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    單向收縮QR算法在奇異值分解中的收斂特性

    2010-04-26 09:26:36趙學(xué)智葉邦彥
    關(guān)鍵詞:數(shù)量級(jí)階數(shù)對(duì)角

    趙學(xué)智,葉邦彥

    (華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州 510640)

    近年來奇異值分解(singular value decomposition,SVD)在圖像處理、系統(tǒng)辨識(shí)、控制理論、信號(hào)處理、故障檢測(cè)與診斷等很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。將SVD應(yīng)用于工程實(shí)際所需解決的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)其數(shù)值計(jì)算(一般用QR算法實(shí)現(xiàn))。本文首先系統(tǒng)地總結(jié)了一般矩陣數(shù)值計(jì)算文獻(xiàn)中所介紹的QR算法的特點(diǎn),給出了一個(gè)該算法在處理由某些小幅度信號(hào)構(gòu)造的大矩陣的奇異值分解時(shí)不收斂的具體實(shí)例,進(jìn)而研究了產(chǎn)生該不收斂現(xiàn)象的本質(zhì)原因。通過對(duì)QR迭代過程中Givens矩陣變化特點(diǎn)的理論分析,對(duì)算法的收斂特性進(jìn)行了深入的解剖,指出該算法在處理大型矩陣的SVD時(shí)不收斂的根本原因在于首行對(duì)角帶元素的衰減,并進(jìn)一步得到了一個(gè)關(guān)于首行元素的衰減對(duì)QR算法收斂速度影響的重要結(jié)論,利用實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行證實(shí),為多次分割、雙向收縮QR算法的提出奠定了基礎(chǔ)。

    1 奇異值分解的數(shù)值計(jì)算問題

    SVD的數(shù)值計(jì)算并不容易,在一些文獻(xiàn)中,矩陣A的奇異值分解是通過計(jì)算AAT和ATA的特征值和特征向量實(shí)現(xiàn)的[2-5]。由于該二類矩陣是對(duì)稱陣,利用Jacobi方法[2-3]可計(jì)算出其特征值和特征向量。但是,該方法有兩個(gè)缺點(diǎn):

    (1) 計(jì)算AAT或ATA的運(yùn)算量較大;

    (2) 在計(jì)算AAT或ATA時(shí),由于存在舍入誤差,會(huì)導(dǎo)致信息損失,有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算所得到的奇異值面目全非。

    文獻(xiàn)[1]提出了一種直接計(jì)算SVD的方法,首先利用Householder變換將A化為上雙對(duì)角線矩陣,再利用帶隱式位移的QR算法將上雙對(duì)角線陣化為對(duì)角線陣,可分別得到U、S、V。文獻(xiàn)[6-8]針對(duì)一些特殊的矩陣如正定Toeplitz矩陣、Hessenberg矩陣等,對(duì)該算法提出了一些相應(yīng)的改進(jìn)措施。文獻(xiàn)[9-10]提供了基于文獻(xiàn)[1]提出的QR算法實(shí)現(xiàn)SVD的數(shù)值計(jì)算程序。但是由于該算法本身的原因,這些程序都對(duì)其中的QR迭代總次數(shù)做出了限制,因而其可處理的矩陣階數(shù)絕不可能很大。

    2 單向收縮QR算法

    該上雙對(duì)角化過程比較簡(jiǎn)單,值得研究的是在完成了上雙對(duì)角化過程后,再對(duì)矩陣B執(zhí)行QR迭代以最終實(shí)現(xiàn)對(duì)角化時(shí),當(dāng)矩陣階數(shù)很大,在QR迭代時(shí)如果不注意收縮方向的選擇、矩陣的分割、非零元素的不同方向驅(qū)逐等因素,則QR算法就有可能出現(xiàn)不收斂的情況。

    QR迭代是通過一系列Givens平面旋轉(zhuǎn)矩陣實(shí)現(xiàn)的,Givens平面旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)正交矩陣:

    式中c=cosθ;s=sinθ;除了已標(biāo)示出的矩陣元素外,其余位置的元素全部為零。

    設(shè)階數(shù)為d的上雙對(duì)角方陣B的通用形式為:

