一類(lèi)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析與預(yù)測(cè)

陳 靜,楊巧君,周燦燦,梅雪峰

(浙江教育學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

1 引 言

研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的主要目的是研究排隊(duì)系統(tǒng)的效率,估計(jì)服務(wù)質(zhì)量,優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng).其求解方法分理論分析和計(jì)算機(jī)模擬兩大類(lèi).由于理論分析的復(fù)雜性,只有當(dāng)輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間的分布為某些特殊分布,如指數(shù)分布時(shí),隨機(jī)服務(wù)問(wèn)題的求解才采用理論分析的方法,實(shí)際中經(jīng)常出現(xiàn)非指數(shù)分布的輸入過(guò)程或服務(wù)時(shí)間,此時(shí)應(yīng)采用計(jì)算機(jī)模擬求解[1].因此,在實(shí)際應(yīng)用中,求解排隊(duì)系統(tǒng)的首要問(wèn)題是如何正確識(shí)別輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間的分布,即對(duì)實(shí)際采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷,這一點(diǎn)被諸多研究者所忽視,如文獻(xiàn)[2—5]的研究中均沒(méi)有對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,而直接假設(shè)輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間服從某種分布,然后采用理論分析或計(jì)算機(jī)模擬方法求解.這種現(xiàn)象的產(chǎn)生可能與經(jīng)典文獻(xiàn)[1]沒(méi)有作詳細(xì)說(shuō)明有關(guān),也可能與研究者不熟悉有關(guān)理論有關(guān),因?yàn)榉菂?shù)統(tǒng)計(jì)分析[6]與隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論分屬兩大學(xué)科.

文獻(xiàn)[7]中提出了一類(lèi)典型的多通道隨機(jī)服務(wù)問(wèn)題的求解.某醫(yī)院眼科門(mén)診每天開(kāi)放,住院部共有病床79張,手術(shù)主要分為:白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷(急診).該住院部對(duì)非急癥病人按照FCFS(First come,First serve)規(guī)則安排住院.現(xiàn)需要解決該住院部的病床合理安排問(wèn)題,并根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況,在非急診病人門(mén)診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間.

本文對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究.首先給出了隨機(jī)服務(wù)問(wèn)題中輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間分布的非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和分布函數(shù)估計(jì)的數(shù)學(xué)模型,并給出了求解方法;然后對(duì)該醫(yī)院的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析,得出了描述該系統(tǒng)的排隊(duì)類(lèi)型及有關(guān)指標(biāo),并利用分布函數(shù)的估計(jì)給出了非急診病人等待時(shí)間的預(yù)測(cè)區(qū)間.

2 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析模型

令(X,A,P)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)空間,其中P={Pθ:θ∈Θ}為離散型或連續(xù)型分布,Θ為k維參數(shù)空間,x1,x2,…,xn是取自統(tǒng)計(jì)空間的容量為n的樣本.

首先考慮分布函數(shù)F(x;θ1,…,θk)的估計(jì).

將x1,x2,…,xn按由小到大的順序排列得次序統(tǒng)計(jì)量x(1),x(2),…,x(n),其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

定理1[8,9]對(duì)固定的x,(x)依概率收斂于F(x),即對(duì)任意給定的ε＞0,

且Dn以概率1收斂于0,即

由定理1,經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個(gè)相合估計(jì)量.由經(jīng)驗(yàn)分布分布函數(shù)可以估計(jì)隨機(jī)變量在任一區(qū)間內(nèi)取值的概率

即為顧客等待服務(wù)的區(qū)間估計(jì)的計(jì)算公式.

其次,考慮非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

將觀測(cè)值x1,x2,…,xn分成m個(gè)互不相容的小區(qū)間(a0,a1],(a1,a2],…,(am-1,am],以ni記子樣的觀測(cè)值落入第i個(gè)小區(qū)間的頻數(shù),i=1,2,…,m.

