近Leibniz流形的判定及應(yīng)用

張福娥,曾 輝,趙曉華

(1石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003;2新疆教育學(xué)院,烏魯木齊830054;3浙江師范大學(xué)數(shù)理信息工程學(xué)院,金華321004)

近Leibniz流形的判定及應(yīng)用

張福娥1,曾 輝2,趙曉華3

(1石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003;2新疆教育學(xué)院,烏魯木齊830054;3浙江師范大學(xué)數(shù)理信息工程學(xué)院,金華321004)

為進(jìn)一步完善近Leibniz流形的理論,從張量的角度研究了Leibniz流形及近Leibniz流形,給出了Leibniz流形的張量表示形式,并用該張量形式表示了Leibniz流形和近Leibniz流形上的動力系統(tǒng),然后給出一個(gè)近Leibniz流形是Leibniz流形的判定條件,且把它應(yīng)用在近Leibniz動力系統(tǒng)上。

Leibniz流形;近Leibniz流形;近Leibniz動力系統(tǒng)

眾所周知,典則的 Poisson括號{·,·}有5個(gè)重要性質(zhì)[1,2]:雙線性、反稱性、導(dǎo)性(Leibniz法則)、Jacobi恒等式和非退化性。經(jīng)典力學(xué)大多是用Poisson括號描述的。一個(gè)流形的Poisson括號是一個(gè)雙線性映射,這個(gè)括號定義了 C∞(M)上的一個(gè)李代數(shù)結(jié)構(gòu),且它滿足導(dǎo)性,這使得流形 M上的光滑函數(shù)決定了Hamilton向量場 Xh,Poisson括號的導(dǎo)性在 Xh對應(yīng)的動力系統(tǒng)中起著非常重要的作用。為了不受偶維數(shù)的限制,或研究更一般的系統(tǒng),人們做了許多推廣和努力。比如去掉非退化性限制引進(jìn)廣義 Poisson括號,研究廣義 Hamilton系統(tǒng)[3]。

Leibniz括號[4]是廣義 Poisson括號的推廣,為更一般的系統(tǒng)提供了幾何模型[4～7],它滿足雙線性和Leibniz法則,而去掉了反稱性,由此定義的動力系統(tǒng)一般與經(jīng)典的 Hamilton系統(tǒng)不同。Weinstein[8]在拉格朗日力學(xué)及群胚中研究表明,相關(guān)的動力系統(tǒng)可描述為一個(gè)光滑函數(shù)和括號的向量場,這樣定義的結(jié)構(gòu)僅要求線性和對每個(gè)元具有導(dǎo)性,這也是西方把此類括號稱為Leibniz括號的原因。

近Leibniz括號也是按此定義的,它是Leibniz括號的一種推廣。近Leibniz括號只要求滿足線性和左導(dǎo),而不滿足右導(dǎo)性,故它能為非交換的的非線性系統(tǒng)提供更廣泛的模型。本文從此角度出發(fā),給出近Leibniz流形是Leibniz流形的一個(gè)判斷條件,并將其應(yīng)用在動力系統(tǒng)上。

1 預(yù)備知識

定義1[4]設(shè) M是一個(gè)光滑流形,M上的Leibniz括號是一個(gè)雙線性映射:{¨,}∶C∞(M)×C∞(M)→C∞(M)滿足

其中 f,g,h∈C∞(M),把(M,{¨,})稱為 Leibniz流形。

定義2[4]設(shè)(M,{¨,})是Leibniz流形,h是 M上的光滑函數(shù),在 M上存在2個(gè)向量場和滿足(f)={f,h},(f)={h,f},?f∈C∞(M),把稱為 Hamilton函數(shù)h對應(yīng)的右Leibniz向量場,稱為 Hamilton函數(shù) h對應(yīng)的左Leibniz向量場。

括號[·,(·,·)]滿足左導(dǎo)稱為近Leibniz括號,(M,p,g[·,(·,·)])稱為近Leibniz流形?？芍麹eibniz流形滿足雙線性,這里只需令 h是常數(shù)即可。

2 定理及證明

張量在研究Poisson流形及辛流形時(shí)具有重要的作用,同時(shí)它在Leibniz流形及近Leibniz流形的研究中也具有重要作用。下面先給出Leibniz流形上的張量形式,然后從張量的角度研究Leibniz流形及近Leibniz流形的一些性質(zhì)。

定理1:流形 M是Leibniz流形的充分必要條件是:其上有一個(gè)二階逆變張量π,其二階逆變張量可以表示為:

證明:設(shè)(xi),i=1,2…n是Leibniz流形 M上的局部坐標(biāo),則對?f,g∈C∞(M)有:

由于結(jié)構(gòu)矩陣(Mij)是唯一的,故Leibniz括號{·,·}唯一確定了 M上的一個(gè)張量

π(d f,d g)={f,g}。反之,若流形 M有一個(gè)二階逆變張量π,π在局部坐標(biāo)下表示為

先證明{·,·}是Leibniz括號。

由于π是張量,故

類似可證

再證其唯一性。

若存在

故{·,·}1={·,·},即 M上的一個(gè)二階逆變張量π唯一確定了M上的一個(gè)Leibniz括號。

由上所述,流形M上的一個(gè)二階逆變張量π與M上的一個(gè)Leibniz括號有一一對應(yīng)關(guān)系。故Leibniz流形(M,{·,·})也可表示為(M,π)。