    圖1 非零元素的驅(qū)逐過程

    式中 0為零矩陣;bd,d為分離出來的一個(gè)奇異值。此時(shí)矩陣可以向上收縮一行,得到矩陣B1,雖然其仍然是一個(gè)上雙對(duì)角陣,但是其階數(shù)已降為d?1。繼續(xù)對(duì)B1執(zhí)行同樣的QR迭代運(yùn)算,矩陣將持續(xù)向上收縮,其階數(shù)不斷降低,新的奇異值不斷地被分離出來,最終可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)矩陣的對(duì)角化。

    從步驟4可見,執(zhí)行QR迭代時(shí),矩陣按照從下到上的方向收縮,故可稱此QR迭代為單向收縮QR算法。處理階數(shù)不大的矩陣時(shí),該算法可實(shí)現(xiàn)較快的SVD計(jì)算。但在基于SVD方法的信號(hào)處理中,經(jīng)常要利用信號(hào)構(gòu)造一個(gè)大階數(shù)的矩陣,其行列數(shù)一般可達(dá)成千上萬[13]。在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),如果信號(hào)的幅值較小,而構(gòu)造的矩陣階數(shù)又很大,則按照上述算法對(duì)這些大矩陣進(jìn)行SVD運(yùn)算,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況。例如,該算法在處理某些小幅度信號(hào)所構(gòu)造的大型矩陣時(shí),在矩陣向上收縮了一定的行數(shù)之后,設(shè)此時(shí)的上雙對(duì)角陣為Bi,再對(duì)Bi進(jìn)行QR迭代時(shí),不管QR迭代過程被執(zhí)行多少次,Bi最右下角的次對(duì)角元卻始終會(huì)停頓在某一個(gè)數(shù)值,再也無法下降,不能滿足式(5)的收斂準(zhǔn)則,矩陣無法收縮下去,這就是以上QR算法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能出現(xiàn)的問題。實(shí)際上,文獻(xiàn)[9-10]在其提供的計(jì)算SVD的QR算法程序中,也已經(jīng)認(rèn)識(shí)到該算法在處理某些大矩陣時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況,但是該文獻(xiàn)未能解釋出現(xiàn)該問題的原因,也未提出解決措施,僅僅在程序中設(shè)計(jì)了迭代一定次數(shù)后不收斂就強(qiáng)行終止程序的指令。按照最樂觀的估計(jì),即使一次QR迭代完成后能平均實(shí)現(xiàn)兩行的向上收縮,算法程序所能處理的矩陣階數(shù)最多為QR迭代總次數(shù)的兩倍,實(shí)際處理時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不可能達(dá)到這一目標(biāo),因此它們都難以用于計(jì)算大型矩陣的奇異值分解。根據(jù)奇異值理論,對(duì)于任何矩陣,不管其階數(shù)有多大、行數(shù)與列數(shù)孰大孰小,其奇異值分解總是存在且總是可以實(shí)現(xiàn)其數(shù)值計(jì)算的,算法出現(xiàn)不收斂的情況只能說明算法存在問題,有待改進(jìn)。

    3 單向收縮QR算法的不收斂實(shí)例

    本文通過一個(gè)具體實(shí)例證明該QR算法在處理由某些實(shí)際信號(hào)所構(gòu)造的大型矩陣時(shí)會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況。

    圖2所示為一個(gè)長(zhǎng)度為1 024點(diǎn)的銑削力信號(hào),以該信號(hào)構(gòu)造一個(gè)行數(shù)512、列數(shù)513的Hankel矩陣。通過Householder變換將其化為上雙對(duì)角陣后,利用QR算法對(duì)其進(jìn)行對(duì)角化。開始時(shí)矩陣向上收縮的速度很快,一般只需執(zhí)行一次QR迭代(最多只執(zhí)行3次),矩陣就可向上收縮一行。當(dāng)向上收縮了113行即收縮到第399行時(shí),QR迭代總共被執(zhí)行了168次后,此后再也無法滿足收縮條件。執(zhí)行到第174次QR迭代后,上雙對(duì)角陣Bi最右下角的次對(duì)角元b398,399的值停頓在2.019 732×10?5,再也無法下降,算法陷入無限循環(huán)。

