基于排隊(duì)論的眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)模型

汪 琴,岑璐局,張淵嫻,馬新生

(浙江教育學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012)

1 引 言

對(duì)醫(yī)院病床進(jìn)行合理安排,有效減少病人的排隊(duì)等待時(shí)間,提高醫(yī)療資源的使用效率,具有重要的理論和實(shí)際意義.文獻(xiàn)[1]中提出了某醫(yī)院眼科病床合理安排的評(píng)價(jià)和優(yōu)化問題.該眼科門診每天開放,住院部共有病床79張.眼科手術(shù)主要分四大類:白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷.外傷疾病屬于急癥,住院后第二天便安排手術(shù),其他病人采用FCFS(First come,First serve)規(guī)則安排住院.醫(yī)院提供了50天349名已出院病人、79名住院病人及102名等待住院病人情況的歷史數(shù)據(jù)記錄.問題一,建立合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系,用以評(píng)價(jià)病床安排模型的優(yōu)劣.問題二,試就該住院部當(dāng)前的情況,建立合理的病床安排模型,并對(duì)該模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評(píng)價(jià).問題三,根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況,在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間.問題四,若該住院部周六、周日不安排手術(shù),醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整?問題五,在一般情形下,醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案,就此方案建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間(含等待入院及住院時(shí)間)最短的病床比例分配模型.

該問題屬于多通道隨機(jī)服務(wù)問題.文獻(xiàn)[2,3]分別采用秩和比法和TOPSIS法討論了醫(yī)院病床使用效率的評(píng)價(jià)方法,文獻(xiàn)[4]討論了一類簡單的M/M/1醫(yī)院排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化問題.這些方法和已有的排隊(duì)論理論[5]均無法直接解決以上問題.

本文以排隊(duì)論理論為指導(dǎo),引入病人滿意度和病床利用率兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),在對(duì)大量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,建立了眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)模型,給出了以上問題的解決方案.

2 模型假設(shè)及數(shù)據(jù)的初步分析

綜合理論和歷史數(shù)據(jù)分析的需要,本文作如下假設(shè):

(1)病人數(shù)據(jù)源是無限的;

(2)不同病人的入院時(shí)間與住院時(shí)間均為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,且與病人的年齡、性別等因素?zé)o關(guān);

(3)考慮理想化的病人排隊(duì)系統(tǒng),忽略其他可能改變病人等待住院、手術(shù)及出院時(shí)間的因素,也不考慮病人發(fā)生死亡或手術(shù)醫(yī)療事故等意外情況;

(4)由于醫(yī)院條件的限制,白內(nèi)障手術(shù)只能安排在每周一、周三做.

排隊(duì)論理論是通過對(duì)服務(wù)對(duì)象到來及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究,得出這些數(shù)量指標(biāo)(等待時(shí)間、排隊(duì)長度、忙期長短等)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象,使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要,又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)[5].在進(jìn)行分析之前,必須首先識(shí)別每天到達(dá)病人數(shù)和病人住院時(shí)間的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律.為此,采用Pearsonχ2檢驗(yàn)[6],并利用Matlab軟件計(jì)算得到,在顯著性水平α=0.05時(shí),每天到達(dá)病人數(shù)服從參數(shù)λ=8.69的Poisson分布(此時(shí)p=0.5586),病人住院時(shí)間不服從負(fù)指數(shù)分布(此時(shí)p=0.0000),直方圖分別如圖1、圖2所示.因此,本醫(yī)院排隊(duì)系統(tǒng)屬于M/G/C/∞/∞系統(tǒng).

圖1 每天到達(dá)病人數(shù)直方圖

圖2 病人住院時(shí)間直方圖

3 模型的建立與求解

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)體系模型及“問題一”的求解

要評(píng)價(jià)醫(yī)院現(xiàn)有的病床安排模型——FCFS的優(yōu)劣,就需要我們確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系.兼顧等待住院病人隊(duì)列的長度和醫(yī)院資源的利用率這兩個(gè)因素,我們定義病人滿意度和醫(yī)院病床利用率兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),用以評(píng)價(jià)病床安排模型的優(yōu)劣.