由上可知,可以從張量及括號的角度討論Leibniz流形及近Leibniz流形上的動力系統(tǒng)。類似于哈密爾頓動力系統(tǒng),Leibniz流形 M上的動力系統(tǒng)可以表示為:

xi={xi,h}。

由定理1知:

若設(shè)(xi)i=1,…,n是流形M上的局部坐標(biāo),由定義3知近系統(tǒng)由 ˙xi=[xi,(h1,h2)]給出,其中[xi,(h1,h2)]=。特別是,若 p為一個(gè)反稱的(2.0)型張量場,g為對稱非退化的(2.0)型張量場,此時(shí)近Leibniz括號為近度量括號,可表示為:

而它所對應(yīng)的動力系統(tǒng)為:

下面給出近Leibniz流形與Leibniz流形的一個(gè)關(guān)系,并舉例說明其在動力系統(tǒng)上的應(yīng)用。

定理 2 對于定義 3中的近括號[·,(·,·)],若(h,h)=h,則 [f,(h1,h2)+(h2,h1)]是Leibniz括號,其中?f,h1,h2,h∈C∞(M)。

證明:對

推論:對于定義 3中近括號[·,(·,·)],若(·,·)可換,且 (h,h)=h,則[·,(·,·)]是Leibniz括號,且 p=g。反之,若近Leibniz中 p=g,(h,h)=h,則(·,·)可換,且[·,(·,·)]是Leibniz括號。

證明:若(·,·)可換,且(h,h)=h,由定理 2知,[·,(·,·)]是括號,此外

由 f,h1,h2的任意性知 p=g。反之,若 p=g且(h,h)=h,顯然,(·,·)可換,且[·,(·,·)]是Leibniz括號。

例 設(shè)(xi)i=1,…,n是近Leibniz流形 M上的局部坐標(biāo),p,g為M上兩個(gè)二階張量的結(jié)構(gòu)矩陣,其中 p為奇異反對稱矩陣,g為奇異的對稱矩陣,

則由 p,g決定的近Leibniz系統(tǒng)為

(1)若(h,h)=h,則定理2中的近Leibniz括號[f,(h1,h2)+(h2,h1)]對應(yīng)的動力系統(tǒng)為

故此近Leibniz系統(tǒng)具體表示為

(2)由推論知若(·,·)可換,且(h,h)=h,

其對應(yīng)的近Leibniz動力系統(tǒng)為

3 結(jié)語

近Leibniz流形作為Leibniz流形的推廣,為非線性的非交換系統(tǒng)提供了更廣泛的幾何依據(jù),而討論近Leibniz流形與Leibniz流形的關(guān)系將是研究近Leibniz流形的一個(gè)有效的方法。這部分理論有待于進(jìn)一步研究,并可以延伸到Leinbiz代數(shù)胚內(nèi)容,它的研究為非線性問題及幾何理論的發(fā)展都有著重要的作用。

[1]賀龍光.辛幾何與泊松幾何引論[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2001.

[2]柯歇爾,鄒異明.辛幾何引論[M].北京:科學(xué)出版社,1986.

[3]李繼斌,趙曉華,劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及其研究[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[4]Ortega J P,Bielsa V P.Dynamics on Leibniz manifolds[J].Journal of Geometry and Physics,2004,(52):1-27.

[5]Guha P.Metrplectic struture,Leibniz dynamics and dissipative systems[J].Math Appl,2007,(326):121-136.

[6]王寶勤,張福娥,趙曉華.關(guān)于L流形的一些討論[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2009,6(3):359-366.

[7]張福娥,曾 輝.L流形上函數(shù)等價(jià)類的性質(zhì)[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,26(5):658-660.

[8]A Weinstein.Lagrangian Mechanics and groupoids[J].American Mathematical Society,1996,(7):207-231.

Judgement and Application of Almost Leibniz Manif olds

ZHANG Fu'e1,ZENG Hui2,ZHAO Xiaohua3
(1 Department of Mathematics,Teachers'College,Shihezi University,Shihezi 832003,China;2 Xinjiang Educational Institute,Wulumuqi 830054,China;3 School of Maths-Physics,Information and Engineering Science,Zhejiang Normal University Jinhua 321004,China)

To perfect the theories of almost Leibniz manifold profoundly,Leibniz manifold and almost Leibniz manifold are studied f rom point of tensor,and the forms of tensor of Leibniz manifold are given,so dynamical systems on Leibniz manifold and almost Leibniz manifold can be given according to tensors.Then a qualification that almost Leibniz manifold is a Leibniz manifold is given,finally apply it to almost Leibniz dynamical systems.

Leibniz manifold;almost Leibniz manifold;almost Leibniz dynamical system

O186.1

A

1007-7383(2010)01-0121-04

2009-08-19

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10872183)

張福娥(1980-),講師,從事微分幾何及其應(yīng)用的研究,e-mail:zhangfue@shzu.edu.cn。