    圖2 一個(gè)銑削力信號(hào)

    圖3所示為前200次QR迭代時(shí),矩陣末行向上收縮的變化情況。圖中清晰地反映了剛開始時(shí)矩陣末行快速向上收縮以及之后收縮終止的過程。

    圖3 QR迭代時(shí)矩陣末行的收縮過程

    4 單向收縮QR算法的收斂特性分析

    本文通過對(duì)QR迭代過程中Givens矩陣變化特點(diǎn)的研究和分析,發(fā)現(xiàn)引起上述問題的根源在于第一個(gè)Givens右矩陣。設(shè)矩陣向上收縮了一定行數(shù)之后的上雙對(duì)角陣為Bi,在對(duì)其進(jìn)行QR變換時(shí),根據(jù)式(2)可得QR變換中的第一個(gè)Givens右矩陣中c和s的值分別為:

    從表1可見,s第6個(gè)值的數(shù)量級(jí)是10?10,非常接近零,表明第6次QR迭代開始時(shí)G1(1,2,)θ已接近為單位陣。但是,從圖4可以看出,此時(shí)上雙對(duì)角陣Bi的末行卻依然能以很快的速度向上收縮。可是根據(jù)前面的分析,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)Givens右矩陣G1為單位陣時(shí),后續(xù)的其他一系列左、右Givens變換矩陣肯定是單位陣,此時(shí)式(4)的QR變換將失去意義,Bi再也不可能向上收縮了。

    表1 前10次QR迭代時(shí)前兩個(gè)Givens右矩陣的sinθ值

    由圖2可見,構(gòu)造矩陣的銑削力信號(hào)中所有數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)都是一樣的,也即矩陣A中所有元素的數(shù)量級(jí)都相同,而經(jīng)過Householder變換后所得的上雙對(duì)角陣B的兩個(gè)對(duì)角帶元素的數(shù)量級(jí)仍然與矩陣A是一致的,則由式(8)易見,s′和s的數(shù)量級(jí)是相同的。因此,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)Givens右矩陣接近單位陣時(shí),第一個(gè)Givens左矩陣也將接近單位陣,其變換的結(jié)果是在位置(1,3)處產(chǎn)生新元素:

    從式(7)可知,第一個(gè)Givens右矩陣的s的數(shù)量級(jí)是由b1,1和b1,2的乘積決定的,當(dāng)s較小時(shí),表明b1,1或者b1,2的數(shù)量級(jí)也較小。由于b1,1是主對(duì)角帶元素,為未來的奇異值,其衰減的可能性比b1,2小很多,因此更可能是b1,2的數(shù)量級(jí)與s接近,則式(11)中的比值b1,3/b1,2的數(shù)量級(jí)反而會(huì)增大。例如假設(shè)s的數(shù)量級(jí)為10?11,由于構(gòu)造矩陣的信號(hào)數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)為10?1,可以認(rèn)為此時(shí)b1,1的數(shù)量級(jí)亦為10?1,則由式(7)可得此時(shí)b1,2的數(shù)量級(jí)為10?10;而由前述可知,b1,3的數(shù)量級(jí)將最多比s的數(shù)量級(jí)小10?1,因此可以認(rèn)為b1,3的數(shù)量級(jí)為10?12,此時(shí)b1,3和b1,2都很接近于零;然而b1,3/b1,2的數(shù)量級(jí)卻為10?2,則由式(11)可知第二個(gè)Givens右矩陣已經(jīng)不是單位陣。

    本文給出該例中第二個(gè)Givens右矩陣的前10個(gè)sinθ值,將它們列在表1中第3列。可見第10次QR迭代開始時(shí),第一個(gè)Givens右矩陣的sinθ的數(shù)量級(jí)已下降為10?17,但第二個(gè)Givens右矩陣中sinθ的數(shù)量級(jí)卻還只為10?2,證明以上的分析是正確的。這種結(jié)果將直接導(dǎo)致從第二個(gè)Givens右矩陣開始的后續(xù)一系列左、右Givens變換矩陣都不會(huì)是單位陣,從而使得以后的QR變換可正常進(jìn)行,因此矩陣仍可快速向上收縮。