定義1 病人滿意度

記i表示按時(shí)間先后順序?qū)Σ∪说木幪?hào),每個(gè)病人從住院到第一次手術(shù)之間的間隔時(shí)間為ti,i=1,2,…,349,它們的平均間隔時(shí)間為,則每個(gè)病人的滿意度為

平均滿意度為

定義2 醫(yī)院病床利用率

記n表示對(duì)日期順序的編號(hào),n=1,2,…,50.每天的出院人數(shù)為cn,則每天醫(yī)院病床的有效利用率為

病床的平均有效利用率為

圖3 每個(gè)病人的滿意度

圖4 每張病床的有效利用率

從病人的滿意度看,由于采取了外傷病人優(yōu)先安排住院原則,即外傷病人在門診后的第二天便可以住院,所以外傷病人的滿意度達(dá)到最大值,都為1,但是相比之下,其他病人的滿意度不恒定,這就導(dǎo)致了不同病人之間的滿意度存在很大差距,使得滿意度具有明顯的波動(dòng)性.這說明該病床安排模型不能很好滿足所有病人的要求.

從病床的有效利用率看,病床的有效利用率不高,且每天的起伏很大,不能做到每天都使病床得到最充分的利用,從而說明該病床安排模型不是非常合理.

因此,當(dāng)前該醫(yī)院住院部對(duì)全體非急癥病人運(yùn)用的FCFS先到先服務(wù)的規(guī)則安排住院,雖然操作簡單,也滿足了急癥病人的需求,但效率不高,沒有考慮等待住院病人隊(duì)列的長度,即病人的等候時(shí)間,也沒有使醫(yī)院的資源,即住院部所提供的病床得以充分的利用.

綜上所述,采用FCFS規(guī)則不適合解決安排住院的問題.

3.2 M/G/C/／排隊(duì)系統(tǒng)模型及“≤問題二”的求解

由于病人每個(gè)病人住院必需排隊(duì)等待,故本系統(tǒng)具有多個(gè)通道,且每隊(duì)隊(duì)長沒有限制.又醫(yī)院眼科共有病床79張,故具有多個(gè)服務(wù)臺(tái),且各服務(wù)臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,平均服務(wù)率相同,即μ1=μ2=…=μc=μ,其中c=79.因此,本問題的排隊(duì)屬于M/G/C//系統(tǒng).整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為cμ,其中c=79,令＜1時(shí)才不會(huì)排成無限的隊(duì)列,稱ρ為這個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度或稱服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均利用率(見圖5).

圖5 系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度

在分析這排隊(duì)系統(tǒng)時(shí),仍從狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系開始,如狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0,即系統(tǒng)中有一名病人被服務(wù)完了(出院)的轉(zhuǎn)移率為μP1;狀態(tài)2轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1時(shí),即在兩個(gè)服務(wù)臺(tái)上被服務(wù)的病人中有一個(gè)被服務(wù)完成而出院,因?yàn)椴幌奘悄囊粋€(gè)服務(wù)臺(tái),所以這時(shí)的轉(zhuǎn)移率便是2μP2.同理,再考慮狀態(tài)n轉(zhuǎn)移到n-1的情況.當(dāng)n≤c時(shí),狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為nμPn,當(dāng)n＞c時(shí),因?yàn)橹挥衏個(gè)服務(wù)臺(tái),最多有c個(gè)病人在被服務(wù),n-c個(gè)病人在等候,因此這時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率應(yīng)為cμPn.

故我們可以得到

用遞推法解上述差分方程,可求得狀態(tài)概率.