當(dāng)k個(gè)參數(shù)θ1,θ2,…,θk已知時(shí),設(shè)

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)k個(gè)參數(shù)θ1,θ2,…,θk未知時(shí)(設(shè)m＞k+1),記它們的極大似然估計(jì)為

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

定理2[8,9]設(shè)F0(x;θ1,θ2,…,θk)為總體的真實(shí)分布,即H0為真,當(dāng)n→時(shí),有

定理3[8,9]設(shè)F0(x;θ1,…,θk)為連續(xù)型總體的真實(shí)分布,即H0為真,有

依據(jù)定理2的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為Pearsonχ2檢驗(yàn),依據(jù)定理3的檢驗(yàn)稱(chēng)為Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn).前者雖然對(duì)離散型和連續(xù)型分布都適合,但通常在離散型分布時(shí)使用,后者對(duì)連續(xù)型分布更適合.

在實(shí)際中,通常給出大量的觀測(cè)數(shù)據(jù),利用以上的理論采用手工計(jì)算極其復(fù)雜,一般宜采用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件計(jì)算.Matlab軟件由于其強(qiáng)大的功能、眾多的內(nèi)置函數(shù)、直觀的圖形顯示和豐富的工具箱,可以很方便的完成分布函數(shù)估計(jì)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)[10].

3 醫(yī)院眼科排隊(duì)問(wèn)題的數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)

對(duì)文獻(xiàn)[7]中的排隊(duì)問(wèn)題,其輸入過(guò)程為每天到達(dá)的各類(lèi)病人數(shù),服務(wù)時(shí)間即為病人從看門(mén)診到出院的總時(shí)間,可分別視為離散型分布和連續(xù)型分布,故首先采用Pearsonχ2檢驗(yàn)和Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn),判斷他們各自的分布情況.

排隊(duì)系統(tǒng)中,通常認(rèn)為到達(dá)顧客數(shù)服從Poisson分布,采用Matlab計(jì)算,輸入過(guò)程的有關(guān)檢驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1,各類(lèi)病人到達(dá)比例見(jiàn)圖1,每天排列隊(duì)長(zhǎng)見(jiàn)圖2,其直方圖和理論結(jié)果對(duì)照?qǐng)D見(jiàn)圖3.

表1 每天各類(lèi)病人到達(dá)數(shù)的非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性水平0.05)

由結(jié)果可知,在顯著性水平0.05,接受原假設(shè),可認(rèn)為各類(lèi)病人到達(dá)數(shù)均服從Poisson分布.每天平均到達(dá)病人數(shù)8.7人;到達(dá)的病人中視網(wǎng)膜疾病患者最多,大約占32%,其次是白內(nèi)障(雙眼)、白內(nèi)障(單眼)患者,分別占25%和19%,青光眼和外傷患者最少且大致相等,均占12%.由圖2可知,該醫(yī)院眼科門(mén)診服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)長(zhǎng)在10天左右即進(jìn)入穩(wěn)態(tài),穩(wěn)態(tài)后排隊(duì)長(zhǎng)的平均值為96人.

圖3 每天各類(lèi)病人到達(dá)數(shù)直方圖及理論P(yáng)oisson分布曲線

各類(lèi)病人的服務(wù)時(shí)間的直方圖見(jiàn)圖4.采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn),在顯著性水平0.05下,他們均不服從通常排隊(duì)系統(tǒng)中的負(fù)指數(shù)分布,也不服從正態(tài)分布、均勻分布等常見(jiàn)連續(xù)型分布.因此,可以知道該醫(yī)院眼科排隊(duì)系統(tǒng)屬于M/G/C//系統(tǒng).

圖4 各類(lèi)病人服務(wù)時(shí)間的直方圖

確定排隊(duì)系統(tǒng)的類(lèi)型后,預(yù)測(cè)非急診病人門(mén)診后的等待時(shí)間的通常方法是采用計(jì)算機(jī)模擬方法,利用上小節(jié)給出的分布函數(shù)的估計(jì)方法,我們可以得到更加方便和簡(jiǎn)單的估計(jì)方法.

