分光計相關(guān)實驗中有效數(shù)字的處理辦法

蔣衛(wèi)建 方本民 陳守川

(浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院公共基礎(chǔ)部 浙江 寧波 315100)

1 引言

分光計是一種測量光線之間夾角的精密儀器，是光學(xué)實驗中的一種基本儀器，其調(diào)整方法在光學(xué)實驗中具有一定的通用性.所以物理實驗課程中，通常設(shè)有多個使用分光計的實驗，主要有用反射法或自準(zhǔn)直法測量三棱鏡頂角，利用光柵衍射測量原子譜線波長，利用最小偏向角測量色光折射率[1～2]等.在處理這些實驗的結(jié)果時，要涉及到角度、分、秒的60進(jìn)制、三角函數(shù)運(yùn)算等.而大多數(shù)物理實驗教材緒論示例中僅局限于加減乘除四則運(yùn)算和一些簡單情況下的有效數(shù)字處理問題的介紹.這樣，很多同學(xué)對最終結(jié)果如何取舍有效數(shù)字多有疑慮.

本文以JJY1′分光計為例，說明相關(guān)實驗中有效數(shù)字的處理辦法.JJY1′分光計的儀器允許誤差是1′[3].處理有效數(shù)字的原則是根據(jù)儀器允許誤差估計出測量結(jié)果的不確定度，根據(jù)不確定度來取舍測量結(jié)果的有效數(shù)字.

2 測量三棱鏡頂角

用反射法或自準(zhǔn)直法多次測量三棱鏡的頂角.在計算每次測量的頂角、頂角的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、不確定度時，要涉及到加減乘除、乘方開方運(yùn)算.很多同學(xué)在運(yùn)算過程中，將“分”化為“秒”來計算.因為“分”化為“秒”是60進(jìn)制，所以通常所用的“單位換算不改變有效數(shù)字的位數(shù)”、“四舍六入五偶”的規(guī)則有時會碰到問題.

考慮到儀器的允許誤差，那么計算結(jié)果只需要保留到與儀器允許誤差相當(dāng)?shù)木?根據(jù)JJY1′分光計的儀器允許誤差是1′，估計測量頂角的不確定度ΔA=1′.這樣，計算過程中可以避開引入“秒”這個單位，而始終采用“分”作單位，允許有小數(shù).最終結(jié)果保留到“分”，中間結(jié)果可以多保留一位.例如，60°1.3′，79.5′等等. 如若要化為弧度計算，因為儀器允許誤差為

所以結(jié)果只需保留到小數(shù)點后4位.

3 利用光柵衍射測量原子譜線波長

光柵方程是

dsinθ=kλ k=±1,±2,±3,…

其中d是光柵常量，k是衍射級別， θ是衍射角. 解出波長

測量衍射角即可計算波長.

多數(shù)物理實驗教材給出波長的參考值，例如綠線546.1nm，要求同學(xué)將計算結(jié)果與參考值比較，計算百分差.同學(xué)對測量結(jié)果的不確定大小、有效數(shù)字如何取舍并不了解. 可以根據(jù)儀器允許誤差來估算不確定度，從而確定有效數(shù)字的取舍辦法.

例如，實驗中光柵的光柵常量是

實驗測得綠線的1級衍射角為

θ=9°26′

根據(jù)傳播公式Δλ=dcosθ·Δθ 和儀器允許誤差Δθ =1′ ，估計測量波長的不確定度為

Δλ=1.0nm

所以計算波長只需保留到0.1nm即可.最終結(jié)果可表示為

λ=(546.3±1.0)nm

也可以這樣考慮，因為儀器允許誤差為Δθ =1′，所以測量衍射角應(yīng)該處于9°25′和9°27′ 之間.而

dsin9°25′=545.376nm

dsin9°26′=546.333nm

dsin9°27′=547.289nm

所以波長取為λ=546.3nm是合適的.

當(dāng)然也要考慮光柵本身的分辨本領(lǐng)，其定義為

.

其中N是光柵條紋總數(shù)，可根據(jù)通光孔徑22mm、光柵常量計算.由此估算光柵可分辨的最小波長差為

這比儀器允許誤差帶來的影響小一個數(shù)量級.

可以看到光柵常量越小、衍射級別越大、衍射角越大，則測量波長的不確定度就越小.也可以看到用

的光柵，可以分辨鈉燈雙黃線(589.0nm和589.6nm)，但若要較準(zhǔn)確測量鈉燈雙黃線的波長，建議改用

的光柵，并選擇高級別的干涉條紋測量.

4 利用最小偏向角測量色光折射率

測量折射率的公式是

其中A是三棱鏡頂角， θmin是最小偏向角.同樣，可以根據(jù)儀器允許誤差來估算不確定度，從而確定有效數(shù)字的取舍辦法.若測得綠線的θmin= 51°28′，三棱鏡頂角A=60°1′.根據(jù)儀器允許誤差Δθmin=1′,ΔA=1′ .對n求全微分，有

要得到不確定度傳播公式，應(yīng)將其中的微分符號“d”改為不確定度符號“Δ”，并將減號改為加號，結(jié)果有

將數(shù)值代入，得

Δn=0.000 5

所以，n的計算結(jié)果只需保留到小數(shù)點后4位即可.如最終結(jié)果表示為

n=1.652 6±0.000 5

實驗所用的三棱鏡材料為ZF1，對鈉燈D線(λD=589.29nm)的折射率為

nD=1.647 5

對氫燈F線(λF=486.13nm)和C線(λC=656.28nm)折射率差為

nF-nC=0.019 12

可以看到折射率差0.019 12比分光計帶來的不確定度0.000 5大很多，可用分光計測量各色光的折射率.

5 小結(jié)

本文以與分光計相關(guān)的實驗為例，根據(jù)儀器的允許誤差、不確定度傳播公式可以估計結(jié)果的不確定度大小，從而確定計算過程和結(jié)果的有效數(shù)字處理辦法.

參考文獻(xiàn)

1 陳守川，杜金潮,等.新編大學(xué)物理實驗教程(第二版).杭州：浙江大學(xué)出版社，2009.134～141，221～223，364～365

2 丁慎訓(xùn)，張連芳.物理實驗教程(第三版).北京：清華大學(xué)出版社，2002.202～211，239～243