系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)平均隊(duì)長、平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間分別為

為達(dá)到排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化,我們認(rèn)為考慮該問題的出發(fā)點(diǎn)有以下幾點(diǎn):①最大限度地滿足病人的基本住院需求,平時(shí)盡可能使病床負(fù)荷率保持在一定水平,從而減小對(duì)急需住院治療的拒收率;②盡可能提高病床的利用率,以充分利用醫(yī)院現(xiàn)有的資源;③盡量減少一般病人住院等待時(shí)間,縮短等待住院病人t隊(duì)列的隊(duì)長.

顯而易見,以上三項(xiàng)要求之間存在著矛盾,不能只為了滿足其中一項(xiàng)要求而犧牲另一項(xiàng)甚至兩項(xiàng)要求,因此,如何協(xié)調(diào)上述三項(xiàng)要求,尋求總體綜合效益優(yōu)化便是本題的中心.

由于白內(nèi)障手術(shù)只在周一和周三做,且做雙眼是周一先做一只,周三再做一只,并且周一和周三只安排白內(nèi)障手術(shù),其他眼科疾病(除急癥外)都不安排在周一、周三.所以若根據(jù)FCFS規(guī)則安排住院,便會(huì)導(dǎo)致一些病人在住院后不能及時(shí)被安排手術(shù),最多的病人住院后等待了6天才被安排手術(shù).為此我們對(duì)FCFS的病床安排模型進(jìn)行改進(jìn).

圖6 M/G/C/∞/∞

對(duì)在周一、周三至周六住院的白內(nèi)障病人篩選出來,把他們都安排在周二、周日住院,這樣就能保證白內(nèi)障病人在住院后的第二天就能接受手術(shù),提高了醫(yī)院病床的利用率.對(duì)在周一至周六住院白內(nèi)障(雙眼)病人都安排在周日住院.不僅如此,我們還根據(jù)青光眼和視網(wǎng)膜疾病的手術(shù)不安排在周一和周三進(jìn)行,所以我們篩選出在周六和周一住院的青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人,把他們的住院時(shí)間推遲一天,即周日和周二住院,這樣便保證了這些病人在醫(yī)院里準(zhǔn)備2天后都能夠及時(shí)地進(jìn)行手術(shù).由于我們對(duì)一些病人的住院時(shí)間進(jìn)行了調(diào)整,使得醫(yī)院有了更多的空床位,尤其是對(duì)白內(nèi)障(雙眼)病人住院的時(shí)間推遲得比較久,部分病人推遲了6天左右,我們便篩選出在他們之后住院且住院時(shí)間小于6天的病人,對(duì)他們的住院時(shí)間提前,這樣做不僅縮短了病人的等待住院時(shí)間,使等待住院病人隊(duì)列縮短,還提高了醫(yī)院資源的有效利用率.圖6是我們解決該問題的思路與方案.

根據(jù)以上的分析,利用MATLAB進(jìn)行編程,在原有的FCFS病床安排模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改,設(shè)計(jì)病人住院安排如表1.

表1 病人住院安排表

3.3 區(qū)間估計(jì)模型及“問題三”的求解

為了能夠讓病人在門診時(shí)就能被告知大致入住醫(yī)院的時(shí)間區(qū)間,我們根據(jù)當(dāng)時(shí)已經(jīng)出院病人的數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)得到除急癥病人外,其他病人的平均住院時(shí)間,然后建立區(qū)間估計(jì)模型[6],對(duì)門診病人的住院時(shí)間進(jìn)行估計(jì).

在不考慮外傷的情況下,可近似認(rèn)為病人的服務(wù)時(shí)間即等待時(shí)間ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中方差σ2未知,故平均等待時(shí)間μ的置信度為1-α=0.95的置信區(qū)間為[6]計(jì)算可得,置信區(qū)間為(12.5391,12.7595).

故可以在病人門診時(shí)告知其大致入住院時(shí)間區(qū)間為(12,13),即住院時(shí)間大概是在門診后的第12或13天.

