是指網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的平均最短距離,它描述了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的分離程度.這里節(jié)點(diǎn)間的距離指的是從一節(jié)點(diǎn)到另一節(jié)點(diǎn)所要經(jīng)歷的邊的最小數(shù)目.平均路徑長(zhǎng)度的計(jì)算公式為,其中d ij為節(jié)點(diǎn)i和j之間的最短距離,N為網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模.關(guān)于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度的解析計(jì)算,目前還沒(méi)有普適的一般性方法.BA模型平均路徑的較精確解直到最近才被Chen等[10]給出,可見(jiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度求解的困難.在今后的工作中,將對(duì)本文模型的平均路徑長(zhǎng)度的解析計(jì)算進(jìn)行深入研究.

    4 幾個(gè)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的估計(jì)

    在現(xiàn)實(shí)生活中,實(shí)際的許多網(wǎng)絡(luò)如電影演員合作網(wǎng)等呈現(xiàn)出無(wú)標(biāo)度現(xiàn)象,這些網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)規(guī)模下的冪率分布指數(shù)和節(jié)點(diǎn)平均連通度見(jiàn)表1.

    表1 實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度現(xiàn)象Tab.1 The scale-free phenomenon in the real networks

    這里假設(shè)實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)是由BA模型演化而來(lái),設(shè)網(wǎng)絡(luò)初始有m0個(gè)節(jié)點(diǎn),經(jīng)過(guò)w時(shí)間,則有〈k〉=2mw/(m0+w),當(dāng)w→∞時(shí),m則近似為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉的1/2,將m、γ代入式(10)可以計(jì)算出p.本文模型是同時(shí)考慮新增節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生連接和老節(jié)點(diǎn)間的連接,則有〈k〉=2(m+p)w/(m0+w),所以可近似地認(rèn)為〈k〉= (m+p)/2,這樣可以由算出的p和〈k〉推出m的值,結(jié)合式(10)可得本文模型的γ,具體結(jié)果見(jiàn)表2.

    表2 實(shí)際網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的估計(jì)Tab.2 The estimation of parameters on the real networks

    表2中γBA表示BA模型推出的冪率分布指數(shù),mBA表示假設(shè)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)遵照BA模型演化時(shí)近似推得的BA模型中的m值,pwe表示由γ、mBA結(jié)合式(10)計(jì)算的p值,mwe是根據(jù)pwe和〈k〉近似得到的本模型中m值,γwe則是將pwe、mwe代入式(10)計(jì)算得到的本模型的冪率分布指數(shù)值.

    通過(guò)表2可以看出本模型所得到的冪率分布指數(shù)比BA模型更接近于實(shí)際網(wǎng)絡(luò),從而也證明了本模型的合理性和適用性.

    5 結(jié) 語(yǔ)

    用連續(xù)域的解析方法建立和論證具有一般意義的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型,對(duì)于分析大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化規(guī)律、準(zhǔn)確計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各項(xiàng)綜合指標(biāo)(如集聚系數(shù))具有重要意義.本文提出了一類變冪率的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型,模型在BA模型的基礎(chǔ)上,加入系統(tǒng)已存節(jié)點(diǎn)之間的連接(其連接隱含擇優(yōu)連接機(jī)制),并用連續(xù)域方法給出了該模型節(jié)點(diǎn)連通度分布函數(shù)的解析解和網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù).通過(guò)模擬計(jì)算分析,驗(yàn)證了本文所提出的變冪率的網(wǎng)絡(luò)模型為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),并且其冪率為2(m+p)/(m+2p)+1,通過(guò)調(diào)節(jié)m和p的值,可以讓其冪率在(2,3)變化.當(dāng)p=0時(shí),該模型與BA模型是一致的.通過(guò)一些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù),近似計(jì)算出本模型的冪率分布指數(shù),驗(yàn)證了該模型較之BA模型更具合理性和有效性.當(dāng)然這里僅考慮了老節(jié)點(diǎn)之間產(chǎn)生新連接的問(wèn)題,現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)涉及的其他問(wèn)題并沒(méi)有加入到模型中,在今后的研究中,將進(jìn)一步完善.

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