分數(shù)階Fourier域非均勻采樣Chirp信號的頻譜研究

（海軍航空工程學院 電子信息工程系，山東 煙臺 264001）

0 引言

目前數(shù)字信號處理理論大多建立在均勻、理想采樣信號模型的基礎(chǔ)之上，而實際中得到的數(shù)字信號一般是非均勻、非理想的采樣信號。隨著高速采樣技術(shù)的發(fā)展，對非均勻采樣信號的研究成為信號處理領(lǐng)域的一個重要的研究內(nèi)容。非均勻采樣是相對于均勻采樣的一種采樣方法[1]。現(xiàn)實中，由于受到采樣設(shè)備和被采樣信號的限制，均勻采樣是相對的，而非均勻采樣是絕對的。針對工程實踐中經(jīng)常遇到的Chirp信號，文獻[2-4]利用周期性非均勻采樣方法給出了非均勻采樣 Chirp信號在分數(shù)階Fourier變換下的頻譜表達式，分析了其在分數(shù)階域的頻譜的特點。本文提出了一種自適應(yīng)非均勻采樣方法，利用此法得到了這類非均勻采樣信號在分數(shù)階域的頻譜表達式，進一步得到了非均勻采樣Chirp信號在分數(shù)階Fourier變換下的頻譜表達式，研究了非均勻采樣Chirp信號在分數(shù)階的頻譜的特點。

1 自適應(yīng)非均勻采樣信號的分數(shù)階Fourier變換

1.1 分數(shù)階Fourier變換

近年來，一種新的時頻分析工具—分數(shù)階Fourier變換[5]，受到了信號處理界越來越多的關(guān)注。它作為Fourier變換的一種廣義形式，可以理解為信號的坐標軸在時頻平面上繞原點作逆時針旋轉(zhuǎn)。如果把信號的Fourier變換看成其由時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)π/2后到頻率軸上的表示，則分數(shù)階Fourier變換可以看成將信號由時域逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度到分數(shù)階域上的表示。

信號 x (t)的角度為α的分數(shù)階Fourier變換定義為：

式中：α表示的是角度為α的連續(xù)分數(shù)階Fourier變換，變換核為：

有關(guān)分數(shù)階Fourier變換的詳細介紹，可以參考文獻[6-7]。

1.2 自適應(yīng)非均勻采樣信號模型

設(shè)模擬信號 x (t)的分數(shù)階Fourier變換Xα(u)是分數(shù)階域中的帶限信號[3]，即

式中：α?是信號 x (t) 在分數(shù)階域的帶寬。

自適應(yīng)非均勻采樣流程如圖1所示。首先，設(shè)定一個采樣頻率；然后，用此采樣頻率對信號進行采樣。由于信號是時變的，因此在采樣過程中必須判斷設(shè)定的采樣頻率是否滿足采樣定理[8]的要求。

圖1 自適應(yīng)非均勻采樣流程圖

非均勻采樣信號模型如圖2所示。前n+ 1個采樣點的間隔相等，后m個采樣點的間隔也相等，即前n+ 1個點和后m個點是均勻采樣點，但采樣間隔不同，第n個點是分界點。采樣頻率 f1=1/T1，且使采樣頻率 f2=1/T2，同樣使即滿足采樣定理的要求。

圖2 非均勻采樣信號模型

由以上可知，這些非均勻采樣序列的采樣時刻可以表示為

此非均勻采樣序列可寫為s={s0,s1}的形式，其中：

將序列1s 右移n+1個位置，得到

式中：z?1表示的是單位延遲算子。

因此，原始的非均勻采樣序列可以表示為：

1.3 非均勻采樣序列的分數(shù)階Fourier變換

由均勻采樣信號的采樣定理可以得到[2]：

由分數(shù)階Fourier變換的性質(zhì)可以得到：

最終可得

當 T1=T2時，

即為均勻采樣信號的數(shù)字譜表達式。

即變?yōu)镕ourier 域中的均勻采樣頻譜表示。該式與文獻[9]所得結(jié)果一致。

2 非均勻采樣Chirp信號的分數(shù)階頻譜分析

在工程處理和應(yīng)用中經(jīng)常會遇到Chirp信號，如在雷達和聲納的回波信號中。處理Chirp信號的方法很多，其中分數(shù)階Fourier變換是比較理想的方法。

Chirp信號的模型可以表示為：

當 cotα + m0=0時，其分數(shù)階Fourier變換可以表示為：

將式(12)代入式(11)即可得到非均勻采樣Chirp信號的分數(shù)階數(shù)字頻譜：

3 仿真

仿真時選擇x (t)=ej(3t2+2t)作為初始信號，信號的觀測時間為[0.01 s,4.98 s]。首先，用采樣頻率f1=25 Hz 對信號進行均勻采樣，采樣時間為[0.01 s,3 s]，采樣點數(shù)為75個；再用采樣頻率 f2=50 Hz 對信號進行采樣，采樣時間為[3 s,4.98 s]，采樣點數(shù)為100個。對非均勻采樣Chirp信號進行分數(shù)階Fourier變換后如圖3所示（圖3中 p=2α / π，以下同）。該變換所用時間為38.92 s。若對該信號進行均勻采樣，設(shè)定信號的觀測時間仍為[0.01 s,4.98 s]，采樣頻率 f=100 Hz，采樣點數(shù)為498個，其分數(shù)階Fourier變換如圖4所示，所用時間為100.33 s。從采樣點數(shù)和所用時間可以看出，本文所提出的非均勻采樣方法和均勻采樣方法相比，既減少了存儲空間，又滿足了實時性要求。而且，對比圖3和圖4可以明顯看到，圖3中信號的幅度低于圖4中信號的幅度，這是由于信號的分數(shù)階Fourier變換具有能量聚集性，如果信號采樣點數(shù)少，那么經(jīng)過分數(shù)階Fourier變換后，信號在分數(shù)階域的幅度必然低。

圖3 非均勻采樣信號的分數(shù)階Fourier變換

圖4 均勻采樣信號的分數(shù)階Fourier變換

4 結(jié)束語

本文提出了一種自適應(yīng)非均勻采樣方法，并利用分數(shù)階Fourier變換對這類非均勻采樣信號在分數(shù)階域的頻譜進行了研究，得到了這類非均勻采樣信號在分數(shù)階域的數(shù)字譜表達式，進一步得到了非均勻采樣Chirp信號的分數(shù)階頻譜表達式。最后，仿真結(jié)果對結(jié)論進行了驗證。本文所提出的非均勻采樣方法，與均勻采樣方法相比，盡管信號在分數(shù)階域的幅度有所降低，但是該方法既節(jié)省了存儲空間，又滿足了實時性要求，利于工程上的實現(xiàn)。

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