基于Markov理論的反艦導(dǎo)彈突防艦載防空火炮效能評(píng)估

韓 維，張華宇，岳奎志，史建國(guó)

（1.海軍航空工程學(xué)院 七系，山東 煙臺(tái) 264001；2.海軍專項(xiàng)工程辦公室，北京 100085）

反艦導(dǎo)彈對(duì)艦艇的攻擊是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。首先，要成功發(fā)射反艦導(dǎo)彈；其次，要突防防空導(dǎo)彈的攔截；再次，要突防n座艦載防空火炮的攔截。在兩種突防過(guò)程中，還伴隨著軍艦上有源電子干擾和無(wú)源電子干擾對(duì)反艦導(dǎo)彈制導(dǎo)的影響。所以，作戰(zhàn)時(shí)1枚反艦導(dǎo)彈成功擊中1艘軍艦是非常困難的，這就需要探討m枚反艦導(dǎo)彈同時(shí)攻擊1艘軍艦的“飽和”攻擊戰(zhàn)術(shù)問題，而m枚反艦導(dǎo)彈突防n座防空火炮是反艦導(dǎo)彈攻擊軍艦的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是軍艦?zāi)┒朔烙h(huán)節(jié)，具有一定的軍事研究?jī)r(jià)值。以往研究突防效能評(píng)估模型，常使用概率法、層次分析法、排隊(duì)論法、蒙特卡羅法等[1-4]，各有優(yōu)缺點(diǎn)，但這些方法共同存在的不足是缺少動(dòng)態(tài)性，而采用Markov 理論[5-6]就能動(dòng)態(tài)地評(píng)估m(xù)枚反艦導(dǎo)彈隨時(shí)間、距離、海況變化情況突防效能，該方法被廣泛地應(yīng)用在作戰(zhàn)效能分析的各方面。

1 預(yù)備知識(shí)

本文所采用的馬爾可夫模型是一個(gè)在作戰(zhàn)模型建模中經(jīng)常應(yīng)用的一種隨機(jī)過(guò)程模型。

一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)于每一時(shí)刻 t0，系統(tǒng)未來(lái)處于任何狀態(tài)的概率僅與當(dāng)時(shí)（t=t0）的狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)是怎樣和何時(shí)進(jìn)入這種狀態(tài)無(wú)關(guān)，這種隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程。

1.1 馬爾可夫鏈

馬爾可夫鏈數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：X (ti)=xi表示處于 ti(i=1,2,…,n)時(shí)刻的狀態(tài)。馬爾可夫具有的這種性質(zhì)，稱為馬氏性，或稱為無(wú)后效性。

若馬爾可夫鏈X(t)，從t時(shí)處于狀態(tài)i，轉(zhuǎn)移到t+?t時(shí)處于狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移的起始時(shí)間t 無(wú)關(guān)，為：

把Pij(t)排成的矩陣 P(? t)=[pij(t)]成為馬爾可夫鏈狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣，在此有：

1.2 吸收馬爾可夫鏈

為了研究方便，進(jìn)行如下假設(shè)：①組成系統(tǒng)單元的毀傷率的分布為服從λ指數(shù)分布；② X (t)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài)；③ 每個(gè)單元無(wú)論處于什么狀態(tài)都是相互獨(dú)立的。

Pij=1的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)。若馬氏鏈中至少含有一個(gè)吸收狀態(tài)，并且從每個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)都可以達(dá)到某個(gè)吸收狀態(tài)，則稱為吸收馬氏鏈。

則X(t)是一個(gè)吸收馬爾可夫鏈。假定單元的毀傷率為λ。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖1，可寫出馬爾可夫鏈狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移的矩陣P(?t)，即：

在 ?t時(shí)間內(nèi)馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

圖1 吸收馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

2 分析模型

2.1 導(dǎo)彈突防防空火炮的Markov模型推導(dǎo)

