基于有限元法的橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析

王玉山,閆 琴,金 瑾

(石河子大學(xué)水利建筑工程學(xué)院,石河子 832003)

基于有限元法的橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析

王玉山,閆 琴,金 瑾

(石河子大學(xué)水利建筑工程學(xué)院,石河子 832003)

為探討橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的方法,以二節(jié)點平面桿單元為例,采用有限元法推導(dǎo)了橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的單元剛度矩陣,利用所得單元剛度矩陣和FORTRAN語言編制了有限元分析程序,然后對一門式橋墩中墩的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行了分析,并將臨界荷載與歐拉公式及ANSYS所得結(jié)果進行了比較,從而驗證了該單元剛度矩陣和該有限元法的正確性。

橋梁;結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性;有限元法

橋梁結(jié)構(gòu)特別是橋墩結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題是關(guān)系到橋梁安全與經(jīng)濟的主要問題之一,它與橋梁結(jié)構(gòu)的強度問題不同,主要是求出外荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力間的不穩(wěn)定平衡狀態(tài),即變形開始急劇增長的狀態(tài),從而設(shè)法避免結(jié)構(gòu)進入該狀態(tài)?，F(xiàn)今,大力新建的橋梁結(jié)構(gòu)廣泛采用高強度材料和薄壁結(jié)構(gòu)及橋墩的高聳化,使得橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題比以往更加突出,而國內(nèi)外研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題常用的方法,如歐拉方法、能量法及振動法等都不能很好地解釋橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著計算機技術(shù)和有限元法的不斷發(fā)展,國內(nèi)外學(xué)者[1～4]采用有限元法分析橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題已很廣泛,因此,采用有限元法近似分析橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性已成為一種趨勢。

1 橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的有限元分析

1.1 單元的位移模式及應(yīng)變

以二節(jié)點平面桿單元為例,其中,每個節(jié)點考慮3個自由度(u,υ,θ),節(jié)點位移如圖1所示。

圖1 二節(jié)點平面桿單元Fig.1 Two node 2-D bar element

利用豎向位移與轉(zhuǎn)角的微分關(guān)系并考慮位移模式的完備性及協(xié)調(diào)性,單元內(nèi)任一點位移 u,υ,θ,可通過型函數(shù)插值表示為[5～7]:

當(dāng)不考慮剪切作用時,單元內(nèi)任一點的正應(yīng)變可表示為:

式(2)中,第1項表示軸向力引起的應(yīng)變,第2項表示彎矩引起的應(yīng)變,第3項表示桿的彎曲變形引起的應(yīng)變。在通常的結(jié)構(gòu)分析中,均略去第3項,但在穩(wěn)定分析中,它反映了結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的因素,所以必須考慮。

1.2 單元的應(yīng)變能及外力勢能

單元的應(yīng)變能可以表示為[8]:

設(shè)軸力以拉為正,整理可得

若單元有節(jié)點力 Pe作用,則節(jié)點力產(chǎn)生的外力勢能可表示為

1.3 平衡方程的建立

式(7)中,Ke=為單元的彈性剛度矩陣,為單元的幾何剛度矩陣,具體形式如下:

以上即為二節(jié)點平面桿單元在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣和等效節(jié)點荷載向量。對于整體系下的剛度矩陣和等效節(jié)點荷載向量,可先利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 ￣Ke=TTKeT和 ˉPe=TTPe求得單元在整體系下的剛度矩陣和節(jié)點荷載向量,其中 ￣Ke為單元在整體系下的剛度矩陣,Ke為單元在局部系下的剛度矩陣,T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。再通過對號入座的方法組裝集成,則總體剛度矩陣及節(jié)點荷載向量,就可分別由所有的單元在整體系下的單元剛度矩陣和節(jié)點荷載向量組裝集成為:

