談中學(xué)二次函數(shù)解析式的求法

摘要二次函數(shù)是反映現(xiàn)實世界中變量間的數(shù)量關(guān)系的一種常見的數(shù)學(xué)模型。如銷售利潤問題、極值問題以及物體的運動變化規(guī)律等，都會是二次函數(shù)的載體，所以解決這類問題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，再利用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決這些實際問題，其中最基礎(chǔ)的是二次函數(shù)解析式的確定。確定二次函數(shù)的解析式有一般式、頂點式、交點式等多種方法。

關(guān)鍵詞 二次函數(shù);解析式;求法

中圖分類號 G4文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號1673-9671-(2009)111-0120-02

0前言

因為二次函數(shù)是反映現(xiàn)實世界中變量間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種常見的數(shù)學(xué)模型。如幾何圖形的變化問題， 銷售利潤問題，極值問題以及物體的運動變化規(guī)律等，都會是二次函數(shù)的載體，所以解決這類問題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，再利用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決這些實際問題，其中最基礎(chǔ)的是二次函數(shù)解析式的確定。

求二次函數(shù)解析式是研究二次函數(shù)性質(zhì)及其變化規(guī)律的基礎(chǔ)，也是中考的熱點內(nèi)容，因此研究二次函數(shù)解析式的求法有著十分重要的意義。對于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的我來說，應(yīng)該深入細(xì)致地從基礎(chǔ)談起，抓住應(yīng)用數(shù)學(xué)這個主線，運用方程函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論以及待定系數(shù)法等重要數(shù)學(xué)思想，從三個方面談一談我對二次函數(shù)解析式確定方法的一些看法。

1一般式及其應(yīng)用

所謂一般式就是已知二次函數(shù)圖像上的任意三點坐標(biāo)，確定其解析式的方法。

例1:已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過A(1，0)，B(2，5)，C(-2，-3)這三點，求此二次函數(shù)的解析式。

分析:已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B，C三點，可設(shè)其解析式為:y=ax2+bx+c(a0)，將三點坐標(biāo)代入，易得:a=1，b=2，c=-3，故所求得的二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3

例2:(2001寧夏中招)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(0，0)(1，2)(-1，-4)三點，那么這個二次函數(shù)的解析式為()。

解:設(shè)這個二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c

由題意得:

所以這個二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x

小結(jié):就一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(其中a，b，c為常數(shù)，且a 0)而言，其中含有三個待定系數(shù)a，b，c，求二次函數(shù)的一般式時，只要有三個獨立的已知條件，來建立關(guān)于a，b，c的三元一次方程組求解，再把求出的a，b，c的值代入原函數(shù)解析式，就能得到所求的二次函數(shù)解析式。然而，在實際生活中，首先要將實際問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，然后再確定三個獨立的條件，并求出其解析式。

例3:(2007江西)如圖:

有一座拋物線型的拱橋，當(dāng)水位漲至AB時，水面AB的寬為14米，如果水位再上漲4米，就將達(dá)到警戒水位CD，這時水面寬為10米，建立直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式。

分析:此題三個獨立的條件不是很明顯的，并且與坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點的選擇有關(guān)。這就要求考生能夠靈活應(yīng)用一般式，巧設(shè)一般式。

解(一):以拱橋頂點為坐標(biāo)原點，以與AB平行的直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的對稱軸為Y軸。

由題意可設(shè):點B的坐標(biāo)為B(7，k)，則點D的坐標(biāo)為D(5，k+4)，再設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，則有

解之得:a=-

所以拋物線的解析式為:y=- x2

解(二):分析，以點A為坐標(biāo)原點，直線AB為X軸，建立直角坐標(biāo)系。由題意可知， A點坐標(biāo)為(0，0)，B點坐標(biāo)為(14，0)，C點坐標(biāo)為(2，4)，D點坐標(biāo)為(12，4)。

任選三點都能確定拋物線的解析式，與例1、例2解法相同。

又由于拋物線過原點，所以可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，從B，C，D三點中任選兩點，也能確定此拋物線的解析式。