3.4 “問題四”模型的建立與求解

基于問題二的求解方法,考慮該住院部周六、周日不安排手術(shù)的情況,我們對(duì)醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間做相應(yīng)的調(diào)整.由于我們假設(shè)白內(nèi)障手術(shù)只在周一和周三進(jìn)行,故該條件對(duì)白內(nèi)障病人不受影響,只對(duì)青光眼和視網(wǎng)膜疾病的部分病人進(jìn)行調(diào)整.再借鑒問題二中建立的M/G/C//排隊(duì)模型,對(duì)新的住院安排表進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整,便能夠做到在周六周日不進(jìn)行手術(shù)的前提下,不僅保證外傷疾病的病人能在門診的第二天就能住院,且在住院后的下一天進(jìn)行手術(shù),還保證其他的病人都能夠在住院后的1∽2天內(nèi)接受手術(shù).

沿用“問題二”中的方法,利用MATLAB求解,計(jì)算得到了每天病人的住院安排表,如表2所示.這時(shí),病人的滿意度為=0.67,病床的平均有效利用率為=0.080,均有所降低.

表2 病人住院安排表

3.5 多指標(biāo)床位分配模型及“問題五”的求解

為求解問題五,我們改進(jìn)文獻(xiàn)[7]中的多指標(biāo)席位分配模型,建立多指標(biāo)床位分配模型.

該問題可描述如下:設(shè)共有n種病人,第i種病人的人數(shù)為ai(i=1,2,…,n),記a=影響床位分配的因素有l(wèi)個(gè),第j個(gè)因素對(duì)第i種病人影響的指標(biāo)值為xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,l),指標(biāo)矩陣為

通常指標(biāo)值分為“效益指標(biāo)”“成本指標(biāo)”和“固定指標(biāo)”.所謂效益指標(biāo)是指標(biāo)值越大越好的指標(biāo)(病床周轉(zhuǎn)率),成本指標(biāo)是指標(biāo)值越小越好的指標(biāo)(平均逗留時(shí)間),固定指標(biāo)是指標(biāo)值穩(wěn)定在某個(gè)固定值為最好的指標(biāo)(病床利用率).

考慮到不同指標(biāo)屬性不同,量綱也可能不同,作如下規(guī)范化處理:

對(duì)于效益指標(biāo),令

對(duì)于成本指標(biāo),令

對(duì)于固定指標(biāo),令

其中xij＊為第j個(gè)影響因素對(duì)第i種病人的最佳指標(biāo)值.

利用公式(2)∽(4)將指標(biāo)矩陣(1)化為規(guī)范指標(biāo)矩陣

利用主觀賦值法或客觀賦權(quán)法確定權(quán)重wi(j=1,2,…,l).

計(jì)算各種病人的加權(quán)綜合指標(biāo)和整個(gè)系統(tǒng)的綜合指標(biāo)

多指標(biāo)床位的合理分配應(yīng)該按各種病人綜合指標(biāo)的比例來分配,即盡可能地滿足各種病人的“綜合配于是我們得到多指標(biāo)床位合理分配模型如下:

其中,xi為整數(shù),i=1,2,…,n.

該模型求解方法:首先,枚舉求出滿足約束條件

比較相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值的大小,最小者即為模型最優(yōu)解.

在本問題中,我們既要考慮保證醫(yī)院給病人提供需要的醫(yī)療服務(wù),又要考慮醫(yī)院衛(wèi)生資源的合理利用及其長遠(yuǎn)的發(fā)展,還要根據(jù)題目要求對(duì)平均逗留時(shí)間的權(quán)重進(jìn)行優(yōu)先考慮.具體求解如下.

根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得到各類病人各個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù),給出指標(biāo)矩陣X,見表3.

表3 指標(biāo)矩陣X

利用公式(2)∽(4)將指標(biāo)矩陣X轉(zhuǎn)化為規(guī)范化指標(biāo)矩陣E,見表4.