由式(7)知,如果結(jié)構(gòu)所受外荷載不斷增加,結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移也將不斷增大,但由于結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣與外荷載有關(guān),因此這時結(jié)構(gòu)的節(jié)點力和節(jié)點位移不再是線性的。設(shè) Pe增大λ倍,則結(jié)構(gòu)的軸力和幾何剛度矩陣也都增大λ倍,故存在

若λ逐漸增大,使結(jié)構(gòu)達到平衡的臨界狀態(tài),則當(dāng)δ變?yōu)棣?Δδ時,需滿足式(8),即

由式(8)、(9)整理可以得到結(jié)構(gòu)達到平衡臨界狀態(tài)的充分必要條件為

式(10)即為第一類結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題有限元計算的特征方程。若方程有 n階,理論上方程存在 n個特征根,但在實際中只有最小的特征根才與結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界荷載存在關(guān)系。假設(shè)最小的特征根為λcr,則結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界荷載為λcrP,因此對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題分析的關(guān)鍵可歸結(jié)為對式(10)的求解。

2 算例及程序驗證

采用FORTRAN語言,通過上述平面桿單元的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣編制了相應(yīng)的穩(wěn)定問題分析程序。為了驗證本文所得單元剛度矩陣及分析程序所得結(jié)果的正確性,并與歐拉公式所得結(jié)果進行方便的比較,對圖2所示門式橋墩一號墩的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進行了算例分析。

一等截面門式橋墩有外力作用在1號墩頂部時(圖1),確定該門式橋墩的臨界荷載 Pcr。已知:彈性模量 E=20GPa,墩橫截面尺寸 a=500mm。

計算分析中考慮該門式橋墩的墩底位移均被約束,墩頂所受約束在考慮蓋梁的影響后,簡化為鉸接處理。程序中采用乘大數(shù)法對1號墩的剛度矩陣進行修正,然后按照本文的約束方法分別用本文、歐拉公式和ANSYS三種方法計算1號墩的臨界荷載Pcr,其結(jié)果依次為2.273×103k N、2.328×103k N、2.351×103k N。與歐拉公式及ANSYS分析所得結(jié)果相比,由本文給出的單元剛度矩陣編制的分析程序所得結(jié)果符合較好,相對誤差均小于5%。此外,本文的分析結(jié)果雖然略微偏小,但對于工程中的實際問題,由于施工誤差以及材料不均勻性的影響,實際中臨界荷載值也均小于理論值。

圖2 門式橋墩Fig.2 Double-column bridge piers

4 結(jié)語

本文采用有限元法推導(dǎo)了二節(jié)點平面桿單元穩(wěn)定性分析的單元剛度矩陣,并編制了相應(yīng)的穩(wěn)定性分析程序,然后用該程序?qū)σ婚T式橋墩中墩的穩(wěn)定性進行了計算分析。通過與歐拉公式及ANSYS所得結(jié)果的比較,驗證了該單元剛度矩陣及分析程序的正確性,雖然所得結(jié)果與歐拉公式ANSYS分析所得的結(jié)果存在一定的差異,但從實際考慮,它仍可以作為橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的一個重要參考值。

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Analysis of Bridge Structure Stability Based on the Finite Element Method

WANG Yushan,YAN Qin,JIN Jin
(College of Water Conservancy and Architectural Engineering,Shihezi University,Shihezi 832003,China)

The element stiffness matrix of bridge structure stability was deduced by using the finite element method,which was based on two node 2-D bar element.An analysis procedure of the finite element was developed by using the element stiffness matrix and language of FORTRAN for the stability of piers.At last,the element stiffness matrix and the analysis procedure were verified by comparing the piers analysis result with result of ANSYS and Euler equation.

bridge;structure stability;the finite element method

TU311.2;U441

A

1007-7383(2010)01-0106-03

2009-09-16

王玉山(1979-),講師,從事橋梁工程應(yīng)用研究;e-mail:wysbgxn@shzu.edu.cn。