假定選C(2，4)，D(12，4)兩點

則有

所以拋物線的解析式為y=- x2+ x

同樣以點B，點C，或點D為坐標(biāo)原點，也能確定此拋物線的解析式，但拋物線解析式的形式隨坐標(biāo)原點的不同而不同。

2 頂點式及其應(yīng)用

所謂頂點式，即已知二次函數(shù)頂點坐標(biāo)(h，k)或?qū)ΨQ軸x=h，通?？稍O(shè)拋物線的解析為y=a(x-h)2+k求解。

例4，某拋物線頂點為B(-1，2)，并經(jīng)過點A(-2，5)，求此拋物線的解析式。

解:因為拋物線頂點坐標(biāo)為B(-1，2)，所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+2

因為拋物線經(jīng)過點A(-2，5)

所以 5=a(-2+1)2+2

a=3

所以拋物線的解析式為y=3(x+1)2+2 即y=3x2+6x+5

當(dāng)然，此題也可用一般式求解。

設(shè)解析式為y=ax2+bx+c

則有

顯然，此法比利用頂點式更復(fù)雜。

例5:(2001云南)已知直線y=x-3與X軸交于點A，與Y軸交于點B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B兩點，且對稱軸方程為x=1。求此二次函數(shù)的解析式。

分析:此題沒有給出頂點坐標(biāo)，卻給出了對稱軸方程x=1，因此可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+k，再通過直線與坐標(biāo)軸相交，求出兩個交點A、B的坐標(biāo)，從而求出待定系數(shù)a，h的值。

解:令x=0則y=-3 令y=0 則x=3

所以A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(3，0)B(0，-3)

因為對稱軸為x=1

所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+k

則有解之得:

所以拋物線的解析式為y=(x-1)2-4即y=x2-2x-3

小結(jié):頂點式不僅有純數(shù)學(xué)的常規(guī)用法，而且在實際生活中也有非常廣泛的用途，題目的難度也將加大。

例6，如圖所示，一場籃球賽中，隊員甲跳起投籃，已知球出手時離地面米，當(dāng)球出手水平距離4米時達(dá)到最大高度4米，設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出籃球運行軌跡的拋物線的解析式。

分析:拋物線上最高點就是拋物線的頂點，又有球出手時離地面的距離，因此可選隊員甲的腳為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，這樣就可以得到出手點與最高點的坐標(biāo)，就能求出拋物線的解析式。

解:以隊員甲的腳為坐標(biāo)原點，球場地面為X軸，建立直角坐標(biāo)系，則球出手點和最高點的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(4，4)，

設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-h)2+k

因為點B(4，4)是頂點

所以y=a(x-4)2+4

又因為點A(0，)在拋物線上

所以=a(0-4)2+4

解之得:a=-

所以拋物線的解析式為y=- (x-4)2+4

即y=- x2+ x+

當(dāng)然這道題還可以選擇A點或B點為坐標(biāo)原點。

比如選擇A點為坐標(biāo)原點，則B點坐標(biāo)為(4，)，且仍是拋物線的頂點，

所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+

將A(0，0)代入可求得a=-

所以拋物線的解析式為y=- (x-4)2+

實際上可以看作坐標(biāo)系向上平移了個單位長度.

y=ax2

若選擇B點為坐標(biāo)原點，則點A的坐標(biāo)為(-4，- )，由于拋物線的頂點作坐標(biāo)原點， 將B(0，0)代入頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，即得y=ax2，故可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2.

將A點坐標(biāo)代入即可求得a=- ，所以拋物線的解析式為y=- x2，這樣使問題更為簡單化了。

3交點式及其應(yīng)用

所謂交點式，即已知拋物線與X軸的兩個交點坐標(biāo)(x1，0)(x2，0)和第三個點的坐標(biāo)，通?？稍O(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)求解。

例7，已知拋物線與X軸的兩個交點為(-2，0)(5，0)，且通過點(1，24)，求此二次函數(shù)的解析式。

解:因為拋物線過點(-2，0)和(5，0)

所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-5)

又因為拋物線過點(1，24)

所以24=a(1+2)(1-5)