設(shè)各類(lèi)非急診病人等待住院時(shí)間的理論分布函數(shù)為F(x),依據(jù)定理1,我們用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(x)作為總體分布的近似,然后采用公式(1)計(jì)算等待住院時(shí)間在以均值為中心的區(qū)間的概率,給定置信水平1-α后,找出大于等于95%的區(qū)間,即為所求的預(yù)測(cè)區(qū)間.

圖5 各類(lèi)非急診病人等待住院時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

計(jì)算出各類(lèi)非急診病人等待住院時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),曲線圖見(jiàn)圖5,相關(guān)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)見(jiàn)表2.

表2 各類(lèi)非急診病人服務(wù)時(shí)間有關(guān)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

所有非急診病人等待時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

可以計(jì)算得到非急診病人等待入住時(shí)間的區(qū)間及概率如表3.

表3 各類(lèi)非急診病人等待入住時(shí)間區(qū)間的概率

故取置信度0.90時(shí),非急診病人等待入住時(shí)間的預(yù)測(cè)區(qū)間為[11,14];取置信度0.85時(shí),非急診病人等待入住時(shí)間的預(yù)測(cè)區(qū)間為[12,14].

4 結(jié) 論

本文以非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析理論為指導(dǎo),給出了隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中輸入過(guò)程及服務(wù)時(shí)間的非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),以及分布函數(shù)估計(jì)的數(shù)學(xué)模型,并基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)導(dǎo)出了顧客等待服務(wù)的區(qū)間估計(jì)的計(jì)算公式.然后對(duì)文獻(xiàn)[7]中的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到了該醫(yī)院眼科排隊(duì)系統(tǒng)的類(lèi)型,給出了病人等待住院的預(yù)測(cè)區(qū)間.

4.1 在對(duì)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行求解之前,必須利用歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)采用非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),判斷出服務(wù)系統(tǒng)的類(lèi)型.根據(jù)輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間為離散型分布或連續(xù)型分布的情形,分別采用Pearsonχ2檢驗(yàn)或Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn).

4.2 基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)導(dǎo)出了顧客等待服務(wù)的區(qū)間估計(jì)的計(jì)算公式(1),避免了求解此類(lèi)模型通常采用的較復(fù)雜的隨機(jī)模擬法.

4.3 對(duì)歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)做非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),在0.95的置信水平下,文獻(xiàn)[7]中的FCFS隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)屬于M/G/C//系統(tǒng);取置信度0.90時(shí),非急診病人等待入住時(shí)間的預(yù)測(cè)區(qū)間為[11,14];取置信度0.85時(shí),預(yù)測(cè)區(qū)間為[12,14].

本文是在“2009年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”參賽文章(獲浙江省二等獎(jiǎng))的基礎(chǔ)上,通過(guò)參考命題者提供的解答要點(diǎn),進(jìn)行修改整理而得.

[1]《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫(xiě)組.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1990.

[2]李紅,嚴(yán)建淵.一個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(8):239-242.

[3]麥宇雄,盧永昌,覃杰.隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)(排隊(duì)論)在集裝箱碼頭大門(mén)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].水運(yùn)工程,2007(5):39-42.

[4]王啟棟,張康莉,劉召平,等.醫(yī)院科室病床使用情況的綜合評(píng)價(jià)分析[J].中國(guó)醫(yī)院統(tǒng)計(jì),2001,8(2):103-105.

[5]宋萍.用TOPSIS法對(duì)醫(yī)院床位利用情況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[J].重慶醫(yī)學(xué),2003,32(4):455-458.

[6]陳希孺,柴根象.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,1993.

[7]全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì).2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[EB/OL].[2009-10-10].http://mcm.edu.cn/mcm09/Problems2009c.asp.

[8]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

[9]史寧中.統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[10]薛定宇,陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社,2008.