數(shù)據(jù)可視化處理的數(shù)學(xué)模型

崔汝麥，司守奎

（1.威海職業(yè)學(xué)院，山東 威海 264210；2.海軍航空工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，山東 煙臺(tái) 264001）

隨著信息科學(xué)與各種測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，在氣象、醫(yī)學(xué)和探礦等領(lǐng)域產(chǎn)生了海量的數(shù)據(jù)。由于缺乏有效分析手段，常常要舍棄龐大數(shù)據(jù)群中的大部分?jǐn)?shù)據(jù)。人們迫切希望對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更高層次的分析，揭示其隱藏的重要信息，以便更好地利用它們。數(shù)據(jù)可視化就是順應(yīng)這一趨勢(shì)而發(fā)展起來(lái)的，對(duì)原始數(shù)據(jù)信息進(jìn)行可視化處理后，抽象繁雜的數(shù)據(jù)變得直觀簡(jiǎn)單、生動(dòng)有趣[1]。

1 問(wèn)題提出

本文研究的問(wèn)題源于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。該問(wèn)題提供了來(lái)自某空間區(qū)域8個(gè)水平截面上各對(duì)應(yīng)點(diǎn)某物理量的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)。

要求直觀分析出該物理量在這一空間區(qū)域的分布情況，具體要求如下：

1）提供該物理量在各截面的分布情況；

2）提供該物理量在整個(gè)空間區(qū)域的分布情況。

參考數(shù)據(jù)如表1所示，其中，500p,…,1200p分別代表8個(gè)水平截面的z坐標(biāo)值，每個(gè)水平截面下有3組數(shù)據(jù)，分別表示測(cè)量點(diǎn)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)和測(cè)點(diǎn)處的某物理量的觀測(cè)值。

表1 問(wèn)題的數(shù)據(jù)

2 模型的建立

2.1 建模的思路

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)分布情況，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)對(duì)研究區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并對(duì)該區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分。再進(jìn)行二維插值運(yùn)算，計(jì)算出每個(gè)網(wǎng)格數(shù)據(jù)，并對(duì) 8個(gè)截面進(jìn)行可視化顯示。最后進(jìn)行空間插值，獲得空間上的分布數(shù)據(jù)，并將其顯示出來(lái)。

2.2 模型假設(shè)

1）實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均可靠，沒(méi)有誤差；

2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集廣泛，具有普遍性；

3）所測(cè)物理量是連續(xù)變化，不存在突變。

2.3 符號(hào)說(shuō)明

2.4 建模

2.4.1 數(shù)據(jù)處理

問(wèn)題中8個(gè)水平截面上的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，實(shí)際上是在xy 平面上取若干個(gè)點(diǎn)，然后分別測(cè)量這些點(diǎn)在8個(gè)水平截面上的值。這些點(diǎn)在xy 平面上的位置如圖1所示。

圖1 測(cè)量點(diǎn)的水平分布

從圖1中可以看出，這些點(diǎn)大致均勻分布在五條直線上，即所給數(shù)據(jù)是在這五個(gè)豎直截面上分別測(cè)量8個(gè)水平截面上的值。為了獲得物理量在各截面和整個(gè)空間區(qū)域的分布情況，顯然我們需要根據(jù)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。

如果直接在圖示范圍內(nèi)進(jìn)行插值計(jì)算，不僅計(jì)算量大，而且四個(gè)邊角上的插值誤差很大，實(shí)際意義不大。為獲得有效數(shù)據(jù)并減少計(jì)算量，我們可以先對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行平移與旋轉(zhuǎn)處理，將這些測(cè)量點(diǎn)平移旋轉(zhuǎn)到一個(gè)較小的矩形區(qū)間，然后再進(jìn)行計(jì)算。

平移與旋轉(zhuǎn)變換之后測(cè)量點(diǎn)x軸上最大值與最小值的差值為1 080，而y軸上最大值與最小值的差值不到390，兩者比例為2.769，我們?cè)诒３衷瓬y(cè)量點(diǎn)的位置比例不變的情況下進(jìn)行位置數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，相當(dāng)于將包括全部測(cè)量點(diǎn)的最小立體區(qū)域從原來(lái)坐標(biāo)系中取出，并保持長(zhǎng)寬比例2.769，然后重新建立坐標(biāo)系，這樣就減小了x軸和y軸上數(shù)值的量級(jí)，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算公式為

式中：N為測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量；K為x軸上劃分網(wǎng)格的數(shù)量；τ為測(cè)量區(qū)域矩形的長(zhǎng)寬比例；L表示取不大于L的最大整數(shù)，取整主要是為了后面插值劃分網(wǎng)格的方便。

在選定的矩形中每條直線在橫向上都不能到達(dá)矩形區(qū)域邊線；如果直接進(jìn)行網(wǎng)格劃分并插值，將會(huì)出現(xiàn)在某些點(diǎn)的插值為不確定值，這就要縮小矩形再進(jìn)行網(wǎng)格劃分和插值，從而造成部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，而不能充分利用現(xiàn)有信息。所以我們先采用一維三次樣條插值，將缺少的點(diǎn)插值獲得再進(jìn)行后面的計(jì)算。插值補(bǔ)全處理之后的效果如圖2所示。