解之得:a=-2

所以拋物線的解析式為y=-2(x+1)(x-5)即y=-2x2+8x+10

例8，已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(3，-16)，并且圖像與X軸兩交點的距離為8，求二次函數(shù)的解析式。

分析:在已知拋物線與X軸兩交點的距離和頂點坐標(biāo)的情況下，問題比較容易解決，由頂點坐標(biāo)(3，-16)易知，拋物線的對稱軸為x=3，再利作拋物線的對稱性，可知圖像與拋物線的交點坐標(biāo)為(-1，0)(7，0)，故可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-7)，將點(3，-16)代入，即可求得a=1，即拋物線的解析式為y=x2-6x-7.

例9，施工隊要修一個橫截面為拋物線的公路隧道。其高度為6米，地面寬度OM=12米，如圖所示，設(shè)點P為最高點，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式。

分析:若選點O為坐標(biāo)原點，與地面平行的線OM為X軸建立直角坐標(biāo)系，則O，M，P三點坐標(biāo)分別為O(0，0)，M(12，0)，P(6，6)，此時，既可用交點式，又可用頂點式求解。用交點式可設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-12)，將點P(6，6)代入，可求得a=- ，所以拋物線的解析式為y=- x(x-12)，即y=- x2+2x .用頂點式可設(shè)y=a(x-6)2+6 ，將點O(0，0)代入，可求得a=-，所以拋物線的解析式為 y=- (x-6)2+6 ，即 y=- x2+2x

若選點P為坐標(biāo)原點，地平線OM為X軸，建立直角坐標(biāo)系，則P，O，M三點的坐標(biāo)分別為P(0，0)，O(-6，-6)，M(6，-6)，用頂點式可設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax2 ，任意代入O點或M點的坐標(biāo)，都可以求得a=-，所以拋物線的解析式為 y=- x2 .

若選OM的中點為坐標(biāo)原點，地平線OM為X軸，建立直角坐標(biāo)系，則O，M，P三點的坐標(biāo)分別為O(-6，0)，M(6，0)，P(0，6)，用交點式可設(shè) y=a(x+6)(x-6)，將點P(0，6)代入，可求得a=-，所以拋物線的解析式為y=- (x+6)(x-6)即y=- x2+6

4總結(jié)與展望

以上分析了三種基本的確定二次函數(shù)解析式的方法。隨著數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，純數(shù)學(xué)的問題會漸漸地向應(yīng)用數(shù)學(xué)這個方向上發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)將會成為數(shù)學(xué)教師最艱巨的任務(wù)之一。

例10，某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10檔次，第一檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76個，每件利潤10元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件。若生產(chǎn)第x檔次的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且1≤x ≤10)，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式。

分析:這類問題也是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用問題，它沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型去套用，因而更能考察學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解程度以及分析問題、解決問題的能力。解決這道題必須把握:

“總利潤=某檔次的單個產(chǎn)品利潤 某檔次的產(chǎn)品數(shù)量”這個數(shù)量關(guān)系。

解:由題意得:

x檔次的單個產(chǎn)品利潤=10+2(x-1)=2x+8

x檔次的產(chǎn)品數(shù)量=76-4(x-1)=76-4x+4=80-4x

故總利潤y=(2x+8)(80-4x)

整理得y=-8x2+128x+640

所以y關(guān)于x的解析式為y=-8x2+128x+640(其中x為正整數(shù)，且1≤x ≤10)

例11，(2007 貴陽)某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查了現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;

解:(1)由題意得:y=90-3(x-50)(其中x為正整數(shù)，且50≤x≤55)

化簡得:y=-3x+240

(2) 由題意得:w=(x-40)(-3x+240) (其中x為正整數(shù)，且50≤x≤55)

化簡得:w=-3x2+360x-9600

這是二道經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，隨著素質(zhì)教育的開展，創(chuàng)新教育的推進(jìn)，必將導(dǎo)致二次函數(shù)解析式確定方法的更新，必將導(dǎo)致題型的多樣化，這就要求我們數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，站在教改的最前沿，做時代的弄潮兒。

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