    但是當(dāng)矩陣階數(shù)大到一定程度時(shí),如果原始矩陣中數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)較小,有時(shí)在還沒有完成整個(gè)矩陣的對(duì)角化的情況下,隨著QR迭代次數(shù)的增加,第一個(gè)Givens右矩陣的sinθ有可能會(huì)完全下降為零,這會(huì)視原始矩陣數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)而定。當(dāng)該數(shù)量級(jí)較大時(shí)很難出現(xiàn)這種情況。但是一旦出現(xiàn)這種情況后,所有的左、右Givens變換矩陣都會(huì)變?yōu)閱挝魂?,上雙對(duì)角陣Bi最右下角的次對(duì)角元就會(huì)停頓在某一個(gè)數(shù)值,再也不能下降,算法陷入無限循環(huán)。表2給出了該例中QR迭代到第165~第174次期間,第一、二個(gè)Givens右矩陣中的sinθ值的變化過程。由表可見,在用8個(gè)字節(jié)表示一個(gè)實(shí)數(shù)的double數(shù)據(jù)類型編程的情況下,s的數(shù)量級(jí)可下降為10?323,而此時(shí)第二個(gè)Givens右矩陣的sinθ值的數(shù)量級(jí)卻僅為10?5。迭代到第174次時(shí),s終于完全降為零,第二個(gè)Givens右矩陣的sinθ值也隨即變?yōu)榱?。此后所有的左、右Givens變換矩陣都變?yōu)閱挝魂?,QR算法失效。

    表2 第165~第174次QR迭代時(shí)前兩個(gè)Givens右矩陣的sinθ值

    圖4 中的cosθ和sinθ值的變化過程

    總結(jié)上述分析,可以得到關(guān)于QR算法的收斂特性的論斷:在對(duì)雙對(duì)角陣執(zhí)行QR迭代時(shí),除非第一個(gè)Givens右矩陣中的s完全為零,否則即使該s的數(shù)量級(jí)很小。但是,從第二個(gè)Givens右矩陣開始,后續(xù)的一系列左、右Givens變換矩陣卻都不會(huì)相應(yīng)地接近單位陣,從而可以使后面的QR迭代能正常進(jìn)行。這就是在第一個(gè)Givens右矩陣中s的數(shù)量級(jí)相當(dāng)小,即該矩陣非常接近單位陣的情況下,QR算法仍能實(shí)現(xiàn)矩陣快速向上收縮的原因。

    5 結(jié) 論

    (1) 在處理由某些小幅度信號(hào)構(gòu)造的大型矩陣的奇異值分解時(shí),單向收縮QR算法會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況。

    (2) 不收斂的本質(zhì)原因在于矩陣首行對(duì)角帶元素的衰減,當(dāng)構(gòu)造原始矩陣的信號(hào)數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)較小時(shí),這種衰減最終會(huì)使QR迭代中的第一個(gè)Givens右矩陣變?yōu)閱挝魂?,從而?dǎo)致后面的一系列Givens變換矩陣全部成為單位陣,使得QR算法失效。

    (3) 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)Givens右矩陣十分接近單位陣時(shí),從第二個(gè)Givens右矩陣開始,后續(xù)的一系列左、右變換矩陣卻都不會(huì)相應(yīng)地接近單位陣,使得QR算法仍然有很快的收斂速度。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)Givens右矩陣完全成為單位陣時(shí),后續(xù)所有的Givens變換矩陣才會(huì)成為單位陣,QR算法才會(huì)完全失效。

    上述工作為多次分割、雙向收縮QR算法的提出指明了方向。該算法還涉及較多的與SVD收斂速度和精度相關(guān)的細(xì)節(jié)和技巧,其具體實(shí)現(xiàn)將另文進(jìn)行探討。

    本文的研究工作得到廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2008J1-C101)的資助,在此表示感謝。

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