設(shè)反艦導(dǎo)彈初始m枚，其進(jìn)入帶有n座近程防御火炮的軍艦射擊范圍內(nèi)，λ為反艦導(dǎo)彈被擊毀的概率。則反艦導(dǎo)彈突防防空火炮的吸收馬爾可夫鏈狀態(tài)模型如圖2所示，圖中 i=m,m ?1,…,1,0分別代表在突防過(guò)程中有 m,m? 1,…,1,0枚導(dǎo)彈生存；在 ?t時(shí)間段內(nèi)有n座防空火炮一起射擊來(lái)襲導(dǎo)彈，反艦導(dǎo)彈的毀傷概率為nλ ?t；1? nλ ?t代表該時(shí)間段內(nèi)狀態(tài)空間為i的反艦導(dǎo)彈的生存概率。

圖2 突防防空火炮的吸收馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

令Pi(t)(i=m,m ? 1,…,1,0)表示t時(shí)刻狀態(tài)空間為i的概率。

開始時(shí)t=t0，當(dāng) t=t0+?t時(shí)導(dǎo)彈突防成功的概率等于導(dǎo)彈在t=t0時(shí)沒有被擊毀的概率Pi(t)，減去n座防空火炮擊毀導(dǎo)彈的概率Pi(t)nλ ?t，即同理可得：

歸納起來(lái)，得出不同時(shí)間點(diǎn)狀態(tài)空間中各狀態(tài)概率：

式中：

由式(4)可知，這是一個(gè)典型的吸收馬爾可夫鏈模型。

某時(shí)刻反艦導(dǎo)彈突防的數(shù)目等于各個(gè)狀態(tài)的導(dǎo)彈數(shù)目與相對(duì)應(yīng)狀態(tài)概率的乘積，即：

某時(shí)刻反艦導(dǎo)彈被擊毀的數(shù)目為：

某時(shí)刻反艦導(dǎo)彈突防軍艦的防空火炮的效率：

2.2 反艦導(dǎo)彈被火炮擊毀概率

反艦導(dǎo)彈被擊毀概率λ為：

式中：DP為反艦導(dǎo)彈被探測(cè)的發(fā)現(xiàn)概率；PH/D為發(fā)現(xiàn)后被擊中的條件概率；PK/H為彈丸擊中反艦導(dǎo)彈后導(dǎo)彈被毀傷的條件概率。

2.3 考慮海況等級(jí)下反艦導(dǎo)彈被火炮擊中概率

軍艦在航行中，海浪會(huì)導(dǎo)致艦體縱搖、橫搖、垂蕩等運(yùn)動(dòng)，嚴(yán)重影響艦上防空火炮的射擊精度。艦船的傾斜和搖擺環(huán)境除了與風(fēng)浪大小有關(guān)外，更重要的與艦船設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性有關(guān)[7]。

在不同海況等級(jí)條件下，海浪對(duì)艦體搖擺導(dǎo)致防空火炮彈丸的散布角度為

式中：?為炮彈丸的散布角度（°）；f為射擊精度修正系數(shù)，一般取0.9；υ為海況等級(jí)，作戰(zhàn)條件下，海況等級(jí)取1～5。

防空火炮發(fā)射的密集彈丸分布是一個(gè)圓錐形區(qū)域，如圖3所示。

圖3 防空炮彈射擊空間示意圖

設(shè)反艦導(dǎo)彈超低空勻速飛向軍艦，導(dǎo)彈有效被攻擊截面積可視為半徑為rd的圓形，并且導(dǎo)彈以勻速 vdd飛向目標(biāo)，軍艦上每座防空火炮的射速為ρk，彈丸的散布角度為?，設(shè)彈丸服從均勻分布，防空火炮最大有效射擊距離為Dmax，最小有效射擊距離為Dmin。

反艦導(dǎo)彈在 t=t0+k?t (k=0,1,…,nn)時(shí)刻突防軍艦的距離為：Ltfm(t0+ k?t)=vddk?t。

反艦導(dǎo)彈在 t=t0+k?t(k=0,1,…,nn)時(shí)刻距離軍艦的距離為：

最大時(shí)間點(diǎn)nn為：

在t=t0+k?t時(shí)刻防空火炮發(fā)射的彈丸在距離軍艦 Dsm(t0+k?t)點(diǎn)處的誤差半徑為：

在t=t0+k?t時(shí)刻防空火炮發(fā)射的彈丸命中導(dǎo)彈的概率為：

3 仿真實(shí)例

設(shè)初始時(shí)刻 t0=0，Dsm(t0)=4km，X1型反艦導(dǎo)彈速度1 000 m/s，X2型反艦導(dǎo)彈速度300 m/s，防空火炮最小有效射擊距離 Dmin=500 m，導(dǎo)彈半徑rd=0.18 m，每座防空火炮射速 ρk=75 發(fā)/秒（4 500發(fā)/分），軍艦上有防空火炮座數(shù)為n=2，反艦導(dǎo)彈被艦炮命中1 發(fā)后其毀傷概率 PK/H=0.5，反艦導(dǎo)彈被探測(cè)到的概率 PD=1。則反艦導(dǎo)彈突防軍艦近程防空火炮的仿真結(jié)果如下。