圖2 插值補(bǔ)全處理

2.4.2 網(wǎng)格細(xì)劃

針對(duì)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)分散，數(shù)量不足等問(wèn)題，首先對(duì)所給空間進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)劃，通過(guò)二維插值來(lái)獲得各網(wǎng)格點(diǎn)上的物理量值，提高數(shù)據(jù)密度，再進(jìn)行空間插值，可得到可視化圖。

將轉(zhuǎn)換后的較小立體區(qū)域劃分為200×72×70個(gè)小網(wǎng)格，然后分兩步進(jìn)行插值計(jì)算。

第一步：取出 8個(gè)截面中的一個(gè)，根據(jù)原始數(shù)據(jù)，采用三次樣條插值的方法，插值計(jì)算出該截面上200×72個(gè)網(wǎng)格上的數(shù)據(jù)。同樣對(duì)其他 7個(gè)截面進(jìn)行相同的計(jì)算，從而獲得200×72×8個(gè)網(wǎng)格上的數(shù)據(jù)。

第二步：取出一個(gè)豎直截面，其網(wǎng)格數(shù)為200×70；從上一步求出的數(shù)據(jù)中取出在該截面上的200×8個(gè)網(wǎng)格的數(shù)據(jù)，同樣進(jìn)行三次樣條插值計(jì)算，插值計(jì)算出該截面上所有網(wǎng)格的數(shù)據(jù)。同樣對(duì)剩下的71個(gè)截面進(jìn)行相同的計(jì)算，從而獲得所有網(wǎng)格的數(shù)據(jù)。

通過(guò)插值，估計(jì)出某一點(diǎn)缺失的測(cè)量數(shù)據(jù)，提高了數(shù)據(jù)密度；也使數(shù)據(jù)網(wǎng)格化，把非規(guī)則分布的空間數(shù)據(jù)內(nèi)插為規(guī)則分布的空間數(shù)據(jù)。

2.4.3 空間插值

空間插值[2-4]是指通過(guò)已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)或已化為各個(gè)相對(duì)小一些區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算出相關(guān)的其他未知點(diǎn)或相關(guān)區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的方法。根據(jù)網(wǎng)格細(xì)劃所得的數(shù)據(jù)，可以分別采用以下插值方法計(jì)算。

1）最近鄰點(diǎn)插值法充分利用了插值點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的距離關(guān)系，反映了實(shí)際情況，但造成變量值的高估或低估，產(chǎn)生不光滑表面。

2）三線性插值法能緩解邊界不連續(xù)、改善表面不光滑的問(wèn)題，但使銳度明顯的邊緣變模糊。

3）三角網(wǎng)/線性插值法能充分利用已知點(diǎn)的信息，且表面光滑，但其等值線呈現(xiàn)鋸齒狀。

上述 3種插值方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。經(jīng)充分比較運(yùn)算，可將最近鄰點(diǎn)插值法、三線性插值法和三角網(wǎng)/線性插值法以1∶2∶4的比例加權(quán)平均，設(shè)計(jì)出綜合插值法，能夠充分發(fā)揮 3種方法的優(yōu)點(diǎn)。以截面600p所給數(shù)據(jù)為例，此模型立體表面光滑，等值線[5]也較平滑，效果見圖3、圖4。

圖3 綜合插值法立體圖

圖4 綜合插值法等值線圖

3 問(wèn)題解答

3.1 截面上的分布

根據(jù)本文設(shè)計(jì)的綜合插值法模型，可插值計(jì)算出所測(cè)物理量在各截面的分布情況，見圖5、圖6。從截面500p～900p的分布圖可以看出，該物理量的大值主要分布在矩形區(qū)的左上和左下角區(qū)域；而且隨著豎直方向值的增大，大值分布在朝下方移動(dòng)。而從截面1 000p～1 200p的分布圖可以看出，物理量的分布較為廣泛，但隨著豎直方向值的增大，物理量集中于研究區(qū)域左下方的分布情況更為明顯。

圖5 物理量在8個(gè)截面的分布圖

圖6 物理量在8個(gè)截面的分布等值線圖

3.2 空間區(qū)域的分布

依據(jù)網(wǎng)格細(xì)劃中提出的兩個(gè)步驟，采用綜合插值法計(jì)算出所有小網(wǎng)格的數(shù)據(jù)。使用Matlab[6-7]中的griddata3命令，獲得空間區(qū)域的分布情況，如圖7、8是其中的2個(gè)截面圖。圖7、8能較為明顯地看到物理量的大值集中分布情況，也證實(shí)了我們上面的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)要求具體分析某個(gè)截面的分布情況，從而為正確決策提供科學(xué)的支持。

圖7 空間區(qū)域的分布截面

圖8 空間區(qū)域的分布截面

4 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

本文針對(duì)分布不均勻、數(shù)據(jù)點(diǎn)不足的復(fù)雜數(shù)據(jù)建立了可視化處理的數(shù)學(xué)模型，為科研工作者進(jìn)行類似工作時(shí)提供了一定的參考依據(jù)。

本模型適應(yīng)性廣，但計(jì)算精度要依據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度和網(wǎng)格劃分的細(xì)密程度兩個(gè)方面。其中，網(wǎng)格劃分越小，精度也就越高，但計(jì)算量就會(huì)大為增加，設(shè)計(jì)時(shí)要兼顧二者的平衡。其次，如果數(shù)據(jù)是均勻分布的離散數(shù)據(jù)或者能夠?qū)μ囟c(diǎn)測(cè)量后再進(jìn)行插值計(jì)算，可簡(jiǎn)化計(jì)算，提高精度。

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