表4 規(guī)范化指標(biāo)矩陣E

權(quán)重wj(j=1,2,…,l)取值見表5.

表5 權(quán)重值表

利用公式(6)計(jì)算各類型的加權(quán)綜合指數(shù)和系統(tǒng)綜合指標(biāo),得

建立相應(yīng)的多指標(biāo)床位分配模型,轉(zhuǎn)化為等價(jià)連續(xù)型非線性模型,求出相對(duì)合理的病床分配比例,如表6所示.此時(shí),所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間(含等待入院及住院時(shí)間)最短,為13.23天.

表6 病床分配比例

4 結(jié) 論

本文針對(duì)文獻(xiàn)[1]提出的問題,以排隊(duì)論為理論基礎(chǔ),建立了眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)模型,該模型綜合考慮了病人和醫(yī)院兩方面的利益,與實(shí)際緊密聯(lián)系且具有可操作性,采用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果較為準(zhǔn)確.

(1)利用假設(shè)檢驗(yàn)理論,對(duì)醫(yī)院現(xiàn)有歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到每天到達(dá)病人數(shù)服從參數(shù)λ=8.69的Poisson分布(此時(shí)p=0.5586),病人住院時(shí)間不服從指數(shù)分布(此時(shí)p=0.0000),近似服從正態(tài)分布.據(jù)此,該醫(yī)院排隊(duì)系統(tǒng)屬于M/G/C/／系統(tǒng).

(2)建立了評(píng)價(jià)指標(biāo)體系模型.給出了病人滿意度和醫(yī)院病床利用率兩個(gè)指標(biāo),用以評(píng)價(jià)病床安排的優(yōu)劣,這是排隊(duì)論理論在醫(yī)院病床安排的應(yīng)用,是對(duì)經(jīng)典排隊(duì)論評(píng)價(jià)指標(biāo)的推廣,具有直觀、計(jì)算簡單的特點(diǎn).計(jì)算可得,原有系統(tǒng)的平均滿意度y-=0.55,病床的平均有效利用率g-=0.087553.然后,基于M/G/C/／系統(tǒng),給出了新的排隊(duì)規(guī)則,此時(shí)病人的平均滿意度y-=0.79,醫(yī)院病床的平均有效利用率g-=0.088713,兩個(gè)指標(biāo)均有顯著改善.

(3)建立了病人等待時(shí)間的區(qū)間估計(jì)模型.基于FCFS排隊(duì)規(guī)則,在0.95的置信度下,病人等待時(shí)間是12到13天.

(4)在周六周日休息的假設(shè)下,重新給出了住院安排方法,此時(shí),病人的平均滿意度y-=0.67,病床的平均有效利用率g-=0.080,均有所降低.

(5)建立了以所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間(含等待入院及住院時(shí)間)最短為優(yōu)化目標(biāo)的多指標(biāo)床位分配模型.得到五種病人的床位分配是17,18,9,23,12,平均逗留時(shí)間為13～14天.

排隊(duì)論模型的應(yīng)用非常廣泛,因而適用于現(xiàn)實(shí)中的一切服務(wù)系統(tǒng),故本文給出的模型可以推廣到其他的服務(wù)系統(tǒng)中,例如通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)、存貯系統(tǒng)、生產(chǎn)管理系統(tǒng)等.

本文是在“2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”參賽文章(獲全國二等獎(jiǎng))的基礎(chǔ)上,通過參考命題者提供的解答要點(diǎn),進(jìn)行修改整理而得.

[1]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì).2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題[EB/OL].[2009-10-10].http://mcm.edu.cn/mcm09/Problems2009c.asp.

[2]王啟棟,張康莉,劉召平,等.醫(yī)院科室病床使用情況的綜合評(píng)價(jià)分析[J].中國醫(yī)院統(tǒng)計(jì),2001,8(2):103-105.

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