如圖4所示，海況等級(jí)越高，導(dǎo)彈突防效率越高；海況等級(jí)越低，導(dǎo)彈突防效率越低。當(dāng)海況等級(jí)為1級(jí)時(shí)，單發(fā)X1型反艦導(dǎo)彈到距離軍艦500 m止，突防2座防空火炮效率為59.9%；其他條件相同，當(dāng)海況等級(jí)為2級(jí)時(shí)，X1型導(dǎo)彈突防效率為82.8%，當(dāng)海況等級(jí)為3級(jí)時(shí)，X1型導(dǎo)彈突防效率為93.3%，當(dāng)海況等級(jí)為4級(jí)時(shí)，X1型導(dǎo)彈突防效率為97.5%，當(dāng)海況等級(jí)為5級(jí)時(shí)，X1型導(dǎo)彈突防效率為99.1%。由此可知，海浪對(duì)艦船搖擺直接影響軍艦上防空火炮的射擊精度。

圖4 不同海況等級(jí)條件下單發(fā)X1型反艦導(dǎo)彈突防軍艦上2座防空火炮的效率

如圖5所示，反艦導(dǎo)彈速度越快，導(dǎo)彈突防效率越高。當(dāng)海況等級(jí)為1級(jí)時(shí)，單發(fā)X1型反艦導(dǎo)彈到距離軍艦500 m 止，突防2座防空火炮效率為59.9%，單發(fā)X2型反艦導(dǎo)彈到距離軍艦500 m 止，突防2座防空火炮效率為18.1%。由此可知，超音速反艦導(dǎo)彈比亞音速反艦導(dǎo)彈突防效率高。

圖5 在1級(jí)海況等級(jí)條件下單發(fā)X1、X2型反艦導(dǎo)彈突防軍艦上2座防空火炮效率

從圖6、7可知，導(dǎo)彈突防防空火炮效率隨反艦導(dǎo)彈枚數(shù)不同而不同。X2型反艦導(dǎo)彈為1枚時(shí)，突防效率為18.1%；X2型反艦導(dǎo)彈為2枚時(shí)，突防效率為33.5%；X2型反艦導(dǎo)彈為3枚時(shí)，突防效率為47.5%；X2型反艦導(dǎo)彈為4枚時(shí)，突防效率為58.3%；X2型反艦導(dǎo)彈為5枚時(shí)，突防效率為66.0%。由此可知，反艦導(dǎo)彈數(shù)量越多，突防防空火炮效率高。

圖6 在1級(jí)海況條件下m枚X2型反艦導(dǎo)彈突防軍艦上2座防空火炮效率

圖7 在1級(jí)海況條件下m枚X2型反艦導(dǎo)彈突防軍艦上2座防空火炮突防枚數(shù)

在保證有2枚反艦導(dǎo)彈成功突防帶有2座防空火炮的軍艦近程防御時(shí)（大于90%即可認(rèn)為成功突防），突防防空火炮剛開始時(shí)，需有導(dǎo)彈枚數(shù)見表1。

表1 突防防空火炮之初需要導(dǎo)彈枚數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

基于Markov 理論反艦導(dǎo)彈突防防空火炮效能評(píng)估模型，能夠動(dòng)態(tài)地評(píng)估不同海況等級(jí)條件下，齊射m枚反艦導(dǎo)彈突防軍艦n座防空火炮的效能，這對(duì)于在攻擊水面艦艇作戰(zhàn)中，如何根據(jù)海況等級(jí)不同、艦艇上防空火炮座數(shù)不同而采取發(fā)射不同型號(hào)的導(dǎo)彈枚數(shù)用于突防防空火炮的需求具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

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